Период повторяемости плотность энтропии

Энтропия плотности периода повторения ( RPDE ) — это метод в области динамических систем , стохастических процессов и анализа временных рядов для определения периодичности или повторяемости сигнала.

Обзор

Энтропия плотности периода повторения полезна для характеристики степени, в которой временной ряд повторяет одну и ту же последовательность, и поэтому похожа на линейную автокорреляцию и задержку во времени взаимной информации , за исключением того, что она измеряет повторяемость в фазовом пространстве системы, и, таким образом, является более надежной мерой, основанной на динамике базовой системы, которая сгенерировала сигнал. Она имеет то преимущество, что не требует предположений о линейности , гауссовости или динамическом детерминизме. Она успешно использовалась для обнаружения отклонений в биомедицинских контекстах, таких как речевой сигнал. ^{[1] [2]}

Значение RPDE является скаляром в диапазоне от нуля до единицы. Для чисто периодических сигналов, , тогда как для чисто iid , однородного белого шума , . ^[2] ${\displaystyle \scriptstyle H_{\mathrm {norm} }}$ ${\displaystyle \scriptstyle H_{\mathrm {norm} }=0}$ ${\displaystyle \scriptstyle H_{\mathrm {norm} }\approx 1}$

Как RPDE ранжирует сигналы по их фазовой периодичности. Маленькие панели — это изображения временных рядов, а большая шкала в середине — значение RPDE. Видно, что чисто периодические сигналы, независимо от гармонического содержания в спектральном смысле, имеют значение RPDE, равное нулю. Случайно вынужденные периодические колебания имеют более высокое значение, за ними следуют хаотические системы, случайно вынужденные линейные резонаторы, автокоррелированные случайные процессы, и в крайнем случае равномерный случайный шум имеет значение RPDE, близкое к единице.

Описание метода

Метод RPDE сначала требует вложения временного ряда в фазовое пространство , что, согласно стохастическим расширениям теорем Такена о вложении, может быть выполнено путем формирования векторов с временной задержкой:

${\displaystyle \mathbf {X} _{n}=[x_{n},x_{n+\tau },x_{n+2\tau },\ldots ,x_{n+(M-1)\tau }]}$

для каждого значения x _n во временном ряду, где M — размерность вложения , а τ — задержка вложения. Эти параметры получаются путем систематического поиска оптимального набора (из-за отсутствия практических методов параметров вложения для стохастических систем) (Stark et al. 2003). Затем вокруг каждой точки в фазовом пространстве формируется -окрестность ( m -мерный шар с этим радиусом), и каждый раз, когда временной ряд возвращается в этот шар, после того как покинул его, разница во времени T между последовательными возвратами записывается в гистограмму . Эта гистограмма нормируется для суммы к единице, чтобы сформировать оценку функции плотности периода повторения P ( T ). Нормализованная энтропия этой плотности: ${\displaystyle \scriptstyle \mathbf {X} _{n}}$ ${\displaystyle \varepsilon }$

${\displaystyle H_{\mathrm {norm} }=-(\ln {T_{\max })}^{-1}\sum _{t=1}^{T_{\max }}P(t)\ln {P(t)}}$

— значение RPDE, где — наибольшее значение повторяемости (обычно порядка 1000 выборок). ^[2] Обратите внимание, что RPDE предназначен для применения как к детерминированным, так и к стохастическим сигналам, поэтому, строго говоря, исходная теорема Такена о вложении неприменима и требует некоторой модификации. ^[3] ${\displaystyle \scriptstyle T_{\max }}$

Графическое описание вычислений, необходимых для нахождения значения RPDE. Во-первых, временной ряд представляет собой временную задержку, встроенную в реконструированное фазовое пространство. Затем вокруг каждой точки во встроенном фазовом пространстве создается окрестность повторения радиуса. Все повторения в этой окрестности отслеживаются, а временной интервал T между повторениями записывается в гистограмму. Эта гистограмма нормализуется для создания оценки функции плотности периода повторения P ( T ). Нормализованная энтропия этой плотности является значением RPDE . ${\displaystyle \scriptstyle \varepsilon }$ ${\displaystyle \scriptstyle H_{\mathrm {norm} }}$

РПДЕ на практике

RPDE способен обнаруживать тонкие изменения в естественных биологических временных рядах, такие как нарушение регулярных периодических колебаний при аномальной сердечной функции, которые трудно обнаружить с помощью классических инструментов обработки сигналов, таких как преобразование Фурье или линейное предсказание . Плотность периода повторения является разреженным представлением для нелинейных, негауссовых и недетерминированных сигналов, тогда как преобразование Фурье является разреженным только для чисто периодических сигналов.

Значения RPDE для нормального синусового ритма ЭКГ и для ЭКГ пациента с апноэ во сне. Временные ряды (графики с синими линиями) и спектры (графики с черными линиями) сравнительно трудно различимы, тем не менее, значения RPDE достаточно различаются, чтобы обнаружение аномалии было простым. ${\displaystyle H_{norm}}$

Смотрите также

• График рекуррентности , мощный инструмент визуализации рекуррентных закономерностей в динамических (и других) системах. ^[4]
• Анализ количественной оценки повторяемости — еще один подход к количественной оценке свойств повторяемости.

Ссылки

1. M. Little, P. McSharry, I. Moroz , S. Roberts (2006) Нелинейное, биофизически обоснованное обнаружение патологии речи на Международной конференции IEEE 2006 по акустике, речи и обработке сигналов, 2006. Труды ICASSP 2006.: Тулуза, Франция. стр. II-1080-II-1083.
2. MA Little, PE McSharry, SJ Roberts, DAE Costello, IM Moroz ( 2007 ) Использование нелинейной рекуррентности и свойств фрактального масштабирования для обнаружения нарушений голоса, BioMedical Engineering OnLine, 6:23
3. J. Stark, DS Broomhead, ME Davies и J. Huke (2003) Delay Embeddings for Forced Systems. II. Стохастическое принуждение. Журнал нелинейной науки, 13 (6):519-577
4. N. Marwan; MC Romano; M. Thiel; J. Kurths (2007). «Диаграммы повторения для анализа сложных систем». Physics Reports . 438 (5–6): 237. Bibcode : 2007PhR...438..237M. doi : 10.1016/j.physrep.2006.11.001.

Внешние ссылки

• Быстрый код MATLAB для расчета значения RPDE.
• http://www.recurrence-plot.tk/