Молодой симметризатор

В математике симметризатор Юнга — элемент групповой алгебры симметрической группы , построенный таким образом, что для гомоморфизма из групповой алгебры в эндоморфизмы векторного пространства, полученного из действия на перестановкой индексов, образ эндоморфизма, определяемый этим элементом, соответствует неприводимому представлению симметрической группы над комплексными числами . Подобная конструкция работает над любым полем, и полученные представления называются модулями Шпехта . Симметризатор Юнга назван в честь британского математика Альфреда Янга . ${\displaystyle V^{\otimes n}}$ ${\displaystyle S_{n}}$ ${\displaystyle V^{\otimes n}}$

Определение

Дана конечная симметрическая группа S _n и определенная таблица Юнга λ , соответствующая пронумерованному разбиению n , и рассмотрим действие заданной перестановкой ящиков . Определим две подгруппы перестановок и S _n следующим образом: ^{[ необходимо разъяснение ]} ${\displaystyle S_{n}}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle P_{\lambda }}$ ${\displaystyle Q_{\lambda }}$

${\displaystyle P_{\lambda }=\{g\in S_{n}:g{\text{ preserves each row of }}\lambda \}}$

и

${\displaystyle Q_{\lambda }=\{g\in S_{n}:g{\text{ preserves each column of }}\lambda \}.}$

В соответствии с этими двумя подгруппами определим два вектора в групповой алгебре как ${\displaystyle \mathbb {C} S_{n}}$

${\displaystyle a_{\lambda }=\sum _{g\in P_{\lambda }}e_{g}}$

и

${\displaystyle b_{\lambda }=\sum _{g\in Q_{\lambda }}\operatorname {sgn}(g)e_{g}}$

где — единичный вектор, соответствующий g , а — знак перестановки. Произведение ${\displaystyle e_{g}}$ ${\displaystyle \operatorname {sgn}(g)}$

${\displaystyle c_{\lambda }:=a_{\lambda }b_{\lambda }=\sum _{g\in P_{\lambda },h\in Q_{\lambda }}\operatorname {sgn}(h)e_{gh}}$

— симметризатор Юнга, соответствующий таблице Юнга λ. Каждый симметризатор Юнга соответствует неприводимому представлению симметрической группы, и каждое неприводимое представление может быть получено из соответствующего симметризатора Юнга. (Если мы заменим комплексные числа более общими полями, соответствующие представления не будут неприводимыми в общем случае.)

Строительство

Пусть V — любое векторное пространство над комплексными числами . Рассмотрим тогда векторное пространство тензорного произведения ( n раз). Пусть S _n действует на это пространство тензорного произведения, переставляя индексы. Тогда мы имеем естественное представление групповой алгебры на (т.е. является правым модулем). ${\displaystyle V^{\otimes n}=V\otimes V\otimes \cdots \otimes V}$ ${\displaystyle \mathbb {C} S_{n}\to \operatorname {End} (V^{\otimes n})}$ ${\displaystyle V^{\otimes n}}$ ${\displaystyle V^{\otimes n}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} S_{n}}$

Дано разбиение λ числа n , так что , тогда образ равен ${\displaystyle n=\lambda _{1}+\lambda _{2}+\cdots +\lambda _{j}}$ ${\displaystyle a_{\lambda }}$

${\displaystyle \operatorname {Im} (a_{\lambda }):=V^{\otimes n}a_{\lambda }\cong \operatorname {Sym} ^{\lambda _{1}}V\otimes \operatorname {Sym} ^{\lambda _{2}}V\otimes \cdots \otimes \operatorname {Sym} ^{\lambda _{j}}V.}$

Например, если , и , с канонической таблицей Юнга . Тогда соответствующее задается как ${\displaystyle n=4}$ ${\displaystyle \lambda =(2,2)}$ ${\displaystyle \{\{1,2\},\{3,4\}\}}$ ${\displaystyle a_{\lambda }}$

${\displaystyle a_{\lambda }=e_{\text{id}}+e_{(1,2)}+e_{(3,4)}+e_{(1,2)(3,4)}.}$

Для любого вектора произведения мы имеем ${\displaystyle v_{1,2,3,4}:=v_{1}\otimes v_{2}\otimes v_{3}\otimes v_{4}}$ ${\displaystyle V^{\otimes 4}}$

${\displaystyle v_{1,2,3,4}a_{\lambda }=v_{1,2,3,4}+v_{2,1,3,4}+v_{1,2,4,3}+v_{2,1,4,3}=(v_{1}\otimes v_{2}+v_{2}\otimes v_{1})\otimes (v_{3}\otimes v_{4}+v_{4}\otimes v_{3}).}$

Таким образом, множество всех явно охватывает и поскольку охват мы получаем , где мы неформально записали . ${\displaystyle a_{\lambda }v_{1,2,3,4}}$ ${\displaystyle \operatorname {Sym} ^{2}V\otimes \operatorname {Sym} ^{2}V}$ ${\displaystyle v_{1,2,3,4}}$ ${\displaystyle V^{\otimes 4}}$ ${\displaystyle V^{\otimes 4}a_{\lambda }=\operatorname {Sym} ^{2}V\otimes \operatorname {Sym} ^{2}V}$ ${\displaystyle V^{\otimes 4}a_{\lambda }\equiv \operatorname {Im} (a_{\lambda })}$

Обратите внимание также, как эта конструкция может быть сведена к конструкции для . Пусть будет оператором тождества и оператором обмена, определенным как , таким образом и . Мы имеем, что ${\displaystyle n=2}$ ${\displaystyle \mathbb {1} \in \operatorname {End} (V^{\otimes 2})}$ ${\displaystyle S\in \operatorname {End} (V^{\otimes 2})}$ ${\displaystyle S(v\otimes w)=w\otimes v}$ ${\displaystyle \mathbb {1} =e_{\text{id}}}$ ${\displaystyle S=e_{(1,2)}}$

${\displaystyle e_{\text{id}}+e_{(1,2)}=\mathbb {1} +S}$

карты в , точнее ${\displaystyle \operatorname {Sym} ^{2}V}$

${\displaystyle {\frac {1}{2}}(\mathbb {1} +S)}$

является проектором на . Тогда ${\displaystyle \operatorname {Sym} ^{2}V}$

${\displaystyle {\frac {1}{4}}a_{\lambda }={\frac {1}{4}}(e_{\text{id}}+e_{(1,2)}+e_{(3,4)}+e_{(1,2)(3,4)})={\frac {1}{4}}(\mathbb {1} \otimes \mathbb {1} +S\otimes \mathbb {1} +\mathbb {1} \otimes S+S\otimes S)={\frac {1}{2}}(\mathbb {1} +S)\otimes {\frac {1}{2}}(\mathbb {1} +S)}$

который является проектором на . ${\displaystyle \operatorname {Sym} ^{2}V\otimes \operatorname {Sym} ^{2}V}$

Изображение есть ${\displaystyle b_{\lambda }}$

${\displaystyle \operatorname {Im} (b_{\lambda })\cong \bigwedge ^{\mu _{1}}V\otimes \bigwedge ^{\mu _{2}}V\otimes \cdots \otimes \bigwedge ^{\mu _{k}}V}$

где μ — сопряженное разбиение к λ. Здесь и — симметричные и знакопеременные тензорные произведения пространств . ${\displaystyle \operatorname {Sym} ^{i}V}$ ${\displaystyle \bigwedge ^{j}V}$

Образ в является неприводимым представлением S _n , называемым модулем Шпехта . Запишем ${\displaystyle \mathbb {C} S_{n}c_{\lambda }}$ ${\displaystyle c_{\lambda }=a_{\lambda }\cdot b_{\lambda }}$ ${\displaystyle \mathbb {C} S_{n}}$

${\displaystyle \operatorname {Im} (c_{\lambda })=V_{\lambda }}$

для неприводимого представления.

Некоторое скалярное кратное является идемпотентным, ^[1] то есть для некоторого рационального числа В частности, можно найти . В частности, это означает, что представления симметрической группы могут быть определены над рациональными числами; то есть над рациональной групповой алгеброй . ${\displaystyle c_{\lambda }}$ ${\displaystyle c_{\lambda }^{2}=\alpha _{\lambda }c_{\lambda }}$ ${\displaystyle \alpha _{\lambda }\in \mathbb {Q} .}$ ${\displaystyle \alpha _{\lambda }=n!/\dim V_{\lambda }}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} S_{n}}$

Рассмотрим, например, S ₃ и разбиение (2,1). Тогда имеем

${\displaystyle c_{(2,1)}=e_{123}+e_{213}-e_{321}-e_{312}.}$

Если V — комплексное векторное пространство, то образы пространств по существу обеспечивают все конечномерные неприводимые представления GL(V). ${\displaystyle c_{\lambda }}$ ${\displaystyle V^{\otimes d}}$

Смотрите также

• Теория представлений симметрической группы

Примечания

1. См. (Фултон и Харрис 1991, Теорема 4.3, стр. 46)

Ссылки

• Уильям Фултон. Таблицы Юнга с приложениями к теории представлений и геометрии . Cambridge University Press, 1997.
• Лекция 4 Фултона, Уильяма ; Харриса, Джо (1991). Теория представлений. Первый курс . Graduate Texts in Mathematics , Readings in Mathematics. Том 129. Нью-Йорк: Springer-Verlag. doi :10.1007/978-1-4612-0979-9. ISBN 978-0-387-97495-8. MR  1153249. OCLC  246650103.
• Брюс Э. Саган . Симметрическая группа . Springer, 2001.