В математике внешняя группа автоморфизмов группы G — это фактор Aut( G ) / Inn( G ) , где Aut ( G ) — группа автоморфизмов группы G , а Inn( G ) — подгруппа, состоящая из внутренних автоморфизмов . Внешняя группа автоморфизмов обычно обозначается Out( G ) . Если Out( G ) тривиальна и G имеет тривиальный центр , то говорят, что G полная .
Автоморфизм группы, не являющийся внутренним, называется внешним автоморфизмом . [1] Смежные классы Inn( G ) относительно внешних автоморфизмов являются тогда элементами Out( G ) ; это пример того, что факторы групп, вообще говоря, не являются (изоморфными) подгруппами. Если группа внутренних автоморфизмов тривиальна (когда группа абелева), группа автоморфизмов и группа внешних автоморфизмов естественным образом отождествляются; то есть группа внешних автоморфизмов действует на группу.
Например, для знакопеременной группы , A n , внешней группой автоморфизмов обычно является группа порядка 2, с исключениями, отмеченными ниже. Рассматривая A n как подгруппу симметрической группы , S n , сопряжение любой нечетной перестановкой является внешним автоморфизмом A n или, точнее, «представляет класс (нетривиального) внешнего автоморфизма A n », но внешний автоморфизм не соответствует сопряжению каким-либо конкретным нечетным элементом, и все сопряжения нечетными элементами эквивалентны с точностью до сопряжения четным элементом.
Гипотеза Шрайера утверждает, что Out( G ) всегда является разрешимой группой , когда G является конечной простой группой . Этот результат теперь известен как следствие классификации конечных простых групп , хотя более простое доказательство неизвестно.
Группа внешних автоморфизмов двойственна центру в следующем смысле: сопряжение элементом G является автоморфизмом, дающим отображение σ : G → Aut( G ) . Ядро отображения сопряжения является центром, тогда как коядро является группой внешних автоморфизмов (а образ является группой внутренних автоморфизмов ). Это можно суммировать точной последовательностью
Группа внешних автоморфизмов группы действует на классы сопряженности и, соответственно, на таблицу характеров . Подробности см. в таблице характеров: внешние автоморфизмы .
Группа внешних автоморфизмов важна в топологии поверхностей , поскольку существует связь, обеспечиваемая теоремой Дена–Нильсена : расширенная группа классов отображений поверхности является группой внешних автоморфизмов ее фундаментальной группы .
Для внешних групп автоморфизмов всех конечных простых групп см. список конечных простых групп . Спорадические простые группы и знакопеременные группы (кроме знакопеременной группы A 6 ; см. ниже) все имеют внешние группы автоморфизмов порядка 1 или 2. Внешняя группа автоморфизмов конечной простой группы лиева типа является расширением группы «диагональных автоморфизмов» (циклических, за исключением D n ( q ) , когда она имеет порядок 4), группы «полевых автоморфизмов» (всегда циклических) и группы «графовых автоморфизмов» (порядка 1 или 2, за исключением D 4 ( q ) , когда она является симметрической группой на 3 точках). Эти расширения не всегда являются полупрямыми произведениями , как показывает случай знакопеременной группы A 6 ; точный критерий того, что это происходит, был дан в 2003 году. [2]
Группа внешних автоморфизмов конечной простой группы в некотором бесконечном семействе конечных простых групп почти всегда может быть задана единой формулой, которая работает для всех элементов семейства. Из этого есть только одно исключение: [3] знакопеременная группа A 6 имеет группу внешних автоморфизмов порядка 4, а не 2, как другие простые знакопеременные группы (заданные сопряжением нечетной перестановкой ) . Эквивалентно симметрическая группа S 6 является единственной симметрической группой с нетривиальной группой внешних автоморфизмов.
Обратите внимание, что в случае G = A 6 = PSL(2, 9) последовательность 1 ⟶ G ⟶ Aut( G ) ⟶ Out( G ) ⟶ 1 не расщепляется. Аналогичный результат справедлив для любого PSL(2, q 2 ) , q нечетно.
Пусть теперь G — связная редуктивная группа над алгебраически замкнутым полем . Тогда любые две подгруппы Бореля сопряжены внутренним автоморфизмом, поэтому для изучения внешних автоморфизмов достаточно рассмотреть автоморфизмы, которые фиксируют заданную подгруппу Бореля. С подгруппой Бореля связан набор простых корней , и внешний автоморфизм может переставлять их, сохраняя при этом структуру связанной диаграммы Дынкина . Таким образом, можно отождествить группу автоморфизмов диаграммы Дынкина группы G с подгруппой Out( G ) .
D 4 имеет очень симметричную диаграмму Дынкина, которая дает большую внешнюю группу автоморфизмов Spin(8) , а именно Out(Spin(8)) = S 3 ; это называется триальностью .
Предшествующая интерпретация внешних автоморфизмов как симметрий диаграммы Дынкина следует из общего факта, что для комплексной или действительной простой алгебры Ли 𝔤 группа автоморфизмов Aut( 𝔤 ) является полупрямым произведением Inn ( 𝔤 ) и Out( 𝔤 ) ; т. е. короткая точная последовательность
расщепляется. В сложном простом случае это классический результат, [4] тогда как для действительных простых алгебр Ли этот факт был доказан совсем недавно, в 2010 году. [5]
Термин внешний автоморфизм сам по себе допускает игру слов : термин внешний морфизм иногда используется для внешнего автоморфизма , а конкретная геометрия, на которую действует Out( F n ), называется внешним пространством .
