Автономная система (математика)

Система обыкновенных дифференциальных уравнений, текущее состояние которой определяет исключительно ее эволюцию

Диаграмма устойчивости, классифицирующая отображения Пуанкаре линейной автономной системы как устойчивые или неустойчивые в соответствии с их особенностями. Устойчивость обычно увеличивается слева от диаграммы. ^[1] Некоторые стоки, источники или узлы являются точками равновесия . ${\displaystyle x'=Ax,}$

Двумерный случай относится к фазовой плоскости .

В математике автономная система или автономное дифференциальное уравнение — это система обыкновенных дифференциальных уравнений , которая явно не зависит от независимой переменной . Когда переменной является время, их также называют системами, инвариантными во времени .

Многие законы физики , где независимой переменной обычно считается время , выражаются в виде автономных систем, поскольку предполагается, что законы природы , действующие в настоящее время, идентичны законам природы для любой точки в прошлом или будущем.

Определение

Автономная система — это система обыкновенных дифференциальных уравнений вида , где x принимает значения в n -мерном евклидовом пространстве ; t часто интерпретируется как время. $${\displaystyle {\frac {d}{dt}}x(t)=f(x(t))}$$

Она отличается от систем дифференциальных уравнений той формы , в которой закон, управляющий эволюцией системы, зависит не только от текущего состояния системы, но и от параметра t , который снова часто интерпретируется как время; такие системы по определению не являются автономными. $${\displaystyle {\frac {d}{dt}}x(t)=g(x(t),t)}$$

Характеристики

Решения инвариантны относительно горизонтальных переносов:

Пусть — единственное решение задачи начального значения для автономной системы Тогда решает Обозначим получает и , таким образом, Для начального условия проверка тривиальна, ${\displaystyle x_{1}(t)}$ $${\displaystyle {\frac {d}{dt}}x(t)=f(x(t))\,,\quad x(0)=x_{0}.}$$ ${\displaystyle x_{2}(t)=x_{1}(t-t_{0})}$ $${\displaystyle {\frac {d}{dt}}x(t)=f(x(t))\,,\quad x(t_{0})=x_{0}.}$$ ${\displaystyle s=t-t_{0}}$ ${\displaystyle x_{1}(s)=x_{2}(t)}$ ${\displaystyle ds=dt}$ $${\displaystyle {\frac {d}{dt}}x_{2}(t)={\frac {d}{dt}}x_{1}(t-t_{0})={\frac {d}{ds}}x_{1}(s)=f(x_{1}(s))=f(x_{2}(t)).}$$ $${\displaystyle x_{2}(t_{0})=x_{1}(t_{0}-t_{0})=x_{1}(0)=x_{0}.}$$

Пример

Уравнение является автономным, поскольку независимая переменная ( ) явно не появляется в уравнении. Чтобы построить поле наклона и изоклину для этого уравнения, можно использовать следующий код в GNU Octave / MATLAB ${\displaystyle y'=\left(2-y\right)y}$ ${\displaystyle x}$

Ffun = @( X , Y )( 2 - Y ) .* Y ; % function f(x,y)=(2-y)y [ X , Y ] = meshgrid ( 0 : .2 : 6 , - 1 : .2 : 3 ); % выбрать размеры графика DY = Ffun ( X , Y ); DX = units ( size ( DY )); % сгенерировать значения графика quiver ( X , Y , DX , DY , 'k' ); % построить поле направления черным цветом hold on ; contour ( X , Y , DY , [ 0 1 2 ], 'g' ); % добавить изоклины (0 1 2) в зеленый заголовок ( 'Поле наклона и изоклины для f(x,y)=(2-y)y' )                                 

Из графика видно, что функция является -инвариантной, как и форма решения, т.е. для любого сдвига . ${\displaystyle \left(2-y\right)y}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y(x)=y(x-x_{0})}$ ${\displaystyle x_{0}}$

Решим уравнение символически в MATLAB , запустив

syms y(x) ; уравнение = ( diff ( y ) == ( 2 - y ) * y ); % решить уравнение для общего решения символически y_general = dsolve ( уравнение );           

получает два равновесных решения, и , и третье решение, содержащее неизвестную константу , . ${\displaystyle y=0}$ ${\displaystyle y=2}$ ${\displaystyle C_{3}}$-2 / (exp(C3 - 2 * x) - 1)

Подобрав некоторые конкретные значения для начального условия , можно сложить график нескольких решений

Поле наклона с изоклинами и решениями

% решить задачу начального значения символически % для различных начальных условий y1 = dsolve ( equation , y ( 1 ) == 1 ); y2 = dsolve ( equation , y ( 2 ) == 1 ); y3 = dsolve ( equation , y ( 3 ) == 1 ); y4 = dsolve ( equation , y ( 1 ) == 3 ); y5 = dsolve ( equation , y ( 2 ) == 3 ); y6 = dsolve ( equation , y ( 3 ) == 3 ); % построить графики решений ezplot ( y1 , [ 0 6 ]); ezplot ( y2 , [ 0 6 ]); ezplot ( y3 , [ 0 6 ]); ezplot ( y4 , [ 0 6 ]); ezplot ( y5 , [ 0 6 ]); ezplot ( y6 , [ 0 6 ]); title ( 'Поле уклона, изоклины и решения для f(x,y)=(2-y)y' ) legend ( 'Поле уклона' , 'Изоклины' , 'Решения y_{1..6}' ); text ( [ 1 2 3 ], [ 1 1 1 ], strcat ( '\leftarrow' , { 'y_1' , 'y_2' , 'y_3' })); text ( [ 1 2 3 ], [ 3 3 3 ], strcat ( '\leftarrow' , { 'y_4' , 'y_5' , 'y_6'                                                                     })); сетка на ; 

Качественный анализ

Автономные системы можно качественно проанализировать, используя фазовое пространство ; в случае одной переменной это фазовая линия .

Методы решения

Следующие методы применяются к одномерным автономным дифференциальным уравнениям. Любое одномерное уравнение порядка эквивалентно -мерной системе первого порядка (как описано в сведении к системе первого порядка ), но не обязательно наоборот. ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$

Первый заказ

Автономное уравнение первого порядка является разделяемым , поэтому его можно решить, переписав его в интегральную форму $${\displaystyle {\frac {dx}{dt}}=f(x)}$$ $${\displaystyle t+C=\int {\frac {dx}{f(x)}}}$$

Второго порядка

Автономное уравнение второго порядка сложнее, но его можно решить ^[2] , введя новую переменную и выразив вторую производную через цепное правило как так, что исходное уравнение становится которое является уравнением первого порядка, не содержащим ссылки на независимую переменную . Решение дает как функцию от . Затем, вспоминая определение : $${\displaystyle {\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}=f(x,x')}$$ $${\displaystyle v={\frac {dx}{dt}}}$$ ${\displaystyle x}$ $${\displaystyle {\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}={\frac {dv}{dt}}={\frac {dx}{dt}}{\frac {dv}{dx}}=v{\frac {dv}{dx}}}$$ $${\displaystyle v{\frac {dv}{dx}}=f(x,v)}$$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle v}$

$${\displaystyle {\frac {dx}{dt}}=v(x)\quad \Rightarrow \quad t+C=\int {\frac {dx}{v(x)}}}$$

что является неявным решением.

Особый случай:х ″ = f ( х )

Особый случай, когда не зависит от ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x'}$

$${\displaystyle {\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}=f(x)}$$

выигрывает от раздельного рассмотрения. ^[3] Эти типы уравнений очень распространены в классической механике, поскольку они всегда являются гамильтоновыми системами .

Идея состоит в том, чтобы использовать идентичность

$${\displaystyle {\frac {dx}{dt}}=\left({\frac {dt}{dx}}\right)^{-1}}$$

что следует из цепного правила , исключая любые проблемы, связанные с делением на ноль .

Инвертируя обе части автономной системы первого порядка, можно немедленно выполнить интеграцию по : ${\displaystyle x}$

$${\displaystyle {\frac {dx}{dt}}=f(x)\quad \Rightarrow \quad {\frac {dt}{dx}}={\frac {1}{f(x)}}\quad \Rightarrow \quad t+C=\int {\frac {dx}{f(x)}}}$$

что является еще одним способом рассмотрения техники разделения переменных. Вторая производная должна быть выражена как производная по отношению к вместо : ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle t}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}&={\frac {d}{dt}}\left({\frac {dx}{dt}}\right)={\frac {d}{dx}}\left({\frac {dx}{dt}}\right){\frac {dx}{dt}}\\[4pt]&={\frac {d}{dx}}\left(\left({\frac {dt}{dx}}\right)^{-1}\right)\left({\frac {dt}{dx}}\right)^{-1}\\[4pt]&=-\left({\frac {dt}{dx}}\right)^{-2}{\frac {d^{2}t}{dx^{2}}}\left({\frac {dt}{dx}}\right)^{-1}=-\left({\frac {dt}{dx}}\right)^{-3}{\frac {d^{2}t}{dx^{2}}}\\[4pt]&={\frac {d}{dx}}\left({\frac {1}{2}}\left({\frac {dt}{dx}}\right)^{-2}\right)\end{aligned}}}$$

Подчеркнем еще раз: достигнуто то, что вторая производная по отношению к выражена как производная от . Теперь можно проинтегрировать исходное уравнение второго порядка: ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle x}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}&=f(x)\\{\frac {d}{dx}}\left({\frac {1}{2}}\left({\frac {dt}{dx}}\right)^{-2}\right)&=f(x)\\\left({\frac {dt}{dx}}\right)^{-2}&=2\int f(x)dx+C_{1}\\{\frac {dt}{dx}}&=\pm {\frac {1}{\sqrt {2\int f(x)dx+C_{1}}}}\\t+C_{2}&=\pm \int {\frac {dx}{\sqrt {2\int f(x)dx+C_{1}}}}\end{aligned}}}$$

Это неявное решение. Самая большая потенциальная проблема — невозможность упростить интегралы, что подразумевает сложность или невозможность оценки констант интегрирования.

Особый случай:х ″ = х ′ ^н ф ( х )

Используя описанный выше подход, метод можно распространить на более общее уравнение

$${\displaystyle {\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}=\left({\frac {dx}{dt}}\right)^{n}f(x)}$$

где — некоторый параметр, не равный двум. Это сработает, поскольку вторая производная может быть записана в форме, включающей степень . Переписываем вторую производную, переставляем и выражаем левую часть как производную: ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle x'}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}&-\left({\frac {dt}{dx}}\right)^{-3}{\frac {d^{2}t}{dx^{2}}}=\left({\frac {dt}{dx}}\right)^{-n}f(x)\\[4pt]&-\left({\frac {dt}{dx}}\right)^{n-3}{\frac {d^{2}t}{dx^{2}}}=f(x)\\[4pt]&{\frac {d}{dx}}\left({\frac {1}{2-n}}\left({\frac {dt}{dx}}\right)^{n-2}\right)=f(x)\\[4pt]&\left({\frac {dt}{dx}}\right)^{n-2}=(2-n)\int f(x)dx+C_{1}\\[2pt]&t+C_{2}=\int \left((2-n)\int f(x)dx+C_{1}\right)^{\frac {1}{n-2}}dx\end{aligned}}}$$

Справа будет переноситься +/−, если четно. Обработка должна быть иной, если : ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n=2}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}-\left({\frac {dt}{dx}}\right)^{-1}{\frac {d^{2}t}{dx^{2}}}&=f(x)\\-{\frac {d}{dx}}\left(\ln \left({\frac {dt}{dx}}\right)\right)&=f(x)\\{\frac {dt}{dx}}&=C_{1}e^{-\int f(x)dx}\\t+C_{2}&=C_{1}\int e^{-\int f(x)dx}dx\end{aligned}}}$$

Высшие порядки

Аналогичного метода решения автономных уравнений третьего или более высокого порядка не существует. Такие уравнения могут быть решены точно, только если они обладают каким-либо другим упрощающим свойством, например, линейностью или зависимостью правой части уравнения только от зависимой переменной ^{[4] [5]} (т. е. не от ее производных). Это не должно удивлять, учитывая, что нелинейные автономные системы в трех измерениях могут производить действительно хаотическое поведение, такое как аттрактор Лоренца и аттрактор Ресслера .

Аналогично, общие неавтономные уравнения второго порядка неразрешимы явно, поскольку они также могут быть хаотическими, как в периодически вынужденном маятнике. ^[6]

Многомерный случай

В , где - -мерный вектор-столбец, зависящий от . ${\displaystyle \mathbf {x} '(t)=A\mathbf {x} (t)}$ ${\displaystyle \mathbf {x} (t)}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle t}$

Решение: где — постоянный вектор. ^[7] ${\displaystyle \mathbf {x} (t)=e^{At}\mathbf {c} }$ ${\displaystyle \mathbf {c} }$ ${\displaystyle n\times 1}$

Конечные длительности

Для нелинейных автономных ОДУ при некоторых условиях возможно разработать решения конечной продолжительности, ^[8] имея в виду, что из своей собственной динамики система достигнет нулевого значения в конечное время и останется там в нуле навсегда. Эти решения конечной продолжительности не могут быть аналитическими функциями на всей действительной прямой, и поскольку они будут нелипшицевыми функциями в конечное время, они не выдерживают ^{[ необходимо разъяснение ]} единственности решений дифференциальных уравнений Липшица.

Например, уравнение:

${\displaystyle y'=-{\text{sgn}}(y){\sqrt {|y|}},\,\,y(0)=1}$

Допускает решение с конечной продолжительностью:

${\displaystyle y(x)={\frac {1}{4}}\left(1-{\frac {x}{2}}+\left|1-{\frac {x}{2}}\right|\right)^{2}}$

Смотрите также

• Неавтономная система (математика)

Ссылки

1. Egwald Mathematics - Линейная алгебра: Системы линейных дифференциальных уравнений: Анализ линейной устойчивости. Доступно 10 октября 2019 г.
2. Boyce, William E.; Richard C. DiPrima (2005). Elementary Differential Equations and Boundary Volume Problems (8-е изд.). John Wiley & Sons. стр. 133. ISBN 0-471-43338-1.
3. "Автономное уравнение второго порядка" (PDF) . Eqworld . Получено 28 февраля 2021 г. .
4. Автономное уравнение третьего порядка в eqworld .
5. Автономное уравнение четвертого порядка в eqworld .
6. Бланшар; Девани ; Холл (2005). Дифференциальные уравнения . Brooks/Cole Publishing Co. стр. 540–543. ISBN 0-495-01265-3.
7. "Метод матричной экспоненты". Math24 . Получено 28 февраля 2021 г. .
8. Вардиа Т. Хаймо (1985). «Конечные дифференциальные уравнения во времени». 1985 24-я конференция IEEE по принятию решений и управлению . С. 1729–1733. doi :10.1109/CDC.1985.268832. S2CID  45426376.