Автоморфное число

В математике автоморфное число (иногда называемое циклическим числом ) — это натуральное число в данной системе счисления , квадрат которого «заканчивается» теми же цифрами, что и само число. ${\displaystyle b}$

Определение и свойства

При наличии основания системы счисления натуральное число с цифрами является автоморфным числом , если является неподвижной точкой полиномиальной функции над , кольцом целых чисел по модулю . Поскольку обратным пределом является , кольцом -адических целых чисел, автоморфные числа используются для нахождения числовых представлений неподвижных точек над . ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle f(x)=x^{2}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} /b^{k}\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle b^{k}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} /b^{k}\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} _{b}}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle f(x)=x^{2}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} _{b}}$

Например, при , существует четыре 10-адических неподвижных точки , последние 10 цифр которых равны: ${\displaystyle b=10}$ ${\displaystyle f(x)=x^{2}}$

${\displaystyle \ldots 0000000000}$

${\displaystyle \ldots 0000000001}$

${\displaystyle \ldots 8212890625}$(последовательность A018247 в OEIS )

${\displaystyle \ldots 1787109376}$(последовательность A018248 в OEIS )

Таким образом, автоморфные числа в десятичной системе счисления — это 0, 1, 5, 6, 25, 76, 376, 625, 9376, 90625, 109376, 890625, 2890625, 7109376, 12890625, 87109376, 212890625, 787109376, 1787109376, 8212890625, 18212890625, 81787109376, 918212890625, 9918212890625, 40081787109376, 59918212890625, ... (последовательность A003226 в OEIS ).

Неподвижная точка является нулем функции . В кольце целых чисел по модулю существуют нули до , где простая омега-функция является числом различных простых множителей в . Элемент в является нулем тогда и только тогда, когда или для всех . Поскольку существует два возможных значения в , и существуют такие , существуют нули , и, таким образом, существуют неподвижные точки . Согласно лемме Гензеля , если существуют нули или неподвижные точки полиномиальной функции по модулю , то существуют соответствующие нули или неподвижные точки той же функции по модулю любой степени , и это остается верным в обратном пределе . Таким образом, в любой заданной базе существуют -адические неподвижные точки . ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle g(x)=f(x)-x}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle 2^{\omega (b)}}$ ${\displaystyle g(x)=x^{2}-x}$ ${\displaystyle \omega (b)}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} /b\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle g(x)=x^{2}-x}$ ${\displaystyle x\equiv 0{\bmod {p}}^{v_{p}(b)}}$ ${\displaystyle x\equiv 1{\bmod {p}}^{v_{p}(b)}}$ ${\displaystyle p|b}$ ${\displaystyle \lbrace 0,1\rbrace }$ ${\displaystyle \omega (b)}$ ${\displaystyle p|b}$ ${\displaystyle 2^{\omega (b)}}$ ${\displaystyle g(x)=x^{2}-x}$ ${\displaystyle 2^{\omega (b)}}$ ${\displaystyle f(x)=x^{2}}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle 2^{\omega (b)}}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle f(x)=x^{2}}$

Так как 0 всегда является делителем нуля , 0 и 1 всегда являются неподвижными точками , а 0 и 1 являются автоморфными числами в каждой базе. Эти решения называются тривиальными автоморфными числами . Если — степень простого числа , то кольцо -адических чисел не имеет делителей нуля, отличных от 0, поэтому единственными неподвижными точками являются 0 и 1. В результате нетривиальные автоморфные числа , отличные от 0 и 1, существуют только тогда, когда база имеет по крайней мере два различных простых множителя. ${\displaystyle f(x)=x^{2}}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle f(x)=x^{2}}$ ${\displaystyle b}$

Автоморфные числа в базеб

Все -адические числа представлены в системе счисления с основанием , в которой для представления цифровых значений от 10 до 35 используются символы A−Z. ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle b}$

Расширения

Автоморфные числа могут быть расширены до любой такой полиномиальной функции степени с b -адическими коэффициентами . Эти обобщенные автоморфные числа образуют дерево . ${\displaystyle n}$ ${\textstyle f(x)=\sum _{i=0}^{n}a_{i}x^{i}}$ ${\displaystyle a_{i}}$

а-автоморфные числа

Автоморфное число возникает , когда полиномиальная функция ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle f(x)=ax^{2}}$

Например, при и , поскольку имеются две неподвижные точки для в ( и ), согласно лемме Гензеля имеются две 10-адические неподвижные точки для , ${\displaystyle b=10}$ ${\displaystyle a=2}$ ${\displaystyle f(x)=2x^{2}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} /10\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle x=0}$ ${\displaystyle x=8}$ ${\displaystyle f(x)=2x^{2}}$

${\displaystyle \ldots 0000000000}$

${\displaystyle \ldots 0893554688}$

Итак, 2-автоморфные числа в десятичной системе счисления — это 0, 8, 88, 688, 4688...

Триморфные числа

Триморфное число или сферическое число возникает, когда полиномиальная функция равна . ^[1] Все автоморфные числа являются триморфными. Термины круговой и сферический ранее использовались для немного иного случая числа, все степени которого имеют ту же последнюю цифру, что и само число. ^[2] ${\displaystyle f(x)=x^{3}}$

Для основания триморфными числами являются: ${\displaystyle b=10}$

0, 1, 4, 5, 6, 9, 24, 25, 49, 51, 75, 76, 99, 125, 249, 251, 375, 376, 499, 501, 624, 625, 749, 751, 875, 999, 1249, 3751, 4375, 4999, 5001, 5625, 6249, 8751, 9375, 9376, 9999, ... (последовательность A033819 в OEIS )

Для основания триморфными числами являются: ${\displaystyle b=12}$

0, 1, 3, 4, 5, 7, 8, 9, Б, 15, 47, 53, 54, 5Б, 61, 68, 69, 75, А7, Б3, ББ, 115, 253, 368, 369, 4А7, 5ВВ, 601, 715, 853, 854, 969, АА7, ВВВ, 14А7, 2369, 3853, 3854, 4715, 5ВВВ, 6001, 74А7, 8368, 8369, 9853, А715, ВВВВ, ...

Пример программирования

def  hensels_lemma ( polynomial_function ,  base :  int ,  power :  int )  ->  list [ int ]: """Лемма Гензеля.""" если power == 0 : return [ 0 ] если power > 0 : roots = hensels_lemma ( polynomial_function , base , power - 1 ) new_roots = [] для root в roots : для i в диапазоне ( 0 , base ): new_i = i * base ** ( power - 1 ) + root new_root = polynomial_function ( new_i ) % pow ( base , power ) если new_root == 0 : new_roots . append ( new_i ) return new_roots                                                      основание  =  10 цифр  =  10def  automorphic_polynomial ( x :  int )  ->  int :  return  x  **  2  -  xдля  i  в  диапазоне ( 1 ,  цифры  +  1 ):  print ( hensels_lemma ( automorphic_polynomial ,  base ,  i ))

Смотрите также

• Арифметическая динамика
• Число Капрекара
• p- адическое число
• p- адический анализ
• Делитель нуля

Ссылки

1. См. статью Жерара Мишона на сайте
2. "сферическое число" . Оксфордский словарь английского языка (Электронная правка). Oxford University Press . (Требуется подписка или членство в участвующем учреждении.)

• примеры 1-автоморфных чисел на PlanetMath .

Внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. "Автоморфное число". MathWorld .
• Вайсштейн, Эрик В. «Триморфное число». MathWorld .