Теорема о теннисной ракетке

Твердое тело с тремя различными осями инерции неустойчиво вращается вокруг средней оси.

Главные оси теннисной ракетки.

Композитное видео теннисной ракетки, вращающейся вокруг трех осей — промежуточная переворачивается от светлого края к темному краю (обратите внимание, что нумерация смещена на 1 на схеме выше)

Титульный лист книги "Новая теория ротации корпусов", печать 1852 года.

Теорема о теннисной ракетке или теорема о промежуточной оси — кинетическое явление классической механики , которое описывает движение твердого тела с тремя различными главными моментами инерции . Его также назвали эффектом Джанибекова в честь советского космонавта Владимира Джанибекова , который заметил одно из логических следствий теоремы , находясь в космосе в 1985 году. ^[1] Формально эффект был известен по крайней мере 150 лет, его описал Луи Пуансо в 1834. ^{[2] [3]}

Теорема описывает следующий эффект: вращение объекта вокруг первой и третьей главных осей устойчиво, а вращение вокруг второй главной оси (или промежуточной оси) — нет.

Это можно продемонстрировать следующим опытом: возьмите теннисную ракетку за ручку, лицевой стороной горизонтально, и подбросьте ее в воздух так, чтобы она совершила полный оборот вокруг своей горизонтальной оси, перпендикулярной ручке (ê ₂ на схеме , ê ₁ на видео), а затем поймать за ручку. Почти во всех случаях во время этого поворота лицо также совершает половину оборота, так что другая грань теперь оказывается вверху. Напротив, ракетку легко бросить так, чтобы она вращалась вокруг оси рукоятки (ê ₁ на схеме) без сопутствующего полуповорота вокруг другой оси; также можно заставить его вращаться вокруг вертикальной оси, перпендикулярной ручке (ê ₃ на схеме), без сопутствующего полуповорота.

Эксперимент можно провести с любым объектом, имеющим три разных момента инерции, например с книгой, пультом дистанционного управления или смартфоном. Эффект возникает всякий раз, когда ось вращения лишь незначительно отличается от второй главной оси объекта; сопротивление воздуха или гравитация не являются необходимыми. ^[4]

Теория

Демонстрация эффекта Джанибекова в условиях микрогравитации , НАСА .

Теорему о теннисной ракетке можно качественно проанализировать с помощью уравнений Эйлера . В условиях отсутствия крутящего момента они принимают следующий вид:

$${\displaystyle {\begin{aligned}I_{1}{\dot {\omega }}_{1}&=-(I_{3}-I_{2})\omega _{3}\omega _{2}~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~{\text{(1)}}\\I_{2}{\dot {\omega }}_{2}&=-(I_{1}-I_{3})\omega _{1}\omega _{3}~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~{\text{(2)}}\\I_{3}{\dot {\omega }}_{3}&=-(I_{2}-I_{1})\omega _{2}\omega _{1}~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~{\text{(3)}}\end{aligned}}}$$

Здесь обозначаем главные моменты инерции объекта и принимаем . Угловые скорости вокруг трех главных осей объекта равны, а их производные по времени обозначены . ${\displaystyle I_{1},I_{2},I_{3}}$ ${\displaystyle I_{1}<I_{2}<I_{3}}$ ${\displaystyle \omega _{1},\omega _{2},\omega _{3}}$ ${\displaystyle {\dot {\omega }}_{1},{\dot {\omega }}_{2},{\dot {\omega }}_{3}}$

Стабильное вращение вокруг первой и третьей главных осей.

Рассмотрим ситуацию, когда объект вращается вокруг оси с моментом инерции . Для определения характера равновесия предположим малые начальные угловые скорости по двум другим осям. В результате, согласно уравнению (1), это очень мало. Поэтому зависимостью от времени можно пренебречь. ${\displaystyle I_{1}}$ ${\displaystyle ~{\dot {\omega }}_{1}}$ ${\displaystyle ~\omega _{1}}$

Теперь, дифференцируя уравнение (2) и подставляя из уравнения (3), ${\displaystyle {\dot {\omega }}_{3}}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}I_{2}{\ddot {\omega }}_{2}&=-(I_{1}-I_{3})\omega _{1}{\dot {\omega }}_{3}\\I_{3}I_{2}{\ddot {\omega }}_{2}&=(I_{1}-I_{3})(I_{2}-I_{1})(\omega _{1})^{2}\omega _{2}\\{\text{i.e. }}~~~~{\ddot {\omega }}_{2}&={\text{(negative quantity)}}\cdot \omega _{2}\end{aligned}}}$$

потому что и . ${\displaystyle I_{2}-I_{1}>0}$ ${\displaystyle I_{1}-I_{3}<0}$

Обратите внимание, что это противоположность, поэтому вращение вокруг этой оси стабильно для объекта. ${\displaystyle \omega _{2}}$

Аналогичные рассуждения показывают, что вращение вокруг оси с моментом инерции также устойчиво. ${\displaystyle I_{3}}$

Неустойчивое вращение вокруг второй главной оси.

Теперь примените тот же анализ к оси с моментом инерции. Это время очень мало. Поэтому зависимостью от времени можно пренебречь. ${\displaystyle I_{2}.}$ ${\displaystyle {\dot {\omega }}_{2}}$ ${\displaystyle ~\omega _{2}}$

Теперь, дифференцируя уравнение (1) и подставляя из уравнения (3), ${\displaystyle {\dot {\omega }}_{3}}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}I_{1}I_{3}{\ddot {\omega }}_{1}&=(I_{3}-I_{2})(I_{2}-I_{1})(\omega _{2})^{2}\omega _{1}\\{\text{i.e.}}~~~~{\ddot {\omega }}_{1}&={\text{(positive quantity)}}\cdot \omega _{1}\end{aligned}}}$$

Обратите внимание, что оно не противоположно (и, следовательно, будет расти), поэтому вращение вокруг второй оси нестабильно . Поэтому даже небольшое возмущение по другим осям приводит к «перевороту» объекта. ${\displaystyle \omega _{1}}$

Матричный анализ

Если объект преимущественно вращается вдоль своей третьей оси, то можно предположить, что оно не сильно меняется, и записать уравнения движения в виде матричного уравнения: ${\displaystyle |\omega _{3}|\gg |\omega _{1}|,|\omega _{2}|}$ ${\displaystyle \omega _{3}}$

$${\displaystyle {\frac {d}{dt}}{\begin{bmatrix}\omega _{1}\\\omega _{2}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0&-\omega _{3}(I_{3}-I_{2})/I_{1}\\-\omega _{3}(I_{1}-I_{3})/I_{2}&0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\omega _{1}\\\omega _{2}\end{bmatrix}}}$$

нулевой след и положительный определитель ${\displaystyle (\omega _{1},\omega _{2})}$ ${\displaystyle (\omega _{1},0,0)}$ ${\displaystyle (0,\omega _{2},0)}$

Геометрический анализ

Визуализация нестабильности промежуточной оси. Величина углового момента и кинетическая энергия вращающегося объекта сохраняются. В результате вектор угловой скорости остается на пересечении двух эллипсоидов.

Во время движения как энергия, так и квадрат углового момента сохраняются, поэтому мы имеем две сохраняющиеся величины:

$${\displaystyle {\begin{cases}2E=\sum _{i}I_{i}\omega _{i}^{2}\\L^{2}=\sum _{i}I_{i}^{2}\omega _{i}^{2}\end{cases}}}$$

${\displaystyle \omega (0)}$ ${\displaystyle \omega (t)}$

$${\displaystyle {\begin{cases}\sum _{i}I_{i}\omega _{i}^{2}=\sum _{i}I_{i}\omega _{i}(0)^{2}\\\sum _{i}I_{i}^{2}\omega _{i}^{2}=\sum _{i}I_{i}^{2}\omega _{i}(0)^{2}\end{cases}}}$$

Изучая уравнения Эйлера, мы видим, что из этого следует, что две компоненты равны нулю, то есть объект вращается точно вокруг одной из главных осей. Во всех остальных ситуациях необходимо оставаться в движении. ${\displaystyle \omega (t)=0}$ ${\displaystyle \omega (t)}$ ${\displaystyle \omega (t)}$

Согласно уравнениям Эйлера, если есть решение, то оно есть и для любой константы . В частности, движение тела в свободном пространстве (полученное интегрированием ) точно такое же , только совершается быстрее на отношение . ${\displaystyle \omega (t)}$ ${\displaystyle c\omega (ct)}$ ${\displaystyle c>0}$ ${\displaystyle c\omega (ct)dt}$ ${\displaystyle c}$

Следовательно, мы можем анализировать геометрию движения с фиксированным значением и варьировать от фиксированного эллипсоида постоянного квадрата углового момента. При изменении значения также меняется, что дает нам изменяющийся эллипсоид постоянной энергии. На анимации это показано в виде фиксированного оранжевого эллипсоида и увеличивающегося синего эллипсоида. ${\displaystyle L^{2}}$ ${\displaystyle \omega (0)}$ ${\displaystyle \omega (0)}$ ${\displaystyle 2E}$

Для конкретности рассмотрим , тогда большие оси эллипсоида угловых моментов имеют отношения , а большие оси эллипсоида энергии имеют отношения . Таким образом, эллипсоид углового момента одновременно более плоский и острый, как видно на анимации. В общем, эллипсоид момента количества движения всегда более «преувеличен», чем эллипсоид энергии. ${\displaystyle I_{1}=1,I_{2}=2,I_{3}=3}$ ${\displaystyle 1:1/2:1/3}$ ${\displaystyle 1:1/{\sqrt {2}}:1/{\sqrt {3}}}$

Теперь впишите на фиксированный эллипсоид его кривые пересечения с эллипсоидом , возрастающим от нуля до бесконечности. Мы видим, что кривые развиваются следующим образом: ${\displaystyle L^{2}}$ ${\displaystyle 2E}$ ${\displaystyle 2E}$

Все кривые пересечения эллипсоида момента импульса с эллипсоидом энергии (не показаны).

• При малой энергии пересечения нет, так как нам нужен минимум энергии, чтобы оставаться на эллипсоиде момента количества движения.
• Эллипсоид энергии впервые пересекает эллипсоид импульса , когда в точках . Это когда тело вращается вокруг своей оси с наибольшим моментом инерции. ${\displaystyle 2E=L^{2}/I_{3}}$ ${\displaystyle (0,0,\pm L/I_{3})}$
• Они пересекаются за два цикла вокруг точек . Поскольку каждый цикл не содержит точки, в которой , движение должно быть периодическим движением вокруг каждого цикла. ${\displaystyle (0,0,\pm L/I_{3})}$ ${\displaystyle {\dot {\omega }}=0}$ ${\displaystyle \omega (t)}$
• Они пересекаются по двум «диагональным» кривым, пересекающимся в точках , когда . Если он начнется где-нибудь на диагональных кривых, он приблизится к одной из точек, расстояние экспоненциально уменьшится, но никогда не достигнет точки. Другими словами, у нас есть 4 гетероклинические орбиты между двумя седловыми точками. ${\displaystyle (0,\pm L/I_{2},0)}$ ${\displaystyle 2E=L^{2}/I_{2}}$ ${\displaystyle \omega (t)}$
• Они пересекаются за два цикла вокруг точек . Поскольку каждый цикл не содержит точки, в которой , движение должно быть периодическим движением вокруг каждого цикла. ${\displaystyle (\pm L/I_{1},0,0)}$ ${\displaystyle {\dot {\omega }}=0}$ ${\displaystyle \omega (t)}$
• Эллипсоид энергии последний раз пересекает эллипсоид импульса , когда в точках . Это когда тело вращается вокруг своей оси с наименьшим моментом инерции. ${\displaystyle 2E=L^{2}/I_{1}}$ ${\displaystyle (\pm L/I_{1},0,0)}$

Эффект теннисной ракетки возникает, когда мяч находится очень близко к седловой точке. Тело задерживалось возле точки седла, затем быстро перемещалось к другой точке седла, около , снова задерживалось на долгое время и так далее. Движение повторяется с периодом . ${\displaystyle \omega (0)}$ ${\displaystyle \omega (T/2)}$ ${\displaystyle T}$

Весь приведенный выше анализ выполнен с точки зрения наблюдателя, который вращается вместе с телом. Наблюдатель, наблюдающий за движением тела в свободном пространстве, увидит, что его вектор углового момента сохраняется, в то время как вектор его угловой скорости и момент инерции претерпевают сложные движения в пространстве. Вначале наблюдатель увидит, что обе они в основном совпадают со второй главной осью . Через некоторое время тело выполняет сложное движение и в итоге оказывается на , и снова оба в основном выровнены по второй главной оси . ${\displaystyle {\vec {L}}=I{\vec {\omega }}}$ ${\displaystyle {\vec {\omega }}(t)}$ ${\displaystyle I(t)}$ ${\displaystyle {\vec {\omega }}(0),{\vec {L}}}$ ${\displaystyle I(0)}$ ${\displaystyle I(T/2),{\vec {\omega }}(T/2)}$ ${\displaystyle {\vec {L}},{\vec {\omega }}(T/2)}$ ${\displaystyle I(T/2)}$

Следовательно, есть две возможности: либо вторая главная ось твердого тела направлена ​​в том же направлении, либо она имеет противоположное направление. Если он все еще находится в том же направлении, то взгляд в системе отсчета твердого тела также в основном находится в том же направлении. Однако мы только что это увидели и находимся вблизи противоположных седловых точек . Противоречие. ${\displaystyle {\vec {\omega }}(0),{\vec {\omega }}(T/2)}$ ${\displaystyle \omega (0)}$ ${\displaystyle \omega (T/2)}$ ${\displaystyle (0,\pm L/I_{2},0)}$

Качественно это то, что наблюдатель, наблюдающий в свободном пространстве, мог бы наблюдать:

• Тело некоторое время вращается вокруг своей второй большой оси.
• Тело быстро совершает сложное движение, пока его вторая главная ось не меняет направление.
• Тело снова некоторое время вращается вокруг своей второй большой оси. Повторить.

В этом легко убедиться на видео-демонстрации в условиях микрогравитации.

С рассеиванием

Когда тело не совсем жесткое, но может сгибаться и изгибаться или содержать жидкость, которая растекается вокруг, оно может рассеивать энергию через свои внутренние степени свободы. В этом случае тело по-прежнему имеет постоянный момент импульса, но его энергия будет уменьшаться, пока не достигнет точки минимума. Как анализировалось с геометрической точки зрения выше, это происходит, когда угловая скорость тела точно совпадает с его осью максимального момента инерции.

Это произошло с «Эксплорером-1» , первым спутником , запущенным Соединенными Штатами в 1958 году. Удлиненный корпус космического корабля был спроектирован так, чтобы вращаться вокруг своей длинной (наименьшей инерционной ) оси, но отказался это делать и вместо этого начал прецессию из-за энергии. диссипация от гибких элементов конструкции.

В общем, небесные тела, большие или малые, будут сходиться к постоянному вращению вокруг своей оси максимального момента инерции. Всякий раз, когда небесное тело обнаруживается в сложном состоянии вращения, это происходит либо из-за недавнего удара или приливного взаимодействия, либо является фрагментом недавно разрушенного прародителя. ^[5]

Смотрите также

• Углы Эйлера  - Описание ориентации твердого тела.
• Момент инерции  - скалярная мера инерции вращения относительно фиксированной оси вращения.
• Эллипсоид Пуансо  - геометрический метод визуализации вращающегося твердого тела.
• Полход  - Кривая, создаваемая вектором угловой скорости на эллипсоиде инерции.

Рекомендации

1. Эффект Джанибекова (гайка Джанибекова), 23 июля 2009 г. (на русском языке) . Программу можно скачать здесь
2. Пуансо (1834) Новая теория вращения корпуса, Башелье, Париж
3. Дерек Мюллер (19 сентября 2019 г.). Объяснение странного поведения вращающихся тел. Веритасиум . Проверено 16 февраля 2020 г.
4. Леви, Марк (2014). Классическая механика с вариационным исчислением и оптимальным управлением: интуитивное введение. Американское математическое общество. стр. 151–152. ISBN 9781470414443.
5. Эфроимский, Михаил (март 2002 г.). «Эйлер, Якоби и миссии к кометам и астероидам». Достижения в космических исследованиях . 29 (5): 725–734. arXiv : astro-ph/0112054 . Бибкод : 2002AdSpR..29..725E. дои : 10.1016/S0273-1177(02)00017-0. S2CID  1110286.

Внешние ссылки

• Дэн Рассел (5 марта 2010 г.). «Замедленная демонстрация эффекта Джанибекова с помощью ракеток для настольного тенниса» . Проверено 2 февраля 2017 г. - через YouTube.
• западловский (16 июня 2010 г.). «Демонстрация эффекта Джанибекова» . Проверено 2 февраля 2017 г. - через YouTube.на Международной космической станции «Мир»
• Вячеслав Мезенцев (7 сентября 2011 г.). «Эффект Джанибекова, смоделированный в Mathcad 14» . Проверено 2 февраля 2017 г. - через YouTube.
• Луи Пуансо , Новая теория вращения корпусов, Париж, Башелье, 1834, 170 стр. OCLC  457954839: исторически первое математическое описание этого эффекта.
• «Эллипсоиды и причудливое поведение вращающихся тел». YouTube .- интуитивно понятное видеообъяснение Мэтта Паркера