В математическом образовании этноматематика изучает взаимосвязь между математикой и культурой . [1] Часто ассоциируемая с «культурами без письменного выражения», [2] ее также можно определить как «математику, которая практикуется среди идентифицируемых культурных групп». [3] Она относится к широкому кластеру идей, начиная от отдельных числовых и математических систем и заканчивая мультикультурным математическим образованием . Цель этноматематики — внести вклад как в понимание культуры, так и в понимание математики, и, главным образом, привести к пониманию связей между ними.
Термин «этноматематика» был введен бразильским педагогом и математиком Убиратаном Д'Амброзио в 1977 году во время презентации для Американской ассоциации содействия развитию науки . С тех пор, как Д'Амброзио предложил этот термин, ведутся споры относительно его точного определения. [4] ).
Ниже приведена выборка некоторых определений этноматематики, предложенных в период с 1985 по 2006 год:
Некоторые из систем представления чисел в предыдущих и настоящих культурах хорошо известны. Римские цифры используют несколько букв алфавита для представления чисел до тысяч, но не предназначены для произвольно больших чисел и могут представлять только положительные целые числа . Арабские цифры — это семейство систем, возникших в Индии и перешедших в средневековую исламскую цивилизацию , затем в Европу, а теперь являющихся стандартом в мировой культуре — и претерпевших множество любопытных изменений со временем и географией — могут представлять произвольно большие числа и были адаптированы для отрицательных чисел, дробей и действительных чисел .
Менее известные системы включают некоторые, которые записаны и могут быть прочитаны сегодня, например, еврейский и греческий метод использования букв алфавита в следующем порядке: для цифр 1–9, десятков 10–90 и сотен 100–900.
Совершенно иная система — кипу , в которой числа записывались на веревочках с узелками.
Этноматематиков интересуют способы развития систем исчисления, а также их сходства и различия и причины их возникновения. Большое разнообразие способов представления чисел особенно интригует.
Это означает способы образования числовых слов. [16] [17]
Например, в английском языке существует четыре различных системы. Единичные слова (один до девяти) и десять являются особыми. Следующие два являются сокращенными формами англосаксонских "one left over" и "two left over" (т. е. после счета до десяти). Кратные десяти от "twenty" до "ninety" образуются из единичных слов, от одного до девяти, по единому образцу. Тринадцать до девятнадцати составляются из десятков и единиц одним способом, а некратные десяти от двадцати одного до девяноста девяти составляются из десятков и единиц другим способом. Более крупные числа также образуются на основе десяти и ее степеней (" сотня " и " тысяча "). Можно предположить, что это основано на древней традиции счета на пальцах . Остатки древнего счета по 20 и 12 - это слова " score ", " dwendy " и "gross". (Более крупные числительные, такие как « миллион », не являются частью оригинальной английской системы; они являются научными творениями, основанными в конечном счете на латыни.) Существовали исторические несоответствия в том, как термин « миллиард » использовался между американским английским и британским английским. С тех пор они были устранены, и современные носители английского языка повсеместно называют 1 000 000 000 как «один миллиард».
Немецкий и голландский языки считают так же, как и английский, но единица ставится перед десятками в числах свыше 20. Например, «26» — это «sechsundzwanzig», буквально «шесть и двадцать». Эта система раньше была распространена в английском языке, как видно из артефакта из английского детского стишка « Sing a Song of Sixpence »: Sing a song of sixpence, / a pocket full of rye. / Four and twenty blackbirds, / baked in a pie. Она сохраняется в некоторых детских песнях, таких как «One and Twenty Archived 2019-03-23 at the Wayback Machine ».
Во французском языке , используемом во Франции, можно увидеть некоторые различия. Soixante-dix (дословно «шестьдесят десять») используется для «семьдесят». Слова «quatre-vingt» (дословно «четыре двадцать» или 80) и «quatre-vingt-dix» (дословно «четыре двадцать десять» 90) основаны на 20 («vingt») вместо 10. Швейцарский французский и бельгийский французский не используют эти формы, предпочитая более стандартные латинские формы: septante для 70, huitante (ранее octante ) для 80 (только в швейцарском французском) и nonante для 90. [18] [19]
Счет в валлийском языке сочетает в себе двадцатеричную систему (счет по двадцаткам) с некоторыми другими особенностями. [ необходима ссылка ] Следующая система в настоящее время является необязательной для количественных числительных, но обязательной для порядковых числительных.
Числовые слова в китайском языке состоят из слов, обозначающих «один» — «девять», а также слов, обозначающих степени числа десять.
Например, то, что на английском языке пишется как «двенадцать тысяч триста сорок пять», будет записано как «一万二千三百四十五» (упрощенно) / «一萬二千三百四十五» (традиционно), иероглифы которых переводятся как «один десяток тысяч две тысячи триста четыре десять пять».
В Древней Месопотамии основой для построения чисел было число 60 , а число 10 использовалось в качестве промежуточного основания для чисел ниже 60.
Многие западноафриканские языки обычно основывают свои числовые слова на комбинации 5 и 20, полученной из представления о полной руке или полном наборе пальцев, включающем как пальцы рук, так и ноги. Фактически, в некоторых языках слова для 5 и 20 относятся к этим частям тела (например, слово для 20, которое означает «человек полный»). Слова для чисел ниже 20 основаны на 5, а более высокие числа объединяют меньшие числа с кратными и степенями 20. Это описание сотен африканских языков сильно упрощено. [20]
Многие системы подсчета пальцев использовались и до сих пор используются в разных частях света. Большинство из них не так очевидны, как поднятие нескольких пальцев. Положение пальцев может быть наиболее важным. [21] Одно из продолжающихся применений подсчета пальцев — это когда люди, говорящие на разных языках, сообщают цены на рынке.
В отличие от счета на пальцах, народ юки (коренные американцы из Северной Калифорнии ) ведет счет, используя четыре промежутка между пальцами, а не сами пальцы. [22] Это известно как восьмеричная (основанная на 8) система счета.
Эта область этноматематики в основном фокусируется на борьбе с европоцентризмом путем противодействия распространенному мнению [ по чьему мнению? ] , что наиболее ценная [ требуется разъяснение ] математика, известная и используемая сегодня, была разработана в западном мире.
В этой области подчеркивается, что « история математики была чрезмерно упрощена» [ по мнению кого? ] и делается попытка исследовать возникновение математики в различные эпохи и цивилизациях на протяжении всей истории человечества. [ нужна ссылка ]
Обзор эволюции математики, сделанный Д'Амброзио в 1980 году, его призыв 1985 года включить этноматематику в историю математики и его статья 2002 года об историографических подходах к не-западной математике являются прекрасными примерами. Кроме того, попытка Франкенштейна и Пауэлла 1989 года переопределить математику с не-европоцентристской точки зрения и концепции мировой математики Андерсона 1990 года являются значительным вкладом в эту область. Также были представлены подробные исследования истории развития математики не-европейских цивилизаций, таких как математика древней Японии , [23] Ирака, [24] Египта , [25] и исламской, [26] еврейской, [27] и инков [28] цивилизаций.
Суть любого спора о культурной природе математики в конечном итоге приведет к исследованию природы самой математики. Одна из старейших и самых спорных тем в этой области — является ли математика внутренней или внешней, восходящая к аргументам Платона , экстерналиста, и Аристотеля , интерналиста. С одной стороны, интерналисты , такие как Бишоп, Стиглер и Баранес, считают математику культурным продуктом. С другой стороны, экстерналисты, такие как Барроу, Шеваллар и Пенроуз, считают математику свободной от культуры и, как правило, являются главными критиками этноматематики. Вместе со спорами о природе математики возникают вопросы о природе этноматематики и вопрос о том, является ли этноматематика частью математики или нет. Бартон, предложивший ядро исследований по этноматематике и философии, задается вопросом, является ли «этноматематика предшественником, параллельным корпусом знаний или доколонизированным корпусом знаний» математики и возможно ли для нас вообще идентифицировать все типы математики, основываясь на западно-эпистемологической основе. [29]
Вклады в этой области пытаются пролить свет на то, как математика повлияла на неакадемические области общества. Одним из самых спорных и провокационных политических компонентов этноматематики является ее расовое значение. Этноматематики утверждают, что префикс «этно» не следует воспринимать как относящийся к расе, а скорее как относящийся к культурным традициям групп людей. [30] Однако в таких местах, как Южная Африка, понятия культуры, этнической принадлежности и расы не только переплетены, но и несут в себе сильные, разделяющие негативные коннотации. Таким образом, хотя можно прямо заявить, что этноматематика не является «расистской доктриной», она уязвима для ассоциации с расизмом. [ требуется ссылка ]
Другой важный аспект этой области касается взаимосвязи между полом и математикой. Здесь рассматриваются такие темы, как различия в успеваемости мужчин и женщин в области математики в образовании и профессиональной ориентации, социальные причины, вклад женщин в исследования и разработки в области математики и т. д.
Труды Паулуса Гердеса о том, как математика может быть использована в школьных системах Мозамбика и Южной Африки, и обсуждение Д'Амброзио в 1990 году роли математики в построении демократического и справедливого общества являются примерами влияния, которое математика может оказать на развитие идентичности общества. В 1990 году Бишоп также пишет о мощном и доминирующем влиянии западной математики. Более конкретные примеры политического влияния математики можно увидеть в исследовании Книджика 1993 года о том, как бразильские фермеры, выращивающие сахарный тростник, могут быть политически и экономически вооружены математическими знаниями, и в анализе Осмонда воспринимаемой ценности математики работодателем (2000).
Основное внимание в этой области уделяется представлению математических идей людей, которые, как правило, исключались из обсуждений формальной академической математики. Исследования математики этих культур указывают на две, слегка противоречивые точки зрения. Первая поддерживает объективность математики и то, что она является чем-то открытым, а не сконструированным. Исследования показывают, что во всех культурах есть основные методы подсчета, сортировки и дешифровки, и что они возникли независимо в разных местах по всему миру. Это можно использовать для утверждения, что эти математические концепции открываются, а не создаются. Однако другие подчеркивают, что полезность математики — это то, что имеет тенденцию скрывать ее культурные конструкции. Естественно, неудивительно, что чрезвычайно практические концепции, такие как числа и счет, возникли во всех культурах. Универсальность этих концепций, однако, кажется труднее поддерживать, поскольку все больше исследований раскрывают практики, которые обычно являются математическими, такие как подсчет, упорядочивание, сортировка, измерение и взвешивание, выполняемые радикально разными способами (см. Раздел 2.1: Числа и системы наименований).
Одной из проблем, с которой сталкиваются исследователи в этой области, является тот факт, что они ограничены своими собственными математическими и культурными рамками. Обсуждения математических идей других культур переделывают их в западные рамки, чтобы идентифицировать и понять их. [ необходима цитата ] Это поднимает вопросы о том, сколько математических идей ускользают от внимания просто потому, что у них нет аналогичных западных математических аналогов, и о том, как провести границу, классифицирующую математические идеи от нематематических.
Большинство исследований в этой области были посвящены интуитивному математическому мышлению представителей малочисленных традиционных коренных культур, включая австралийских аборигенов , [31] коренное население Либерии , [32] коренных американцев в Северной Америке, [33] жителей островов Тихого океана , [34] бразильских строительных бригадиров, [35] и различные племена в Африке . [36] [37]
Огромное разнообразие игр, которые можно анализировать математически, игралось по всему миру и на протяжении всей истории. Интерес этноматематика обычно сосредоточен на способах, которыми игра представляет неформальную математическую мысль как часть обычного общества, но иногда распространяется на математический анализ игр. Он не включает в себя тщательный анализ хорошей игры, но может включать социальные или математические аспекты такого анализа.
Математическая игра, которая хорошо известна в европейской культуре, — это крестики-нолики (крестики-нолики). Это геометрическая игра, в которую играют на поле 3 на 3; цель — выстроить прямую линию из трех одинаковых символов. Существует много в целом похожих игр из всех частей Англии , если назвать только одну страну, где они встречаются.
Другой вид геометрической игры включает в себя объекты, которые перемещаются или перепрыгивают друг через друга в пределах определенной формы («доски»). Могут быть захваты. Целью может быть устранение фигур противника или просто формирование определенной конфигурации, например, расположение объектов в соответствии с правилом. Одна из таких игр — « Never Men's Morris» ; у нее есть бесчисленное множество родственников, в которых доска, расстановка или ходы могут различаться, иногда радикально. Этот вид игры хорошо подходит для игры на открытом воздухе с камнями на земле, хотя теперь в ней могут использоваться пластиковые фигуры на бумажной или деревянной доске.
Математическая игра, найденная в Западной Африке, заключается в том, чтобы нарисовать определенную фигуру линией, которая никогда не заканчивается, пока не замкнет фигуру, достигнув начальной точки (в математической терминологии это эйлеров путь на графике ). Дети используют палочки, чтобы рисовать их на земле или песке, и, конечно, в игру можно играть с ручкой и бумагой.
Шашки , шахматы , оваре (и другие игры типа манкала ) и го также можно рассматривать как предметы этноматематики.
Один из способов проявления математики в искусстве — через симметрию . Тканые узоры на ткани или коврах (если назвать два) обычно имеют некое симметричное расположение. Прямоугольный ковер часто имеет прямоугольную симметрию в общем узоре. Тканое полотно может демонстрировать один из семнадцати видов групп плоской симметрии ; см. Crowe (2004) для иллюстрированного математического исследования африканских ткацких узоров. Несколько типов узоров, обнаруженных этноматематическими сообществами, связаны с технологиями; см. Berczi (2002) об иллюстрированном математическом исследовании узоров и симметрии в Евразии. После анализа индонезийских народных ткацких узоров [38] и традиционных архитектурных орнаментов батак [39] геометрия индонезийских традиционных мотивов батика анализируется Хокки Ситунгкиром , который в конечном итоге создал новый жанр фрактальных узоров батика как генеративного искусства ; см. Situngkir и Surya (2007) для реализаций.
Этноматематика и математическое образование рассматривают, во-первых, как культурные ценности могут влиять на преподавание, обучение и учебную программу, и, во-вторых, как математическое образование может затем влиять на политическую и социальную динамику культуры. Одна из позиций, занимаемых многими педагогами, заключается в том, что крайне важно признавать культурный контекст студентов-математиков, обучая математике, основанной на культуре, с которой студенты могут себя соотнести. Может ли преподавание математики через культурную релевантность и личный опыт помочь учащимся узнать больше о реальности, культуре, обществе и самих себе? Роберт (2006)
Другой подход, предлагаемый преподавателями математики, заключается в том, чтобы знакомить учащихся с математикой различных культурных контекстов, часто называемой мультикультурной математикой. Это может быть использовано как для повышения социальной осведомленности учащихся, так и для предложения альтернативных методов подхода к традиционным математическим операциям, таким как умножение (Andrew, 2005).
Различные преподаватели математики исследовали способы объединения культуры и математики в классе, например: Барбер и Эстрин (1995) и Брэдли (1984) об образовании коренных американцев, Гердес (1988b и 2001) с предложениями по использованию африканского искусства и игр, Маллой (1997) об афроамериканских учениках и Флорес (1997), который разработал учебные стратегии для испаноязычных учеников.
Некоторые критики утверждают, что математическое образование чрезмерно акцентирует внимание на этноматематике с целью продвижения мультикультурализма , уделяя при этом слишком мало времени основному математическому содержанию, и что это часто приводит к преподаванию псевдонауки . [ необходима ссылка ] Ричард Эски изучил [40] Focus on Algebra ( учебник Эддисона-Уэсли , подвергшийся критике в статье Марианны М. Дженнингс [41] ) и среди других недостатков нашел его виновным в повторении опровергнутых утверждений об астрономии догонов .
Совсем недавно изменения в учебной программе, предложенные школьным округом Сиэтла, вызвали критику этноматематики. Некоторые люди осуждали предложенные изменения, которые включали структуру для смешивания математики и этнических исследований , за включение таких вопросов, как «Насколько важно быть правым?» и «Кто может сказать, является ли ответ правильным?» [42]