В геометрии японская теорема гласит, что центры вписанных окружностей некоторых треугольников внутри вписанного четырехугольника являются вершинами прямоугольника . Первоначально она была изложена на табличке сангаку в храме в префектуре Ямагата , Япония, в 1880 году. [2]
Триангуляция произвольного вписанного четырехугольника по его диагоналям дает четыре перекрывающихся треугольника (каждая диагональ создает два треугольника). Центры вписанных окружностей этих треугольников образуют прямоугольник.
В частности, пусть □ ABCD — произвольный вписанный четырехугольник и пусть M 1 , M 2 , M 3 , M 4 — инцентры треугольников △ ABD , △ ABC , △ BCD , △ ACD . Тогда четырехугольник, образованный M 1 , M 2 , M 3 , M 4 , является прямоугольником. Доказательства даны Богомольным [2] и Рейесом. [1]
Эта теорема может быть расширена для доказательства японской теоремы для циклических многоугольников , согласно которой сумма радиусов вписанных окружностей триангулированного циклического многоугольника не зависит от того, как он триангулирован. Частный случай теоремы для четырехугольников утверждает, что две пары противоположных вписанных окружностей теоремы выше имеют равные суммы радиусов. Чтобы доказать случай четырехугольника, просто постройте параллелограмм, касательный к углам построенного прямоугольника, со сторонами, параллельными диагоналям четырехугольника. Построение показывает, что параллелограмм является ромбом, что эквивалентно показателю того, что суммы радиусов вписанных окружностей, касательных к каждой диагонали, равны. Этот связанный результат получен из более ранней таблички сангаку, также из Ямагаты, 1800 года. [2]
Случай четырехугольника немедленно доказывает общий случай, поскольку любые две триангуляции произвольного вписанного многоугольника можно соединить последовательностью переворотов , которые меняют одну диагональ на другую, заменяя две вписанные окружности четырехугольника двумя другими вписанными окружностями с равной суммой радиусов.
