Абсолютная бесконечность ( символ : Ω ), в контексте часто называемая « абсолютной », является расширением идеи бесконечности, предложенной математиком Георгом Кантором . Ее можно рассматривать как число, которое больше любой другой мыслимой или немыслимой величины, как конечной, так и трансфинитной . Кантор связывал абсолютную бесконечность с Богом , [1] [2] : 175 [3] : 556 и считал, что она обладает различными математическими свойствами, включая принцип отражения : каждое свойство абсолютной бесконечности также принадлежит некоторому меньшему объекту. [4] [ необходимо разъяснение ]
Кантор сказал:
Актуальная бесконечность различалась тремя отношениями: во-первых, как она реализуется в высшем совершенстве, в совершенно независимом, внемирном существовании, в Deo, где я называю ее абсолютной бесконечностью или просто абсолютной; во-вторых, в той мере, в какой она представлена в зависимом, тварном мире; в-третьих, как она может быть постигнута in abstracto в мышлении как математическая величина, число или тип порядка. В последних двух отношениях, где она очевидно обнаруживает себя ограниченной и способной к дальнейшему распространению и, следовательно, знакомой конечному, я называю ее Transfinitum и решительно противопоставляю ее абсолюту. [5]
Кантор также упоминал эту идею в своих письмах Рихарду Дедекинду (текст в квадратных скобках отсутствует в оригинале): [7]
Множество [по-видимому, он имеет в виду то, что мы теперь называем множеством ] называется вполне упорядоченным , если оно удовлетворяет условию, что каждое подмножество имеет первый элемент ; такое множество я для краткости называю «последовательностью».
...
Теперь я представляю себе систему всех [порядковых] чисел и обозначаю ее Ω .
...
Система Ω в ее естественном порядке по величине является «последовательностью».
Теперь присоединим 0 как дополнительный элемент к этой последовательности и поместим его, очевидно, на первое место; тогда мы получим последовательность Ω ′ :
0, 1, 2, 3, ... ω 0 , ω 0 +1, ..., γ, ...
в которой можно легко убедиться, что каждое число γ, встречающееся в ней, является типом [т. е. типом порядка] последовательности всех ее предыдущих элементов (включая 0). (Последовательность Ω обладает этим свойством в первую очередь для ω 0 +1. [ω 0 +1 должно быть ω 0 .])
Теперь Ω ′ (и, следовательно, также Ω ) не может быть согласованной кратностью. Ибо если бы Ω ′ было согласованным, то как вполне упорядоченному множеству ему соответствовало бы число δ , которое было бы больше всех чисел системы Ω ; число δ , однако, также принадлежит системе Ω , поскольку оно охватывает все числа. Таким образом, δ было бы больше δ , что является противоречием. Следовательно:Система Ω всех [порядковых] чисел представляет собой противоречивую, абсолютно бесконечную множественность.
Идея о том, что совокупность всех порядковых чисел не может существовать логически, многим кажется парадоксальной . Это связано с парадоксом Бурали-Форти, который подразумевает, что не может быть наибольшего порядкового числа . Все эти проблемы можно проследить до идеи о том, что для каждого свойства, которое может быть логически определено, существует множество всех объектов, которые обладают этим свойством. Однако, как и в аргументе Кантора (выше), эта идея приводит к трудностям.
В более общем смысле, как отметил AW Moore , не может быть конца процессу формирования множеств , и, следовательно, не может быть такой вещи, как совокупность всех множеств или иерархия множеств . Любая такая совокупность сама по себе должна была бы быть множеством, таким образом, лежащим где-то внутри иерархии и, таким образом, не содержащим каждое множество.
Стандартное решение этой проблемы можно найти в теории множеств Цермело , которая не допускает неограниченного формирования множеств из произвольных свойств. Вместо этого мы можем сформировать множество всех объектов, которые обладают заданным свойством и лежат в некотором заданном множестве ( Аксиома разделения Цермело ). Это допускает формирование множеств на основе свойств в ограниченном смысле, при этом (надеюсь) сохраняя согласованность теории.
Хотя это решает логическую проблему, можно утверждать, что философская проблема остается. Кажется естественным, что набор индивидов должен существовать, пока существуют индивиды. Действительно, можно сказать, что наивная теория множеств основана на этом понятии. Хотя исправление Цермело позволяет классу описывать произвольные (возможно, «большие») сущности, эти предикаты метаязыка могут не иметь формального существования (т. е. как набор) в рамках теории. Например, класс всех множеств был бы собственным классом . Это неудовлетворительно с философской точки зрения для некоторых и мотивировало дополнительную работу в теории множеств и других методах формализации основ математики, таких как Новые основания Уилларда Ван Ормана Куайна .
Кантор (1) считал абсолют проявлением Бога [...] Когда абсолют впервые представлен в Grundlagen, он связан с Богом: «истинная бесконечность или абсолют, который находится в Боге, не допускает никакого рода определения» (Кантор 1883b, стр. 175) Это не случайное замечание, поскольку Кантор очень ясно и настойчиво говорит об отношении между абсолютом и Богом.
[Ca-a, [2] стр. 378].Es wurde das Aktual-Unendliche (AU.) nach drei Beziehungen unterschieden: erstens, sofern es in der höchsten Vollkommenheit, im völlig unabhängigen außerweltlichen Sein, in Deo realisiert ist, wo ich es Absolut Unendliches oder kurzweg Absolutes nenne; zweitens, sofern es in der abhängigen, kreatürlichen Welt vertreten ist; drittens, sofern es als mathematische Größe, Zahl oder Ordnungstypus vom Denken in Abstracto aufgefaßt werden kann. В ден beiden letzten Beziehungen, wo es offenbar als beschränktes, noch weiterer Vermehrung fähiges und insofern dem Endlichen verwandtes A.-U. sich darstellt, nenne ich es Transfinitum und setze es dem Absoluten strengstens entgegen.