Абсолютная разница

Абсолютное значение (x - y), метрика

Показывает абсолютную разность действительных чисел и расстояние между ними на действительной прямой . ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$

Абсолютная разность двух действительных чисел и задается как , абсолютное значение их разности . Она описывает расстояние на действительной прямой между точками, соответствующими и . Это частный случай расстояния L p для всех и является стандартной метрикой, используемой как для множества рациональных чисел , так и для их завершения, множества действительных чисел . ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle |x-y|}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle 1\leq p\leq \infty }$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$

Как и для любой метрики, ее свойства следующие:

• ${\displaystyle |x-y|\geq 0}$, поскольку абсолютное значение всегда неотрицательно.
• ${\displaystyle |x-y|=0}$   тогда и только тогда, когда   . ${\displaystyle x=y}$
• ${\displaystyle |x-y|=|y-x|}$     ( симметрия или коммутативность ).
• ${\displaystyle |x-z|\leq |x-y|+|y-z|}$     ( неравенство треугольника ); в случае абсолютной разности равенство имеет место тогда и только тогда, когда или . ${\displaystyle x\leq y\leq z}$ ${\displaystyle x\geq y\geq z}$

Напротив, простое вычитание не является неотрицательным или коммутативным, но оно подчиняется второму и четвертому свойствам выше, поскольку тогда и только тогда, когда , и . ${\displaystyle x-y=0}$ ${\displaystyle x=y}$ ${\displaystyle x-z=(x-y)+(y-z)}$

Абсолютная разность используется для определения других величин, включая относительную разность , норму L ¹ , используемую в геометрии такси , и изящную маркировку в теории графов .

Когда желательно избежать функции абсолютного значения — например, потому что ее вычисление требует больших затрат или потому что ее производная не является непрерывной — ее иногда можно исключить с помощью тождества

${\displaystyle |x-y|<|z-w|}$тогда и только тогда, когда . ${\displaystyle (x-y)^{2}<(z-w)^{2}}$

Это следует из того, что и возведение в квадрат является монотонным на неотрицательных действительных числах. ${\displaystyle |x-y|^{2}=(x-y)^{2}}$

Дополнительные свойства

• В любом подмножестве S действительных чисел, имеющем инфимум и супремум, абсолютная разность между любыми двумя числами из S меньше или равна абсолютной разности инфимума и супремума S.

Смотрите также

• Абсолютное отклонение

Ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. «Абсолютная разница». Математический мир .