червоточина Эллиса

Экваториальное сечение червоточины Эллиса, катеноида ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$

Червоточина Эллиса является особым случаем дренажной дыры Эллиса , в которой «эфир» не течет и нет гравитации. Остается чистая проходимая червоточина , состоящая из пары идентичных близнецов, неплоских, трехмерных областей, соединенных в двусфере, «горловине» червоточины. Как видно на изображении, двумерные экваториальные поперечные сечения червоточины представляют собой катеноидальные «воротники», которые асимптотически плоские вдали от горловины. Поскольку гравитация отсутствует, инерциальный наблюдатель ( тестовая частица ) может вечно находиться в покое в любой точке пространства, но если его приведет в движение какое-либо возмущение, он будет следовать геодезической экваториального поперечного сечения с постоянной скоростью, как и фотон. Это явление показывает, что в пространстве-времени кривизна пространства не имеет ничего общего с гравитацией (можно сказать, «кривизна времени»).

Как особый случай дренажной норы Эллиса , которая сама по себе является «проходимой червоточиной», червоточина Эллиса восходит к открытию дренажной норы в 1969 году (дата первого представления) Х. Г. Эллисом ^[1] и независимо примерно в то же время К. А. Бронниковым ^{[2] .}

Эллис и Бронников вывели исходную проходимую червоточину как решение уравнений вакуумного поля Эйнштейна , дополненное включением скалярного поля, минимально связанного с геометрией пространства-времени с полярностью связи, противоположной ортодоксальной полярности (отрицательной вместо положительной). Несколько лет спустя М. С. Моррис и К. С. Торн изготовили дубликат червоточины Эллиса, чтобы использовать его в качестве инструмента для обучения общей теории относительности, ^[3] утверждая, что существование такой червоточины требует наличия «отрицательной энергии», точка зрения, которую Эллис рассматривал и явно отказался принять, на том основании, что аргументы в ее пользу были неубедительными. ^[1] ${\displaystyle \phi }$

Решение червоточины

Метрика червоточины имеет форму собственного времени

${\displaystyle c^{2}d\tau ^{2}=c^{2}dt^{2}-d\sigma ^{2}\,,}$

где

${\displaystyle {\begin{aligned}d\sigma ^{2}&=d\rho ^{2}+r^{2}(\rho )\,d\Omega ^{2}\\&=d\rho ^{2}+\left(\rho ^{2}+n^{2}\right)\,d\Omega ^{2}\\&=d\rho ^{2}+\left(\rho ^{2}+n^{2}\right)\,\left[d\vartheta ^{2}+(\sin \vartheta )^{2}\,d\varphi ^{2}\right]\;\;\end{aligned}}}$

и является параметром дренажной ямы, который сохраняется после того, как параметр решения дренажной ямы Эллиса установлен в 0, чтобы остановить поток эфира и тем самым устранить гравитацию. Если пойти дальше и установить в 0, метрика станет метрикой пространства-времени Минковского , плоского пространства-времени специальной теории относительности . ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle n}$

В пространстве-времени Минковского каждая времениподобная и каждая светоподобная (нулевая) геодезическая является прямой «мировой линией», которая проецируется на прямую геодезическую экваториального сечения временного среза постоянной величины , например, ту, на которой и , метрика которой является метрикой евклидова двумерного пространства в полярных координатах , а именно, ${\displaystyle t,}$ ${\displaystyle t=0}$ ${\displaystyle \vartheta =\pi /2}$ ${\displaystyle [\rho ,\varphi ]}$

${\displaystyle ds^{2}=d\rho ^{2}+\rho ^{2}\,d\varphi ^{2}\,.}$

Каждая тестовая частица или фотон, как видно, следуют по такой экваториальной геодезической с фиксированной координатной скоростью, которая может быть равна 0, поскольку гравитационное поле не встроено в пространство-время Минковского. Все эти свойства пространства-времени Минковского имеют свои аналоги в червоточине Эллиса, однако измененные тем фактом, что метрика и, следовательно, геодезические экваториальных сечений червоточины не являются прямыми линиями, а скорее являются «самыми прямыми возможными» путями в сечениях. Поэтому интересно посмотреть, как выглядят эти экваториальные геодезические.

Экваториальная геодезическая червоточина

Геодезические линии ограничены одной стороной горловины червоточины

Геодезические спиральные линии, направленные к горловине червоточины

Геодезические линии, проходящие через горловину червоточины

Экваториальное поперечное сечение червоточины, определяемое и (представляющее все такие поперечные сечения), имеет метрику ${\displaystyle t=0}$ ${\displaystyle \vartheta =\pi /2}$

${\displaystyle ds^{2}=d\rho ^{2}+\left(\rho ^{2}+n^{2}\right)\,d\varphi ^{2}\,.}$

Когда поперечное сечение с этой метрикой вложено в евклидово трехмерное пространство, изображение представляет собой катеноид, показанный выше, с измерением расстояния от центральной окружности в горловине, радиуса , вдоль кривой, на которой закреплен (одна такая показана). В цилиндрических координатах уравнение имеет в качестве графика. ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle [r,\varphi ,z]}$ ${\displaystyle r=n\cosh(z/n)}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$

После некоторых интегрирований и подстановок уравнения для геодезической, параметризованной сводятся к следующему: ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle s}$

${\displaystyle {\frac {d\varphi }{ds}}={\frac {h}{\rho ^{2}+n^{2}}}}$

и

${\displaystyle \left({\frac {d\rho }{ds}}\right)^{2}+{\frac {h^{2}}{\rho ^{2}+n^{2}}}\,=1,}$

где — константа. Если , то и наоборот. Таким образом, каждый «круг широты» ( константа) является геодезическим. Если же тождественно не равен 0, то его нули изолированы, и редуцированные уравнения можно объединить, чтобы получить орбитальное уравнение ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle d\rho /ds\equiv 0\,,}$ ${\displaystyle h^{2}=\rho ^{2}+n^{2}\geq n^{2}\,,}$ ${\displaystyle \textstyle d\varphi /ds=1/h,}$ ${\displaystyle \textstyle \rho =\pm {\sqrt {h^{2}-n^{2}}}\,,}$ ${\displaystyle \rho =}$ ${\displaystyle d\rho /ds}$

${\displaystyle \left({\frac {d\varphi }{d\rho }}\right)^{2}={\frac {h^{2}}{\left(\rho ^{2}+n^{2}\right)\left(\rho ^{2}+n^{2}-h^{2}\right)}}\,.}$

Следует рассмотреть три случая:

• ${\displaystyle h^{2}>n^{2},}$что подразумевает, что геодезическая линия ограничена одной или другой стороной червоточины и имеет точку поворота в или ${\displaystyle \rho ^{2}\geq h^{2}-n^{2}>0,}$ ${\displaystyle \textstyle \rho ={\sqrt {h^{2}-n^{2}}}}$ ${\displaystyle \textstyle \rho =-{\sqrt {h^{2}-n^{2}}}\,;}$
• ${\displaystyle h^{2}=n^{2},}$что подразумевает , что геодезическая линия не пересекает горловину, а спирально заходит на нее с одной или другой стороны; ${\displaystyle \rho ^{2}>0,}$ ${\displaystyle \rho =0,}$
• ${\displaystyle h^{2}<n^{2},}$что позволяет геодезической линии пересекать червоточину с одной стороны на другую.

На рисунках показаны примеры трех типов. Если допускается варьирование от до , то число возможных орбитальных оборотов для каждого типа, включая широты, неограниченно. Для первого и третьего типов число возрастает до бесконечности, как для спирального типа и широт число уже бесконечно. ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle -\infty }$ ${\displaystyle \infty ,}$ ${\displaystyle h^{2}\to n^{2};}$

Тот факт, что эти геодезические линии могут огибать червоточину, ясно показывает, что кривизна пространства сама по себе, без помощи гравитации, может заставить тестовые частицы и фотоны следовать по траекториям, которые значительно отклоняются от прямых линий, и могут создавать эффект линзирования.

Динамическая червоточина Эллиса

Существует динамическая версия червоточины Эллиса, которая является решением тех же уравнений поля, решением которых является статическая червоточина Эллиса. ^[4] Ее метрика равна

${\displaystyle c^{2}d\tau ^{2}=c^{2}dt^{2}-d\sigma ^{2}\,,}$

где

${\displaystyle d\sigma ^{2}=d\rho ^{2}+\left[\left(1+a^{2}\right)\rho ^{2}+a^{2}c^{2}t^{2}\,\right]\,d\Omega ^{2}\,,}$

${\displaystyle a}$будучи положительной константой. В точке есть «точечная сингулярность» , но везде в других местах метрика регулярна, а кривизны конечны. Геодезические, которые не сталкиваются с точечной сингулярностью, являются полными; те, которые сталкиваются, могут быть продолжены за ее пределы, продолжаясь вдоль любой из геодезических, которые сталкиваются с сингулярностью с противоположного направления времени и имеют совместимые касательные (аналогично геодезическим графика , которые сталкиваются с сингулярностью в начале координат). ${\displaystyle t=\rho =0,}$ ${\displaystyle z=(xy)^{3}}$

Для фиксированного ненулевого значения экваториального сечения, на котором имеет место метрика ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle \vartheta =\pi /2}$

${\displaystyle {\begin{aligned}ds^{2}&=d\rho ^{2}+r^{2}(t,\rho )\,d\varphi ^{2}\\&=d\rho ^{2}+\left[\left(1+a^{2}\right)\rho ^{2}+a^{2}c^{2}t^{2}\,\right]\,d\varphi ^{2}\,.\end{aligned}}}$

Эта метрика описывает «гиперкатеноид», аналогичный экваториальному катеноиду статической червоточины, при этом радиус горловины (где ) теперь заменен на и, в общем случае, каждый круг широты геодезического радиуса имеет окружной радиус . ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \rho =0}$ ${\displaystyle ac|t|,}$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle \textstyle r(t,\rho )={\sqrt {(1+a^{2})\rho ^{2}+a^{2}c^{2}t^{2}}}}$

Для метрики экваториального сечения есть ${\displaystyle t=0}$ ${\displaystyle \vartheta =\pi /2}$

${\displaystyle ds^{2}=d\rho ^{2}+\left(1+a^{2}\right)\rho ^{2}\,d\varphi ^{2}\,,}$

который описывает «гиперконус» с вершиной в особой точке, его широтные круги геодезического радиуса имеют окружности В отличие от катеноида, ни гиперкатеноид, ни гиперконус не могут быть полностью представлены в виде поверхности в трехмерном евклидовом пространстве; только те части, где (следовательно, где или эквивалентно ) могут быть вложены таким образом. ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle \textstyle 2\pi r(0,\rho )=2\pi {\sqrt {1+a^{2}}}\rho \,.}$ ${\displaystyle \textstyle |dr(t,\rho )/d\rho |=(1+a^{2})|\rho |{\big /}{\sqrt {(1+a^{2})\rho ^{2}+a^{2}c^{2}t^{2}}}\leq 1}$ ${\displaystyle \textstyle |\rho |\leq c|t|{\big /}{\sqrt {1+a^{2}}}}$ ${\displaystyle \textstyle r(t,\rho )\leq {\sqrt {1+a^{2}}}c|t|}$

Динамически, по мере продвижения от к экваториальные сечения сжимаются от гиперкатеноидов бесконечного радиуса до гиперконусов (гиперкатеноидов нулевого радиуса) при затем расширяются обратно до гиперкатеноидов бесконечного радиуса. Исследование тензора кривизны показывает, что полное динамическое пространственно-временное многообразие червоточины Эллиса является асимптотически плоским во всех направлениях времениподобным, светоподобным и пространственноподобным. ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle -\infty }$ ${\displaystyle \infty }$ ${\displaystyle t=0,}$ ${\displaystyle -}$

Приложения

• Рассеивание через червоточину Эллиса ^[5]
• Гравитационное линзирование в червоточине Эллиса
  • Микролинзирование червоточиной Эллиса ^[6]
  • Волновой эффект при линзировании червоточиной Эллиса ^[7]
  • Смещения центра изображения из-за микролинзирования червоточиной Эллиса ^[8]
  • Точное уравнение линзы для червоточины Эллиса ^[9]
  • Линзирование червоточинами ^{[10] [11]}

Ссылки

1. HG Ellis (1973). "Поток эфира через дренажное отверстие: модель частиц в общей теории относительности". Журнал математической физики . 14 (1): 104–118. Bibcode : 1973JMP....14..104E. doi : 10.1063/1.1666161.
2. К. А. Бронников (1973). «Скалярно-тензорная теория и скалярный заряд». Акта Физика Полоника . Б4 : 251–266.
3. MS Morris; KS Thorne (1988). «Червоточины в пространстве-времени и их использование для межзвездных путешествий: инструмент для обучения общей теории относительности». American Journal of Physics . 56 (5): 395–412. Bibcode :1988AmJPh..56..395M. doi : 10.1119/1.15620 .
4. HG Ellis (1979). «Развивающаяся, безпоточная дренажная дыра: модель негравитирующих частиц в общей теории относительности». Общая теория относительности и гравитация . 10 (2): 105–123. Bibcode : 1979GReGr..10..105E. doi : 10.1007/bf00756794. S2CID  122255430.
5. G. Clément (1984). «Рассеяние волн Клейна-Гордона и Максвелла с помощью геометрии Эллиса». International Journal of Theoretical Physics . 23 (4): 335–350. Bibcode : 1984IJTP...23..335C. doi : 10.1007/bf02114513. S2CID  120826946.
6. Ф. Абэ (2010). «Гравитационное микролинзирование червоточиной Эллиса». The Astrophysical Journal . 725 (1): 787–793. arXiv : 1009.6084 . Bibcode : 2010ApJ...725..787A. doi : 10.1088/0004-637x/725/1/787. S2CID  118548057.
7. C.-M. Yoo; T. Harada; N. Tsukamoto (2013). «Волновой эффект в гравитационном линзировании червоточиной Эллиса». Physical Review D. 87 ( 8): 084045–1–9. arXiv : 1302.7170 . Bibcode : 2013PhRvD..87h4045Y. doi : 10.1103/physrevd.87.084045. S2CID  119262200.
8. Y. Toki; T. Kitamura; H. Asada; F. Abe (2011). «Смещения центра астрометрического изображения из-за гравитационного микролинзирования червоточиной Эллиса». Astrophysical Journal . 740 (2): 121–1–8. arXiv : 1107.5374 . Bibcode : 2011ApJ...740..121T. doi : 10.1088/0004-637x/740/2/121. S2CID  119113064.
9. V. Perlick (2004). «Точное уравнение гравитационной линзы в сферически симметричном и статическом пространстве-времени». Physical Review D (Представленная рукопись). 69 (6): 064017–1–10. arXiv : gr-qc/0307072 . Bibcode :2004PhRvD..69f4017P. doi :10.1103/physrevd.69.064017. S2CID  119524050.
10. TK Dey; S. Sen (2008). «Гравитационное линзирование червоточинами». Modern Physics Letters A. 23 ( 13): 953–962. arXiv : 0806.4059 . Bibcode : 2008MPLA...23..953D. doi : 10.1142/s0217732308025498. S2CID  7909286.
11. KK Nandi; Y.-Z. Zhang; AV Zakharov (2006). "Гравитационное линзирование червоточинами". Physical Review D. 74 ( 2): 024020–1–13. arXiv : gr-qc/0602062 . Bibcode : 2006PhRvD..74b4020N. CiteSeerX 10.1.1.341.1533 . doi : 10.1103/physrevd.74.024020. S2CID  119454982.