Эластичный материал Коши

В физике упругий по Коши материал — это материал, в котором напряжение в каждой точке определяется только текущим состоянием деформации относительно произвольной опорной конфигурации. ^[1] Упругий по Коши материал также называют простым упругим материалом.

Из этого определения следует, что напряжение в упругом по Коши материале не зависит от пути деформации или истории деформации, или от времени, необходимого для достижения этой деформации, или скорости, с которой достигается состояние деформации. Определение также подразумевает, что определяющие уравнения являются пространственно локальными; то есть напряжение зависит только от состояния деформации в бесконечно малой окрестности рассматриваемой точки, без учета деформации или движения остальной части материала. Это также подразумевает, что объемные силы (такие как гравитация) и инерционные силы не могут влиять на свойства материала. Наконец, упругий по Коши материал должен удовлетворять требованиям материальной объективности .

Упругие материалы Коши являются математическими абстракциями, и ни один реальный материал не соответствует этому определению идеально. Однако многие упругие материалы, представляющие практический интерес, такие как сталь, пластик, дерево и бетон, часто можно считать упругими по Коши для целей анализа напряжений .

Математическое определение

Формально материал называется упругим по Коши, если тензор напряжений Коши является функцией только тензора деформации ( градиента деформации ) : ${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {F}}}$

${\displaystyle \ {\boldsymbol {\sigma }}={\mathcal {G}}({\boldsymbol {F}})}$

Это определение предполагает, что влияние температуры можно игнорировать, а тело однородно. Это определяющее уравнение для упругого материала Коши.

Обратите внимание, что функция зависит от выбора опорной конфигурации. Обычно опорная конфигурация принимается как расслабленная (с нулевым напряжением) конфигурация, но это не обязательно. ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$

Безразличие к материальной системе отсчета требует, чтобы определяющее соотношение не менялось при изменении местоположения наблюдателя. Поэтому определяющее уравнение для другого произвольного наблюдателя можно записать . Зная, что тензор напряжений Коши и градиент деформации являются объективными величинами, можно записать: ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}^{*}={\mathcal {G}}({\boldsymbol {F}}^{*})}$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle F}$

${\displaystyle {\begin{aligned}&{\boldsymbol {\sigma }}^{*}&=&{\mathcal {G}}({\boldsymbol {F}}^{*})\\\Rightarrow &{\boldsymbol {R}}\cdot {\boldsymbol {\sigma }}\cdot {\boldsymbol {R}}^{T}&=&{\mathcal {G}}({\boldsymbol {R}}\cdot {\boldsymbol {F}})\\\Rightarrow &{\boldsymbol {R}}\cdot {\mathcal {G}}({\boldsymbol {F}})\cdot {\boldsymbol {R}}^{T}&=&{\mathcal {G}}({\boldsymbol {R}}\cdot {\boldsymbol {F}})\end{aligned}}}$

где — собственный ортогональный тензор. ${\displaystyle {\boldsymbol {R}}}$

Вышеизложенное является условием, которое конститутивный закон должен соблюдать, чтобы гарантировать, что реакция материала будет независимой от наблюдателя. Аналогичные условия могут быть выведены для конститутивных законов, связывающих градиент деформации с первым или вторым тензором напряжений Пиолы-Кирхгофа . ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$

Изотропные материалы Коши-упругие

Для изотропного материала тензор напряжений Коши может быть выражен как функция левого тензора Коши-Грина . Тогда основное уравнение может быть записано: ${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {B}}={\boldsymbol {F}}\cdot {\boldsymbol {F}}^{T}}$

${\displaystyle \ {\boldsymbol {\sigma }}={\mathcal {H}}({\boldsymbol {B}}).}$

Чтобы найти ограничение, при котором будет обеспечиваться принцип материальной безразличности системы отсчета, можно записать: ${\displaystyle h}$

${\displaystyle \ {\begin{array}{rrcl}&{\boldsymbol {\sigma }}^{*}&=&{\mathcal {H}}({\boldsymbol {B}}^{*})\\\Rightarrow &{\boldsymbol {R}}\cdot {\boldsymbol {\sigma }}\cdot {\boldsymbol {R}}^{T}&=&{\mathcal {H}}({\boldsymbol {F}}^{*}\cdot ({\boldsymbol {F}}^{*})^{T})\\\Rightarrow &{\boldsymbol {R}}\cdot {\mathcal {H}}({\boldsymbol {B}})\cdot {\boldsymbol {R}}^{T}&=&{\mathcal {H}}({\boldsymbol {R}}\cdot {\boldsymbol {F}}\cdot {\boldsymbol {F}}^{T}\cdot {\boldsymbol {R}}^{T})\\\Rightarrow &{\boldsymbol {R}}\cdot {\mathcal {H}}({\boldsymbol {B}})\cdot {\boldsymbol {R}}^{T}&=&{\mathcal {H}}({\boldsymbol {R}}\cdot {\boldsymbol {B}}\cdot {\boldsymbol {R}}^{T}).\end{array}}}$

Уравнение состояния , которое удовлетворяет вышеуказанному условию, называется изотропным .

Неконсервативные материалы

Хотя напряжение в упругом по Коши материале зависит только от состояния деформации, работа, совершаемая напряжениями, может зависеть от пути деформации. Поэтому упругий по Коши материал в общем случае имеет неконсервативную структуру, и напряжение не обязательно может быть выведено из скалярной функции «упругого потенциала». Материалы, которые являются консервативными в этом смысле, называются гиперупругими или «зелено-упругими».

Ссылки

1. RW Ogden, 1984, Нелинейные упругие деформации , Dover, стр. 175–204.