Автоморфизм алгебры Ли

Тип автоморфизма

В абстрактной алгебре автоморфизм алгебры Ли — это изоморфизм из в себя, то есть биективное линейное отображение, сохраняющее скобку Ли. Множество автоморфизмов обозначается , группа автоморфизмов . ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\text{Aut}}({\mathfrak {g}})}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

Внутренние и внешние автоморфизмы

Подгруппа , сгенерированная с помощью присоединенного действия, называется внутренней группой автоморфизмов . Группа обозначается . Они образуют нормальную подгруппу в группе автоморфизмов, а фактор известен как внешняя группа автоморфизмов . ^[1] ${\displaystyle \operatorname {Aut} ({\mathfrak {g}})}$ ${\displaystyle e^{\operatorname {ad} (x)},x\in {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle \operatorname {Aut} ^{0}({\mathfrak {g}})}$ ${\displaystyle \operatorname {Aut} ({\mathfrak {g}})/\operatorname {Aut} ^{0}({\mathfrak {g}})}$

Диаграмма автоморфизмов

Известно, что группа внешних автоморфизмов простой алгебры Ли изоморфна группе автоморфизмов диаграмм соответствующей диаграммы Дынкина в классификации алгебр Ли. ^[2] Единственными алгебрами с нетривиальной группой внешних автоморфизмов являются, следовательно, и . ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle A_{n}(n\geq 2),D_{n}}$ ${\displaystyle E_{6}}$

Существуют способы конкретно реализовать эти автоморфизмы в матричных представлениях этих групп. Для автоморфизм может быть реализован как отрицательное транспонирование. Для автоморфизм получается сопряжением с ортогональной матрицей в с определителем -1. ${\displaystyle A_{n}={\mathfrak {sl}}(n+1,\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle D_{n}={\mathfrak {so}}(2n)}$ ${\displaystyle O(2n)}$

Производные

Вывод на алгебре Ли — это линейное отображение , удовлетворяющее правилу Лейбница Множество выводов на алгебре Ли обозначается , и является подалгеброй эндоморфизмов на , то есть . Они наследуют структуру алгебры Ли от структуры алгебры Ли на алгебре эндоморфизмов, а замыкание скобок следует из правила Лейбница. $${\displaystyle \delta :{\mathfrak {g}}\rightarrow {\mathfrak {g}}}$$ $${\displaystyle \delta [X,Y]=[\delta X,Y]+[X,\delta Y].}$$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle \operatorname {der} ({\mathfrak {g}})}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle \operatorname {der} ({\mathfrak {g}})<\operatorname {End} ({\mathfrak {g}})}$

В силу тождества Якоби можно показать, что образ присоединенного представления лежит в . ${\displaystyle \operatorname {ad} :{\mathfrak {g}}\rightarrow \operatorname {End} ({\mathfrak {g}})}$ ${\displaystyle \operatorname {der} ({\mathfrak {g}})}$

Через соответствие группа Ли-алгебра Ли группа Ли автоморфизмов соответствует алгебре Ли дериваций . ${\displaystyle \operatorname {Aut} ({\mathfrak {g}})}$ ${\displaystyle \operatorname {der} ({\mathfrak {g}})}$

Для конечного все выводимые значения являются внутренними. ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

Примеры

• Для каждого в группе Ли обозначим дифференциал в единице сопряжения через . Тогда — автоморфизм группы , сопряженное действие через . ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \operatorname {Ad} _{g}}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle \operatorname {Ad} _{g}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}=\operatorname {Lie} (G)}$ ${\displaystyle g}$

Теоремы

Теорема Бореля–Морозова утверждает, что каждая разрешимая подалгебра комплексной полупростой алгебры Ли может быть отображена в подалгебру подалгебры Картана с помощью внутреннего автоморфизма . В частности, она утверждает, что , где — корневые пространства, является максимальной разрешимой подалгеброй (то есть подалгеброй Бореля ). ^[3] ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {h}}\oplus \bigoplus _{\alpha >0}{\mathfrak {g}}_{\alpha }=:{\mathfrak {h}}\oplus {\mathfrak {g}}^{+}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{\alpha }}$

Ссылки

1. Хамфрис 1972
2. Хамфрис 1972
3. Серр 2000, Гл. VI, Теорема 5.

• Э. Картан, Принцип двойственности и теория простых и полупростых групп. Бык. наук. математика. 49, 1925, стр. 361–374.
• Хамфрис, Джеймс (1972). Введение в алгебры Ли и теорию представлений . Springer. ISBN 0387900535.
• Серр, Жан-Пьер (2000), Алгебры полупростых комплексов Ли [ Комплексные полупростые алгебры Ли ], перевод Джонса, Джорджия, Спрингера, ISBN 978-3-540-67827-4.