Нормальное число

Number with all digits equally frequent

В математике вещественное число называется просто нормальным в целочисленной системе счисления с основанием b ^[1], если его бесконечная последовательность цифр распределена равномерно в том смысле, что каждое из значений b цифр имеет одинаковую естественную плотность  1/ b . Число называется нормальным в системе счисления с основанием b , если для каждого положительного целого числа n все возможные строки длиной n цифр имеют плотность  b ^{− n} .

Интуитивно, число, являющееся просто нормальным, означает, что никакая цифра не встречается чаще, чем любая другая. Если число является нормальным, никакая конечная комбинация цифр заданной длины не встречается чаще, чем любая другая комбинация той же длины. Нормальное число можно представить как бесконечную последовательность подбрасываний монеты ( двоичная система ) или бросков игральной кости ( основание 6 ). Даже если будут последовательности, такие как 10, 100 или более последовательных решек (двоичная система) или пятерок (основание 6) или даже 10, 100 или более повторений последовательности, такой как решка-голова (два последовательных подбрасывания монеты) или 6-1 (два последовательных броска игральной кости), также будет одинаково много любых других последовательностей равной длины. Никакая цифра или последовательность не является «предпочтительной».

Число называется нормальным (иногда его называют абсолютно нормальным ), если оно является нормальным по всем целочисленным основаниям, большим или равным 2.

Хотя можно дать общее доказательство того, что почти все действительные числа являются нормальными (что означает, что множество ненормальных чисел имеет нулевую меру Лебега ), ^[2] это доказательство не является конструктивным , и было показано, что только несколько конкретных чисел являются нормальными. Например, любая константа Хайтина является нормальной (и невычислимой ). Широко распространено мнение, что (вычислимые) числа √ 2 , π и e являются нормальными, но доказательство остается неуловимым. ^[3]

Определения

Пусть Σ будет конечным алфавитом из b -цифр, Σ ^{ω —} множеством всех бесконечных последовательностей , которые могут быть получены из этого алфавита, и Σ ^{∗ —} множеством конечных последовательностей или строк . ^[4] Пусть S ∈ Σ ^ω будет такой последовательностью. Для каждого a в Σ пусть N _S ( a , n ) обозначает количество раз, которое цифра a появляется в первых n цифрах последовательности S . Мы говорим, что S просто нормальна, если предел

$${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {N_{S}(a,n)}{n}}={\frac {1}{b}}}$$

для каждого a . Теперь пусть w будет любой конечной строкой в ​​Σ ^∗ , и пусть N _S ( w , n ) будет числом раз, которое строка w появляется как подстрока в первых n цифрах последовательности S . (Например, если S = ​​01010101 ... , то N _S ( 010 , 8) = 3 .) S является нормальным , если для всех конечных строк w ∈ Σ ^∗ ,

$${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {N_{S}(w,n)}{n}}={\frac {1}{b^{|w|}}}}$$

где | w | обозначает длину строки w . Другими словами, S является нормальной, если все строки одинаковой длины встречаются с одинаковой асимптотической частотой. Например, в нормальной двоичной последовательности (последовательности по алфавиту { 0 , 1 } ) 0 и 1 встречаются с частотой 1 ⁄ 2 ; 00 , 01 , 10 и 11 встречаются с частотой 1 ⁄ 4 ; 000 , 001 , 010 , 011 , 100 , 101 , 110 и 111 встречаются с частотой 1 ⁄ 8 ; и т. д. Грубо говоря, вероятность нахождения строки w в любой заданной позиции в S в точности соответствует ожидаемой, если бы последовательность была создана случайным образом .

Предположим теперь, что b — целое число больше 1, а x — действительное число . Рассмотрим бесконечное расширение последовательности цифр S _{x , b} числа x в позиционной системе счисления с основанием b (мы игнорируем десятичную точку). Мы говорим, что x просто нормален в системе счисления с основанием b, если последовательность S _{x , b} просто нормальна ^[5] и что x нормален в системе счисления с основанием b, если последовательность S _{x , b} нормальна. ^[6] Число x называется нормальным числом (или иногда абсолютно нормальным числом ), если оно нормально в системе счисления с основанием b для каждого целого числа b, большего 1. ^{[7] [8]}

Заданная бесконечная последовательность является либо нормальной, либо не нормальной, тогда как действительное число, имеющее различное расширение по основанию b для каждого целого числа b ≥ 2 , может быть нормальным в одном основании, но не в другом ^{[9] [10]} (в этом случае оно не является нормальным числом). Для оснований r и s с log r / log s рациональными (так что r = b ^m и s = b ⁿ ) каждое число, нормальное по основанию r, является нормальным по основанию s . Для оснований r и s с log r / log s иррациональными существует несчетное количество чисел, нормальных по каждому основанию, но не по другому. ^[10]

Дизъюнктивная последовательность — это последовательность, в которой появляется каждая конечная строка. Нормальная последовательность дизъюнктивна, но дизъюнктивная последовательность не обязательно должна быть нормальной. Богатое число в основании b — это число, разложение которого в основании b дизъюнктивно: ^[11] число, которое дизъюнктивно к каждому основанию, называется абсолютно дизъюнктивным или называется лексиконом . Нормальное число в основании b богато в основании b , но не обязательно наоборот . Действительное число x богато в основании b тогда и только тогда, когда множество { x b ⁿ mod 1 : n ∈ N } плотно в единичном интервале . ^{[11] [12]}

Мы определили число как просто нормальное в системе счисления с основанием b, если каждая отдельная цифра появляется с частотой 1 ⁄ b . Для заданного основания b число может быть просто нормальным (но не нормальным или богатым), богатым (но не просто нормальным или нормальным), нормальным (и, следовательно, просто нормальным и богатым) или ни одним из них. Число является абсолютно ненормальным или абсолютно ненормальным, если оно не является просто нормальным в любой системе счисления. ^{[7] [13]}

Свойства и примеры

Понятие нормального числа было введено Эмилем Борелем  (1909). Используя лемму Бореля–Кантелли , он доказал, что почти все действительные числа являются нормальными, установив существование нормальных чисел. Вацлав Серпинский  (1917) показал, что можно указать конкретное такое число. Бехер и Фигейра (2002) доказали, что существует вычислимое абсолютно нормальное число. Хотя эта конструкция напрямую не дает цифры построенных чисел, она показывает, что в принципе возможно перечислить каждую цифру конкретного нормального числа.

Множество ненормальных чисел, несмотря на то, что оно «большое» в смысле несчетности , также является нулевым множеством (поскольку его мера Лебега как подмножества действительных чисел равна нулю, поэтому оно по сути не занимает места внутри действительных чисел). Кроме того, ненормальные числа (как и нормальные числа) плотны в действительных числах: множество ненормальных чисел между двумя различными действительными числами непусто, поскольку содержит каждое рациональное число (на самом деле, оно несчетно бесконечно ^[14] и даже комеагре ). Например, существует несчетное множество чисел, десятичные разложения которых (в основании 3 или выше) не содержат цифру 1, и ни одно из этих чисел не является нормальным.

постоянная Чамперноуна

0.1234567891011121314151617181920212223242526272829...,

полученная путем конкатенации десятичных представлений натуральных чисел по порядку, является нормальной в системе счисления с основанием 10. Аналогично, различные варианты константы Чамперноуна (полученные путем выполнения той же конкатенации в других системах счисления) являются нормальными в своих соответствующих системах счисления (например, константа Чамперноуна с основанием 2 является нормальной в системе счисления с основанием 2), но не было доказано, что они являются нормальными в других системах счисления.

Константа Коупленда – Эрдеша

0.23571113171923293137414347535961677173798389...,

полученный путем конкатенации простых чисел в десятичной системе счисления, является нормальным в десятичной системе счисления, как доказали А. Х. Коупленд и Пол Эрдёш  (1946). В более общем смысле, последние авторы доказали, что действительное число, представленное в системе счисления с основанием b конкатенацией

0. ф (1) ф (2) ф (3)...,

где f ( n ) — n -е простое ^число , выраженное в системе счисления с основанием b , является нормальным в системе счисления с основанием b . Безикович  (1935) доказал, что число, представленное тем же выражением, с f ( n ) = n ² ,

0,149162536496481100121144...,

полученное путем конкатенации квадратных чисел в десятичной системе счисления, является нормальным в десятичной системе счисления. Гарольд Дэвенпорт и Эрдёш (1952) доказали, что число, представленное тем же выражением, где f — любой непостоянный многочлен, значения которого в положительных целых числах являются положительными целыми числами, выраженными в десятичной системе счисления, является нормальным в десятичной системе счисления.

Накаи и Сиокава (1992) доказали, что если f ( x ) — любой непостоянный многочлен с действительными коэффициентами, такой что f ( x ) > 0 для всех x > 0, то действительное число, представленное конкатенацией

0.[ ф (1)][ ф (2)][ ф (3)]...,

где [ f ( n )] — целая часть f ( n ) , выраженная в системе счисления с основанием b , является нормальной в системе счисления с основанием b . (Этот результат включает в себя как частные случаи все вышеупомянутые результаты Чамперноуна, Безиковича и Дэвенпорта и Эрдёша.) Авторы также показывают, что тот же результат справедлив даже в более общем случае, когда f — любая функция вида

ж ( Икс ) знак равно α· Икс ^β + α ₁ · Икс ^{β ₁} + ... + α _d · Икс ^{β _d} ,

где αs и βs — действительные числа, причем β > β ₁ > β ₂ > ... > β _d ≥ 0, а f ( x ) > 0 для всех x > 0.

Бейли и Крэндалл (2002) показывают явный несчетно бесконечный класс b -нормальных чисел путем возмущения чисел Стоунхэма .

Доказать нормальность чисел, которые не были искусственно созданы, было труднодостижимой целью. Хотя √ 2 , π , ln(2) и e настоятельно предполагаются нормальными, до сих пор неизвестно, являются ли они нормальными или нет. Не было даже доказано, что все цифры на самом деле встречаются бесконечно много раз в десятичных разложениях этих констант (например, в случае π не известно, является ли верным популярное утверждение «каждая строка чисел в конечном итоге встречается в π»). ^[15] Также было высказано предположение, что каждое иррациональное алгебраическое число абсолютно нормально (что означало бы, что √ 2 является нормальным), и не известно никаких контрпримеров ни в одной базе. Однако не было доказано, что ни одно иррациональное алгебраическое число является нормальным ни в одной базе.

Ненормальные числа

Ни одно рациональное число не является нормальным ни в одной из систем счисления, поскольку последовательности цифр рациональных чисел в конечном итоге являются периодическими .

Мартин (2001) приводит пример иррационального числа, которое является абсолютно ненормальным. ^[16] Пусть

$${\displaystyle f\left(n\right)={\begin{cases}n^{\frac {f\left(n-1\right)}{n-1}},&n\in \mathbb {Z} \cap \left[3,\infty \right)\\4,&n=2\end{cases}}}$$

$${\displaystyle {\begin{aligned}&\alpha =\prod _{m=2}^{\infty }\left({1-{\frac {1}{f\left(m\right)}}}\right)=\left(1-{\frac {1}{4}}\right)\left(1-{\frac {1}{9}}\right)\left(1-{\frac {1}{64}}\right)\left(1-{\frac {1}{152587890625}}\right)\left(1-{\frac {1}{6^{\left(5^{15}\right)}}}\right)\ldots =\\&=0.6562499999956991\underbrace {99999\ldots 99999} _{23,747,291,559}8528404201690728\ldots \end{aligned}}}$$

Тогда α является числом Лиувилля и является абсолютно аномальным.

Характеристики

Дополнительные свойства нормальных чисел включают:

• Каждое ненулевое действительное число является произведением двух обычных чисел. Это следует из общего факта, что каждое число является произведением двух чисел из множества, если дополнение X имеет меру 0. ${\displaystyle X\subseteq \mathbb {R} ^{+}}$
• Если x является нормальным по основанию b и a ≠ 0 является рациональным числом, то также является нормальным по основанию b . ^[17] ${\displaystyle x\cdot a}$
• Если является плотным (для любого и для всех достаточно больших n , ) и являются разложениями по основанию b элементов A , то число , образованное путем конкатенации элементов A , является нормальным по основанию b (Copeland and Erdős 1946). Из этого следует, что число Чамперноуна является нормальным по основанию 10 (поскольку множество всех положительных целых чисел, очевидно, плотно) и что константа Коупленда–Эрдёша является нормальной по основанию 10 (поскольку теорема о простых числах подразумевает, что множество простых чисел плотно). ${\displaystyle A\subseteq \mathbb {N} }$ ${\displaystyle \alpha <1}$ ${\displaystyle |A\cap \{1,\ldots ,n\}|\geq n^{\alpha }}$ ${\displaystyle a_{1},a_{2},a_{3},\ldots }$ ${\displaystyle 0.a_{1}a_{2}a_{3}\ldots }$
• Последовательность является нормальной тогда и только тогда, когда каждый блок одинаковой длины появляется с одинаковой частотой. (Блок длины k — это подстрока длины k, появляющаяся в позиции последовательности, кратной k : например, первый блок длины k в S — это S [1.. k ], второй блок длины k — это S [ k +1..2 k ] и т. д.) Это подразумевалось в работе Зива и Лемпела (1978) и явно было указано в работе Бурка, Хичкока и Винодчандрана (2005).
• Число нормально в системе счисления с основанием b тогда и только тогда, когда оно просто нормально в системе счисления с основанием b ^k для всех . Это следует из предыдущей блочной характеристики нормальности: поскольку n ^-й блок длины k в его разложении по основанию b соответствует n-й ^цифре в его разложении по основанию b ^k , число просто нормально в системе счисления с основанием b ^k тогда и только тогда, когда блоки длины k появляются в его разложении по основанию b с одинаковой частотой. ${\displaystyle k\in \mathbb {Z} ^{+}}$
• Число нормально тогда и только тогда, когда оно просто нормально в каждой базе. Это следует из предыдущей характеристики нормальности базы b .
• Число является b -нормальным тогда и только тогда, когда существует множество положительных целых чисел , где число является просто нормальным в основаниях b ^m для всех ^[18]. Никакого конечного множества недостаточно, чтобы показать, что число является b -нормальным. ${\displaystyle m_{1}<m_{2}<m_{3}<\cdots }$ ${\displaystyle m\in \{m_{1},m_{2},\ldots \}.}$
• Все нормальные последовательности замкнуты относительно конечных вариаций : добавление, удаление или изменение конечного числа цифр в любой нормальной последовательности оставляет ее нормальной. Аналогично, если конечное число цифр добавляется, удаляется или изменяется в любой просто нормальной последовательности, новая последовательность все еще будет просто нормальной.

Подключение к конечным автоматам

Агафонов показал раннюю связь между конечными автоматами и нормальными последовательностями: каждая бесконечная подпоследовательность, выбранная из нормальной последовательности регулярным языком, также является нормальной. Другими словами, если запустить конечный автомат на нормальной последовательности, где каждое из состояний конечного автомата помечено либо как «выход», либо как «нет выхода», и автомат выводит цифру, которую он считывает следующей после входа в состояние «выход», но не выводит следующую цифру после входа в состояние «нет выхода», то последовательность, которую он выводит, будет нормальной. ^[19]

Более глубокая связь существует с конечными игроками (FSG) и конечными компрессорами без потерь информации (ILFSC).

• Конечный игрок (он же конечный мартингал ) — это конечный автомат над конечным алфавитом , каждое из состояний которого помечено процентами денег для ставки на каждую цифру в . Например, для FSG над двоичным алфавитом текущее состояние q ставит некоторый процент денег игрока на бит 0, а оставшуюся часть денег игрока на бит 1. Денежная ставка на цифру, которая идет следующей во входных данных (общая сумма денег, умноженная на процентную ставку), умножается на , а оставшиеся деньги проигрываются. После считывания бита FSG переходит в следующее состояние в соответствии с полученными входными данными. FSG d преуспевает в бесконечной последовательности S , если, начиная с $1, он делает неограниченные денежные ставки на последовательность; т. е. если где — сумма денег, которую игрок d имеет после считывания первых n цифр S (см. limit superior ). ${\displaystyle \Sigma }$ ${\displaystyle \Sigma }$ ${\displaystyle \Sigma =\{0,1\}}$ ${\displaystyle q_{0}\in [0,1]}$ ${\displaystyle q_{1}=1-q_{0}}$ ${\displaystyle |\Sigma |}$ $${\displaystyle \limsup _{n\to \infty }d(S\upharpoonright n)=\infty ,}$$ ${\displaystyle d(S\upharpoonright n)}$
• Компрессор с конечным числом состояний — это конечный автомат с выходными строками, маркирующими его переходы состояний , включая, возможно, пустую строку. (Поскольку для каждого перехода состояний из входной последовательности считывается одна цифра, необходимо иметь возможность выводить пустую строку, чтобы вообще добиться сжатия). Компрессор с конечным числом состояний без потерь информации — это компрессор с конечным числом состояний, входные данные которого могут быть однозначно восстановлены из его выходных данных и конечного состояния. Другими словами, для компрессора с конечным числом состояний C с набором состояний Q , C является компрессором без потерь информации, если функция , отображающая входную строку C в выходную строку и конечное состояние C , равна 1–1 . Методы сжатия, такие как кодирование Хаффмана или кодирование Шеннона–Фано, могут быть реализованы с помощью ILFSC. ILFSC C сжимает бесконечную последовательность S , если , где — количество цифр, выводимых C после считывания первых n цифр S . Коэффициент сжатия ( нижний предел, указанный выше) всегда можно сделать равным 1 с помощью 1-го состояния ILFSC, который просто копирует свой вход на выход. ${\displaystyle f:\Sigma ^{*}\to \Sigma ^{*}\times Q}$ $${\displaystyle \liminf _{n\to \infty }{\frac {|C(S\upharpoonright n)|}{n}}<1,}$$ ${\displaystyle |C(S\upharpoonright n)|}$

Шнорр и Штимм показали, что ни один FSG не может преуспеть в любой нормальной последовательности, а Бурк, Хичкок и Винодчандран показали обратное . Поэтому:

Последовательность является нормальной тогда и только тогда, когда в ней нет игрока с конечным числом состояний, который бы в ней преуспел.

Зив и Лемпель показали:

Последовательность является нормальной тогда и только тогда, когда она несжимаема любым конечным компрессором без потерь информации.

(на самом деле они показали, что оптимальная степень сжатия последовательности по всем ILFSC — это в точности ее скорость энтропии , количественная мера ее отклонения от нормальности, которая равна 1, когда последовательность нормальна). Поскольку алгоритм сжатия LZ сжимает асимптотически так же, как и любой ILFSC, это означает, что алгоритм сжатия LZ может сжимать любую ненормальную последовательность. ^[20]

Эти характеристики нормальных последовательностей можно интерпретировать так, что "нормальный" = "случайный с конечным числом состояний"; т. е. нормальные последовательности — это именно те, которые кажутся случайными любому конечному автомату. Сравните это с алгоритмически случайными последовательностями , которые являются теми бесконечными последовательностями, которые кажутся случайными любому алгоритму (и на самом деле имеют схожие характеристики азартных игр и сжатия с машинами Тьюринга , заменяющими конечные автоматы).

Подключение к равномерно распределенным последовательностям

Число x является нормальным по основанию b тогда и только тогда, когда последовательность равномерно распределена по модулю 1, ^{[21] [22]} или, что эквивалентно, используя критерий Вейля , тогда и только тогда, когда ${\displaystyle {\left(b^{k}x\right)}_{k=0}^{\infty }}$

$${\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {1}{n}}\sum _{k=0}^{n-1}e^{2\pi imb^{k}x}=0\quad {\text{ for all integers }}m\geq 1.}$$

Эта связь приводит к терминологии, согласно которой x является нормальным по основанию β для любого действительного числа β тогда и только тогда, когда последовательность равномерно распределена по модулю 1. ^[22] ${\displaystyle \left({x\beta ^{k}}\right)_{k=0}^{\infty }}$

Примечания

1. Единственными основаниями, рассматриваемыми здесь, являются натуральные числа больше 1.
2. Бек 2009.
3. Бейли и Крэндалл 2002.
4. ω — наименьшее бесконечное порядковое число ; ^∗ — звезда Клини .
5. Бюжо 2012, стр. 78.
6. Бюжо 2012, стр. 79.
7. Bugeaud 2012, стр. 102.
8. Адамчевский и Бюжо 2010, стр. 413.
9. Касселс 1959.
10. Шмидт 1960.
11. Bugeaud 2012, стр. 92.
12. x b ⁿ mod 1 обозначает дробную часть x b ⁿ .
13. Мартин 2001.
14. Биллингсли 2012.
15. Бейли и др. 2012.
16. Бюжо 2012, стр. 113.
17. Стена 1949.
18. Лонг 1957.
19. Агафонов 1968.
20. Зив и Лемпель 1978.
21. Бюжо 2012, стр. 89.
22. Эверест и др. 2003, с. 127.

Смотрите также

• постоянная Чамперноуна
• Последовательность Де Брейна
• Теорема о бесконечной обезьяне
• Вавилонская библиотека

Ссылки

• Адамчевский, Борис; Бюжо, Ян (2010), «8. Трансцендентность и диофантовы приближения», в Берте, Валери ; Риго, Майкл (ред.), Комбинаторика, автоматы и теория чисел , Энциклопедия математики и ее приложений, т. 135, Кембридж: Cambridge University Press , стр. 410–451, ISBN 978-0-521-51597-9, ЗБЛ  1271.11073
• Агафонов В. Н. (1968), "Нормальные последовательности и конечные автоматы", Советская математика - Доклады , 9 : 324–325, Збл  0242.94040
• Бейли, Дэвид Х .; Борвейн, Джонатан М .; Калуде, Кристиан С .; Диннин, Майкл Дж.; Думитреску, Моника; Йи, Алекс (2012), «Эмпирический подход к нормальности числа π», Experimental Mathematics , 21 (4): 375–384, doi : 10.1080/10586458.2012.665333, hdl : 2292/10566 , S2CID  17273684
• Бейли, Д. Х.; Крэндалл , Р. Э. (2002), «Случайные генераторы и нормальные числа» (PDF) , Experimental Mathematics , 11 (4): 527–546, doi :10.1080/10586458.2002.10504704, S2CID  8944421
• Бехер, В.; Фигейра, С. (2002), «Пример вычислимого абсолютно нормального числа» (PDF) , Теоретическая информатика , 270 (1–2): 947–958, doi :10.1016/S0304-3975(01)00170-0, hdl : 20.500.12110/paper_03043975_v270_n1-2_p947_Becher
• Бек, Йожеф (2009), Неизбежная случайность в дискретной математике (иллюстрированное издание), Американское математическое общество, стр. 13, ISBN 978-0-8218-4756-5
• Безикович, А.С. (1935), «Асимптотическое распределение цифр в десятичном представлении квадратов натуральных чисел», Mathematische Zeitschrift , 39 : 146–156, doi :10.1007/BF01201350, S2CID  123025145
• Биллингсли, Патрик (2012), Вероятность и мера (Юбилейное издание), Хобокен, Нью-Джерси: Wiley, стр. 15, ISBN 9781118122372, OCLC  780289503
• Борель, Э. (1909), «Les вероятностей dénombrables et leurs application arithmétiques», Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo , 27 : 247–271, doi : 10.1007/BF03019651, S2CID  184479669
• Бурк, К.; Хичкок, Дж. М.; Винодчандран, Н. В. (2005), «Скорости энтропии и размерность конечных состояний», Теоретическая информатика , 349 (3): 392–406, CiteSeerX  10.1.1.101.7244 , doi : 10.1016/j.tcs.2005.09.040
• Бюжо, Ян (2012), Распределение по модулю один и диофантовы приближения , Cambridge Tracts in Mathematics, т. 193, Кембридж: Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-11169-0, ЗБЛ  1260.11001
• Кассельс, JWS (1959), «К проблеме Штейнгауза о нормальных числах», Colloquium Mathematicum , 7 : 95–101, doi : 10.4064/cm-7-1-95-101
• Чамперноун, Д.Г. (1933), «Построение нормальных десятичных дробей в масштабе десяти», Журнал Лондонского математического общества , 8 (4): 254–260, doi :10.1112/jlms/s1-8.4.254
• Коупленд, А. Х.; Эрдёш , П. (1946), «Заметка о нормальных числах», Бюллетень Американского математического общества , 52 (10): 857–860, doi : 10.1090/S0002-9904-1946-08657-7
• Дэвенпорт, Х.; Эрдёш , П. (1952), «Заметка о нормальных десятичных дробях», Канадский журнал математики , 4 : 58–63, doi : 10.4153/CJM-1952-005-3 , S2CID  14621341
• Эверест, Грэм ; ван дер Поортен, Альф ; Шпарлинский, Игорь; Уорд, Томас (2003), Рекуррентные последовательности , Математические обзоры и монографии, т. 104, Провиденс, Род-Айленд : Американское математическое общество , ISBN 0-8218-3387-1, ЗБЛ  1033.11006
• Лонг, CT (1957), «Заметка о нормальных числах», Pacific Journal of Mathematics , 7 (2): 1163–1165, doi : 10.2140/pjm.1957.7.1163 , Zbl  0080.03604
• Мартин, Грег (2001), «Абсолютно ненормальные числа», American Mathematical Monthly , 108 (8): 746–754, arXiv : math/0006089 , doi : 10.2307/2695618, JSTOR  2695618, Zbl  1036.11035
• Мёрти, Марути Рам (2007), Проблемы аналитической теории чисел (2-е изд.), Springer, ISBN 978-0-387-72349-5
• Накаи, Ю.; Сиокава, И. (1992), «Оценки расхождения для класса нормальных чисел», Acta Arithmetica , 62 (3): 271–284, doi : 10.4064/aa-62-3-271-284
• Шмидт, В. (1960), «О нормальных числах», Pacific Journal of Mathematics , 10 (2): 661–672, doi : 10.2140/pjm.1960.10.661
• Шнорр, CP ; Стимм, Х. (1972), «Endliche Automaten und Zufallsfolgen», Acta Informatica , 1 (4): 345–359, doi : 10.1007/BF00289514, S2CID  31943843
• Серпинский, В. (1917), «Элементарная демонстрация теории М. Бореля по абсолютным нормам и эффективному определению номера тела», Bulletin de la Société Mathématique de France , 45 : 125–132, doi : 10.24033/bsmf.977
• Уолл, Д.Д. (1949), Нормальные числа , докторская диссертация, Беркли, Калифорния: Калифорнийский университет
• Зив, Дж.; Лемпель , А. (1978), «Сжатие отдельных последовательностей с помощью кодирования с переменной скоростью», Труды IEEE по теории информации , 24 (5): 530–536, doi : 10.1109/TIT.1978.1055934, hdl : 10338.dmlcz/142945

Дальнейшее чтение

• Бейли, Д. Х.; Крэндалл , Р. Э. (2001), «О случайном характере фундаментальных константных расширений» (PDF) , Experimental Mathematics , 10 (2): 175–190, doi :10.1080/10586458.2001.10504441, S2CID  2694690, архивировано из оригинала (PDF) 2008-11-23
• Бейли, Д. Х.; Мисюревич , М. (2006), «Сильная теорема о горячей точке», Труды Американского математического общества , 134 (9): 2495–2501, doi : 10.1090/S0002-9939-06-08551-0
• Калуд, К. (1994), «Борелевская нормальность и алгоритмическая случайность», в Розенберг, Г.; Саломаа, Арто (ред.), Развитие теории языка: на перекрестке математики, компьютерных наук и биологии , World Scientific , Сингапур, стр. 113–119
• Калуде, CS ; Замфиреску, Т. (1999), «Большинство чисел не подчиняются законам вероятности», Publicationes Mathematicae Debrecen , 54 (Дополнение): 619–623.
• Dajani, Karma ; Kraaikamp, ​​Cor (2002), Эргодическая теория чисел , Carus Mathematical Monographs , т. 29, Вашингтон, округ Колумбия: Математическая ассоциация Америки , ISBN 0-88385-034-6, Збл  1033.11040
• Harman, Glyn (2002), «Сто лет нормальных чисел», в Bennett, MA; Berndt, BC ; Boston, N .; Diamond, HG; Hildebrand, AJ; Philipp, W. (ред.), Обзоры по теории чисел: доклады с конференции тысячелетия по теории чисел , Natick, MA: AK Peters, стр. 57–74, ISBN 1-56881-162-4, Збл  1062.11052
• Хошневисан, Давар (2006), «Нормальные числа являются нормальными» (PDF) , Clay Mathematics Institute Annual Report 2006 : 15, продолжение стр. 27–31
• Quéfflec, Martine (2006), «Старые и новые результаты о нормальности», в Denteneer, Dee; den Hollander, F.; Verbitskiy, E. (ред.), Dynamics & Stochastics: Festschrift in honor of MS Keane , IMS Lecture Notes – Monograph Series, т. 48, Beachwood, Ohio: Institute of Mathematical Statistics , стр. 225–236, arXiv : math.DS/0608249 , doi :10.1214/074921706000000248, ISBN 0-940600-64-1, Збл  1130.11041

Внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. «Нормальное число». MathWorld .