Абелево многообразие

Проективное алгебраическое многообразие, которое также является алгебраической группой.

В математике , в частности в алгебраической геометрии , комплексном анализе и алгебраической теории чисел , абелево многообразие — это проективное алгебраическое многообразие , которое также является алгебраической группой , т. е. имеет групповой закон , который может быть определен регулярными функциями . Абелевы многообразия являются одновременно одними из наиболее изучаемых объектов в алгебраической геометрии и незаменимыми инструментами для исследований по другим темам алгебраической геометрии и теории чисел.

Абелево многообразие может быть определено уравнениями, имеющими коэффициенты в любом поле ; тогда говорят, что многообразие определено над этим полем. Исторически первыми изученными абелевыми многообразиями были те, которые были определены над полем комплексных чисел . Такие абелевы многообразия оказываются в точности теми комплексными торами , которые могут быть голоморфно вложены в комплексное проективное пространство .

Абелевы многообразия, определенные над алгебраическими числовыми полями, являются особым случаем, который важен также с точки зрения теории чисел. Методы локализации естественным образом ведут от абелевых многообразий, определенных над числовыми полями, к многообразиям, определенным над конечными полями и различными локальными полями . Поскольку числовое поле является полем дробей дедекиндовой области , для любого ненулевого простого числа вашей дедекиндовой области существует отображение из дедекиндовой области в частное дедекиндовой области по простому числу, которое является конечным полем для всех конечных простых чисел. Это индуцирует отображение из поля дробей в любое такое конечное поле. Учитывая кривую с уравнением, определенным над числовым полем, мы можем применить это отображение к коэффициентам, чтобы получить кривую, определенную над некоторым конечным полем, где выбор конечного поля соответствует конечным простым числам числового поля.

Абелевы многообразия естественным образом появляются как якобиевы многообразия (связные компоненты нуля в многообразиях Пикара ) и многообразия Альбанезе других алгебраических многообразий. Групповой закон абелева многообразия обязательно коммутативен , а многообразие невырожденно . Эллиптическая кривая является абелевым многообразием размерности 1. Абелевы многообразия имеют размерность Кодаиры 0.

История и мотивация

В начале девятнадцатого века теория эллиптических функций преуспела в создании основы для теории эллиптических интегралов , и это открыло очевидный путь исследований. Стандартные формы эллиптических интегралов включали квадратные корни кубических и четвертых полиномов . Что бы произошло , если бы их заменили полиномами более высокой степени, скажем , пятыми ?

В работе Нильса Абеля и Карла Якоби был сформулирован ответ: это включало бы функции двух комплексных переменных , имеющие четыре независимых периода (т.е. векторы периодов). Это дало первый проблеск абелева многообразия размерности 2 ( абелевой поверхности ): то, что теперь называлось бы якобианом гиперэллиптической кривой рода 2 .

После Абеля и Якоби, некоторые из наиболее важных вкладчиков в теорию абелевых функций были Риман , Вейерштрасс , Фробениус , Пуанкаре и Пикар . Тема была очень популярна в то время, уже имея большую литературу.

К концу 19 века математики начали использовать геометрические методы для изучения абелевых функций. В конце концов, в 1920-х годах Лефшец заложил основу для изучения абелевых функций в терминах комплексных торов. Он также, по-видимому, был первым, кто использовал название «абелево многообразие». Именно Андре Вейль в 1940-х годах дал этому предмету современные основы на языке алгебраической геометрии.

Сегодня абелевы многообразия являются важным инструментом в теории чисел, динамических системах (в частности, при изучении гамильтоновых систем ) и алгебраической геометрии (особенно многообразий Пикара и многообразий Альбанезе ).

Аналитическая теория

Определение

Комплексный тор размерности g — это тор действительной размерности 2 g , несущий структуру комплексного многообразия . Его всегда можно получить как фактор g -мерного комплексного векторного пространства по решетке ранга 2 g . Комплексное абелево многообразие размерности g — это комплексный тор размерности g , который также является проективным алгебраическим многообразием над полем комплексных чисел. Применяя теорему вложения Кодаиры и теорему Чжоу , можно эквивалентно определить комплексное абелево многообразие размерности g как комплексный тор размерности g , допускающий положительное линейное расслоение. Поскольку они являются комплексными торами, абелевы многообразия несут структуру группы . Морфизм абелевых многообразий — это морфизм базовых алгебраических многообразий, который сохраняет единичный элемент для структуры группы. Изогения — это конечно-однозначный морфизм.

Когда комплексный тор несет структуру алгебраического многообразия, эта структура обязательно уникальна. В случае понятие абелева многообразия совпадает с понятием эллиптической кривой , и каждый комплексный тор порождает такую ​​кривую; поскольку со времен Римана было известно , что условие алгебраического многообразия накладывает дополнительные ограничения на комплексный тор. ${\displaystyle g=1}$ ${\displaystyle g>1}$

Условия Римана

Следующий критерий Римана определяет, является ли заданный комплексный тор абелевым многообразием, т. е. может ли он быть вложен в проективное пространство. Пусть X — g -мерный тор, заданный как , где V — комплексное векторное пространство размерности g, а L — решетка в V . Тогда X является абелевым многообразием тогда и только тогда, когда существует положительно определенная эрмитова форма на V , мнимая часть которой принимает целые значения на . Такая форма на X обычно называется (невырожденной) формой Римана . Выбирая базис для V и L , можно сделать это условие более явным. Существует несколько эквивалентных формулировок этого; все они известны как условия Римана. ${\displaystyle X=V/L}$ ${\displaystyle L\times L}$

Якобиан алгебраической кривой

Каждая алгебраическая кривая C рода связана с абелевым многообразием J размерности g посредством аналитического отображения C в J . Как тор, J несет коммутативную групповую структуру, а образ C порождает J как группу. Точнее, J покрывается : ^[1] любая точка в J происходит из g -кортежа точек в C . Изучение дифференциальных форм на C , которые приводят к абелевым интегралам, с которых началась теория, может быть выведено из более простой, инвариантной относительно трансляции теории дифференциалов на J . Абелево многообразие J называется якобиевым многообразием C , для любой неособой кривой C над комплексными числами. С точки зрения бирациональной геометрии его функциональное поле является фиксированным полем симметрической группы на g буквах , действующей на функциональное поле . ${\displaystyle g\geq 1}$ ${\displaystyle C^{g}}$ ${\displaystyle C^{g}}$

Абелевы функции

Абелева функция — это мероморфная функция на абелевом многообразии, которая может рассматриваться как периодическая функция n комплексных переменных, имеющая 2 n независимых периодов; эквивалентно, это функция в функциональном поле абелева многообразия. Например, в девятнадцатом веке был большой интерес к гиперэллиптическим интегралам , которые могут быть выражены через эллиптические интегралы. Это сводится к вопросу о том, что J является произведением эллиптических кривых с точностью до изогении.

Важные теоремы

Одной из важных структурных теорем абелевых многообразий является теорема Мацусаки . Она утверждает, что над алгебраически замкнутым полем каждое абелево многообразие является фактором якобиана некоторой кривой; то есть существует некоторая сюръекция абелевых многообразий , где — якобиан. Эта теорема остается верной, если основное поле бесконечно. ^[2] ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle J\to A}$ ${\displaystyle J}$

Алгебраическое определение

Обычно используются два эквивалентных определения абелева многообразия над общим полем k :

• связная и полная алгебраическая группа над k
• связная и проективная алгебраическая группа над k .

Когда базой является поле комплексных чисел, эти понятия совпадают с предыдущим определением. По всем базам эллиптические кривые являются абелевыми многообразиями размерности 1. ${\displaystyle \mathbb {C} }$

В начале 1940-х годов Вейль использовал первое определение (над произвольным базовым полем), но не смог сначала доказать, что оно подразумевает второе. Только в 1948 году он доказал, что полные алгебраические группы могут быть вложены в проективное пространство. Между тем, чтобы сделать доказательство гипотезы Римана для кривых над конечными полями , которое он объявил в 1940 году, рабочим, ему пришлось ввести понятие абстрактного многообразия и переписать основы алгебраической геометрии для работы с многообразиями без проективных вложений (см. также раздел истории в статье «Алгебраическая геометрия» ).

Структура группы точек

По определениям, абелево многообразие является групповым многообразием. Можно доказать, что его группа точек коммутативна .

Для поля , а значит, по принципу Лефшеца для любого алгебраически замкнутого поля нулевой характеристики , группа кручения абелева многообразия размерности g изоморфна . Следовательно , ее n -торсионная часть изоморфна , т.е. произведению 2 g копий циклической группы порядка n . ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle (\mathbb {Q} /\mathbb {Z} )^{2g}}$ ${\displaystyle (\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} )^{2g}}$

Когда базовое поле является алгебраически замкнутым полем характеристики p , n -кручение все еще изоморфно , когда n и p взаимно просты . Когда n и p не взаимно просты, тот же результат может быть получен при условии, что его интерпретируют как утверждение, что n -кручение определяет конечную плоскую групповую схему ранга 2 g . Если вместо того, чтобы рассматривать полную структуру схемы на n -кручении, рассматривать только геометрические точки, то получается новый инвариант для многообразий в характеристике p (так называемый p -ранг при ). ${\displaystyle (\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} )^{2g}}$ ${\displaystyle n=p}$

Группа k -рациональных точек для глобального поля k конечно порождена теоремой Морделла -Вейля . Следовательно, по структурной теореме для конечно порожденных абелевых групп она изоморфна произведению свободной абелевой группы и конечной коммутативной группы для некоторого неотрицательного целого числа r, называемого рангом абелева многообразия. Аналогичные результаты справедливы и для некоторых других классов полей k . ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{r}}$

Продукция

Произведение абелева многообразия A размерности m и абелева многообразия B размерности n над тем же полем является абелевым многообразием размерности . Абелево многообразие является простым , если оно не изогенно произведению абелевых многообразий меньшей размерности. Любое абелево многообразие изогенно произведению простых абелевых многообразий. ${\displaystyle m+n}$

Поляризация и двойственное абелево многообразие

Двойственное абелево многообразие

Абелеву многообразию A над полем k можно сопоставить двойственное абелево многообразие (над тем же полем), которое является решением следующей проблемы модулей . Семейство линейных расслоений степени 0, параметризованное k -многообразием T, определяется как линейное расслоение L на такое, что ${\displaystyle A^{\vee }}$ ${\displaystyle A\times T}$

1. для всех t из T ограничение L на является линейным расслоением степени 0, ${\displaystyle A\times \{t\}}$
2. ограничение L на является тривиальным линейным расслоением (здесь 0 — единица A ). ${\displaystyle \{0\}\times T}$

Тогда имеется многообразие и семейство линейных расслоений степени 0 P , расслоение Пуанкаре, параметризованное таким образом, что семейству L на T соответствует единственный морфизм, так что L изоморфно обратному движку P вдоль морфизма . Применяя это к случаю, когда T является точкой, мы видим, что точки соответствуют линейным расслоениям степени 0 на A , поэтому на задана естественная групповая операция тензорным произведением линейных расслоений, что превращает его в абелево многообразие. ${\displaystyle A^{\vee }}$ ${\displaystyle A^{\vee }}$ ${\displaystyle f\colon T\to A^{\vee }}$ ${\displaystyle 1_{A}\times f\colon A\times T\to A\times A^{\vee }}$ ${\displaystyle A^{\vee }}$ ${\displaystyle A^{\vee }}$

Эта ассоциация является дуальностью в том смысле, что она контравариантна функториальна , т. е. она сопоставляет всем морфизмам дуальные морфизмы совместимым образом, и существует естественный изоморфизм между двойным дуальным и (определяемым через расслоение Пуанкаре). n -кручение абелева многообразия и n -кручение его дуального многообразия дуальны друг другу, когда n взаимно просто с характеристикой базы. В общем случае — для всех n — групповые схемы n -кручения дуальных абелевых многообразий являются дуальными Картье друг другу. Это обобщает спаривание Вейля для эллиптических кривых. ${\displaystyle f\colon A\to B}$ ${\displaystyle f^{\vee }\colon B^{\vee }\to A^{\vee }}$ ${\displaystyle (A^{\vee })^{\vee }}$ ${\displaystyle A}$

Поляризации

Поляризация абелева многообразия — это изогения абелева многообразия его двойственному многообразию, которая симметрична относительно двойной двойственности для абелевых многообразий и для которой обратный образ расслоения Пуанкаре вдоль соответствующего морфизма графа обилен (поэтому он аналогичен положительно определенной квадратичной форме). Поляризованные абелевы многообразия имеют конечные группы автоморфизмов . Главная поляризация — это поляризация, которая является изоморфизмом. Якобианы кривых естественным образом снабжаются главной поляризацией, как только на кривой выбирается произвольная рациональная базовая точка, и кривая может быть восстановлена ​​из ее поляризованного якобиана, когда род равен . Не все главно поляризованные абелевы многообразия являются якобианами кривых; см. проблему Шоттки . Поляризация индуцирует инволюцию Розати на кольце эндоморфизмов A . ${\displaystyle >1}$ ${\displaystyle \mathrm {End} (A)\otimes \mathbb {Q} }$

Поляризации по комплексным числам

Над комплексными числами поляризованное абелево многообразие может быть определено как абелево многообразие A вместе с выбором римановой формы H . Две римановы формы и называются эквивалентными, если существуют положительные целые числа n и m такие, что . Выбор класса эквивалентности римановых форм на A называется поляризацией A ; над комплексным числом это эквивалентно определению поляризации, данному выше. Морфизм поляризованных абелевых многообразий — это морфизм абелевых многообразий , такой что обратный образ римановой формы на B на A эквивалентен заданной форме на A . ${\displaystyle H_{1}}$ ${\displaystyle H_{2}}$ ${\displaystyle nH_{1}=mH_{2}}$ ${\displaystyle A\to B}$

Абелева схема

Можно также определить схему абелевых многообразий -теоретически и относительно базы . Это позволяет единообразно рассматривать такие явления, как редукция mod p абелевых многообразий (см. Арифметика абелевых многообразий ), и параметрические семейства абелевых многообразий. Абелева схема над базовой схемой S относительной размерности g является собственной гладкой групповой схемой над S , геометрические слои которой связаны и имеют размерность g . Слои абелевой схемы являются абелевыми многообразиями , поэтому можно рассматривать абелеву схему над S как семейство абелевых многообразий, параметризованных  S .

Для абелевой схемы группа точек n -кручения образует конечную плоскую групповую схему . Объединение точек -кручения для всех n образует p-делимую группу . Деформации абелевых схем, согласно теореме Серра–Тейта , управляются деформационными свойствами соответствующих p -делимых групп. ${\displaystyle A/S}$ ${\displaystyle p^{n}}$

Пример

Пусть будет таким, что не имеет повторяющихся комплексных корней. Тогда дискриминант не равен нулю. Пусть , поэтому — открытая подсхема схемы . Тогда — абелева схема над . Ее можно расширить до модели Нерона над , которая является гладкой групповой схемой над , но модель Нерона не является собственной и, следовательно, не является абелевой схемой над . ${\displaystyle A,B\in \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle x^{3}+Ax+B}$ ${\displaystyle \Delta =-16(4A^{3}+27B^{2})}$ ${\displaystyle R=\mathbb {Z} [1/\Delta ]}$ ${\displaystyle \operatorname {Spec} R}$ ${\displaystyle \operatorname {Spec} \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \operatorname {Proj} R[x,y,z]/(y^{2}z-x^{3}-Axz^{2}-Bz^{3})}$ ${\displaystyle \operatorname {Spec} R}$ ${\displaystyle \operatorname {Spec} \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \operatorname {Spec} \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \operatorname {Spec} \mathbb {Z} }$

Несуществование

Виктор Абрашкин  [ru] ^[3] и Жан-Марк Фонтен ^[4] независимо доказали, что не существует ненулевых абелевых многообразий над с хорошей редукцией для всех простых чисел. Эквивалентно, не существует ненулевых абелевых схем над . Доказательство включает демонстрацию того, что координаты точек -кручения порождают числовые поля с очень малым ветвлением и, следовательно, с малым дискриминантом, в то время как, с другой стороны, существуют нижние оценки дискриминантов числовых полей. ^[5] ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \operatorname {Spec} \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle p^{n}}$

Полуабелевское многообразие

Полуабелево многообразие — коммутативное групповое многообразие, являющееся расширением абелева многообразия с помощью тора .

Смотрите также

• Мотивы
• Хронология абелевых многообразий
• Модули абелевых многообразий
• Уравнения, определяющие абелевы многообразия
• Связка Хоррокс–Мамфорд

Ссылки

1. Bruin, N. "N-покрытия гиперэллиптических кривых" (PDF) . Математический факультет Оксфордского университета . Получено 14 января 2015 г. . J охватывается : ${\displaystyle C^{g}}$
2. Милн, Дж. С. , Якобиевы многообразия, в книге «Арифметическая геометрия», под ред. Корнелла и Сильвермана, Springer-Verlag, 1986 г.
3. Абрашкин, В.А. (1985). «Групповые схемы периода p над кольцом векторов Витта». Докл. Акад. Наук СССР . 283 (6): 1289–1294. МР  0802862. Збл  0593.14029.
4. Фонтен, Жан-Марк (1985). «Il n'y a pas de variété abélienne sur ». Математические изобретения . 81 (3): 515–538. Бибкод : 1985InMat..81..515F. дои : 10.1007/BF01388584. МР  0807070. Збл  0612.14043. ${\displaystyle \mathbb {Z} }$
5. "There is no Abelian scheme over Z" (PDF) . Архивировано (PDF) из оригинала 23 авг. 2020 г.

Источники

• Биркенхейк, Кристина; Ланге, Х. (1992), Комплексные абелевы многообразия , Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-54747-3. Всестороннее рассмотрение теории комплекса с обзором истории предмета.
• Долгачев, ИВ (2001) [1994], "Абелева схема", Энциклопедия математики , Издательство ЭМС
• Фалтингс, Герд ; Чай, Чинг-Ли (1990), Вырождение абелевых многообразий , Springer Verlag , ISBN 3-540-52015-5
• Милн, Джеймс, Abelian Varieties , получено 6 октября 2016 г.. Заметки к онлайн-курсу.
• Мамфорд, Дэвид (2008) [1970], Абелевы многообразия , Институт фундаментальных исследований в области математики им. Тата, т. 5, Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество , ISBN 978-81-85931-86-9, MR  0282985, OCLC  138290
• Венков, Б.Б.; Паршин, А.Н. (2001) [1994], "Абелево_многообразие", Энциклопедия математики , EMS Press
• Брюин, Н.; Флинн, Э.В., N-ПОКРЫТИЯ ГИПЕРЭЛЛИПТИЧЕСКИХ КРИВЫХ (PDF) , Оксфорд: Математический институт, Оксфордский университет. Описание якобиана накрывающих кривых