В теории вероятностей и статистике для случайного процесса автоковариация — это функция, которая определяет ковариацию процесса с самим собой в парах моментов времени. Автоковариация тесно связана с автокорреляцией рассматриваемого процесса.
Автоковариация случайных процессов
Определение
При обычных обозначениях оператора ожидания , если случайный процесс имеет функцию среднего , то автоковариация определяется выражением [1] : с. 162 ![{\displaystyle \operatorname {E} }](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \left\{X_{t}\right\}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \mu _{t}=\operatorname {E} [X_{t}]}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
где и - два момента во времени.![{\displaystyle t_{1}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle t_{2}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Определение слабостационарного процесса
Если — слабостационарный (СВС) процесс , то справедливы следующие условия: [1] : с. 163 ![{\displaystyle \left\{X_{t}\right\}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
для всех![{\displaystyle t_{1},t_{2}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
и
для всех![{\displaystyle т}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
и
![{\displaystyle \operatorname {K} _{XX}(t_{1},t_{2})=\operatorname {K} _{XX}(t_{2}-t_{1},0)\triangleq \operatorname {K} _{XX}(t_{2}-t_{1})=\operatorname {K} _{XX}(\tau ),}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
где время задержки или количество времени, на которое сигнал был сдвинут.![{\displaystyle \tau =t_{2}-t_{1}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Таким образом, функция автоковариации процесса WSS определяется следующим образом: [2] : с. 517
что эквивалентно
.
Нормализация
В некоторых дисциплинах (например, в статистике и анализе временных рядов ) обычной практикой является нормализация автоковариационной функции для получения зависящего от времени коэффициента корреляции Пирсона . Однако в других дисциплинах (например, инженерных) от нормализации обычно отказываются и термины «автокорреляция» и «автоковариация» используются как синонимы.
Определение нормированной автокорреляции случайного процесса:
.
Если функция четко определена, ее значение должно лежать в диапазоне , где 1 указывает на идеальную корреляцию, а -1 указывает на идеальную антикорреляцию .![{\displaystyle \rho _{XX}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle [-1,1]}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Для процесса WSS определение следующее:
.
где
.
Характеристики
Свойство симметрии
[3] : стр. 169
соответственно для процесса WSS:
[3] : стр.173
Линейная фильтрация
Автоковариация процесса с линейной фильтрацией![{\displaystyle \left\{Y_{t}\right\}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle Y_{t}=\sum _{k=-\infty }^{\infty }a_{k}X_{t+k}\,}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
является
![{\displaystyle K_{YY}(\tau)=\sum _{k,l=-\infty }^{\infty }a_{k}a_{l}K_{XX}(\tau +kl).\, }](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Расчет турбулентной диффузии
Автоковариация может использоваться для расчета турбулентной диффузии . [4] Турбулентность потока может вызывать колебания скорости в пространстве и времени. Таким образом , мы можем идентифицировать турбулентность посредством статистики этих колебаний .
Разложение Рейнольдса используется для определения флуктуаций скорости (предположим, что мы сейчас работаем с одномерной задачей и это скорость вдоль направления):![{\ displaystyle u' (x, t)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\ displaystyle U (x, t)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle х}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle U(x,t)=\langle U(x,t)\rangle +u'(x,t),}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
где – истинная скорость, – ожидаемое значение скорости . Если мы выберем правильное значение , все стохастические компоненты турбулентной скорости будут включены в . Для определения требуется набор измерений скорости, собранных из точек пространства, моментов времени или повторных экспериментов.![{\ displaystyle U (x, t)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \langle U (x,t)\rangle}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \langle U (x,t)\rangle}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\ displaystyle u' (x, t)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \langle U (x,t)\rangle}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Если мы предположим, что турбулентный поток ( и c - член концентрации) может быть вызван случайным блужданием, мы можем использовать законы диффузии Фика , чтобы выразить член турбулентного потока:![{\displaystyle \langle u'c'\rangle }](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle c'=c-\langle c\rangle}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle J_{{\text{turbulence}}_{x}}=\langle u'c'\rangle \approx D_{T_{x}}{\frac {\partial \langle c\rangle }{\partial Икс}}.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Автоковариация скорости определяется как
или![{\displaystyle K_{XX}\equiv \langle u'(x_{0})u'(x_{0}+r)\rangle,}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
где время задержки и расстояние задержки.![{\displaystyle \тау }](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle г}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Турбулентный коэффициент диффузии можно рассчитать с помощью следующих трех методов:![{\displaystyle D_{T_{x}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
- Если у нас есть данные о скорости вдоль лагранжевой траектории :
![{\displaystyle D_{T_{x}}=\int _{\tau }^{\infty }u'(t_{0})u'(t_{0}+\tau )\,d\tau .}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
- Если у нас есть данные о скорости в одном фиксированном ( эйлеровом ) месте :
![{\displaystyle D_{T_{x}}\approx [0,3\pm 0,1]\left[{\frac {\langle u'u'\rangle +\langle u\rangle ^{2}}{\langle u'u '\rangle }}\right]\int _{\tau }^{\infty }u'(t_{0})u'(t_{0}+\tau )\,d\tau .}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
- Если у нас есть информация о скорости в двух фиксированных (эйлеровых ) местоположениях :
![{\displaystyle D_{T_{x}}\approx [0,4\pm 0,1]\left[{\frac {1}{\langle u'u'\rangle }}\right]\int _{r}^{\ infty }u'(x_{0})u'(x_{0}+r)\,dr,}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
где расстояние, разделяемое этими двумя фиксированными точками.![{\displaystyle г}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Автоковариация случайных векторов
Смотрите также
Рекомендации
- ^ Аб Сюй, Хвэй (1997). Вероятность, случайные величины и случайные процессы . МакГроу-Хилл. ISBN 978-0-07-030644-8.
- ^ Лапидот, Амос (2009). Фонд цифровых коммуникаций . Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0-521-19395-5.
- ^ Аб Кун Иль Парк, Основы теории вероятностей и случайных процессов с применением в коммуникациях, Springer, 2018, 978-3-319-68074-3
- ^ Тейлор, Дж.И. (1 января 1922 г.). «Диффузия посредством непрерывных движений» (PDF) . Труды Лондонского математического общества . с2-20(1): 196–212. дои : 10.1112/plms/s2-20.1.196. ISSN 1460-244X.
дальнейшее чтение
- Хоэл, П.Г. (1984). Математическая статистика (Пятое изд.). Нью-Йорк: Уайли. ISBN 978-0-471-89045-4.
- Конспекты лекций по автоковариации от WHOI