Теория совместного измерения (также известная как совместное измерение или аддитивное совместное измерение ) — это общая формальная теория непрерывной величины . Она была независимо открыта французским экономистом Жераром Дебре (1960) и американским математическим психологом Р. Дунканом Люсом и статистиком Джоном Тьюки (Luce & Tukey 1964).
Теория касается ситуации, когда по крайней мере два естественных атрибута, A и X , неинтерактивно связаны с третьим атрибутом, P. Не требуется, чтобы A , X или P были известны как величины. С помощью определенных отношений между уровнями P можно установить, что P , A и X являются непрерывными величинами. Следовательно, теория совместного измерения может использоваться для количественной оценки атрибутов в эмпирических обстоятельствах, когда невозможно объединить уровни атрибутов с помощью параллельной операции или конкатенации . Количественная оценка психологических атрибутов, таких как установки, когнитивные способности и полезность, поэтому логически правдоподобна. Это означает, что научное измерение психологических атрибутов возможно. То есть, как и физические величины, величина психологической величины может быть выражена как произведение действительного числа и единичной величины.
Однако применение теории совместного измерения в психологии было ограничено. Утверждалось, что это связано с высоким уровнем формальной математики (например, Cliff 1992) и что теория не может объяснить «шумные» данные, обычно обнаруживаемые в психологических исследованиях (например, Perline, Wright & Wainer 1979). Утверждалось, что модель Раша является стохастическим вариантом теории совместного измерения (например, Brogden 1977; Embretson & Reise 2000; Fischer 1995; Keats 1967; Kline 1998; Scheiblechner 1999), однако это было оспорено (например, Karabatsos, 2001; Kyngdon, 2008). За последнее десятилетие были разработаны методы с ограниченным порядком для проведения вероятностных тестов аксиом отмены совместных измерений (например, Karabatsos, 2001; Davis-Stober, 2009).
Теория совместного измерения (отличается, но) связана с совместным анализом , который является методологией статистических экспериментов, применяемой в маркетинге для оценки параметров аддитивных функций полезности. Респондентам предъявляются различные многоатрибутивные стимулы, и для измерения их предпочтений относительно представленных стимулов используются различные методы. Коэффициенты функции полезности оцениваются с использованием альтернативных инструментов на основе регрессии.
В 1930-х годах Британская ассоциация содействия развитию науки учредила Комитет Фергюсона для исследования возможности научного измерения психологических атрибутов. Британский физик и теоретик измерений Норман Роберт Кэмпбелл был влиятельным членом комитета. В своем заключительном отчете (Ferguson et al. , 1940) Кэмпбелл и Комитет пришли к выводу, что, поскольку психологические атрибуты не способны поддерживать операции конкатенации, такие атрибуты не могут быть непрерывными величинами. Следовательно, их нельзя измерить научно. Это имело важные последствия для психологии, наиболее значительным из которых стало создание в 1946 году операционной теории измерения гарвардским психологом Стэнли Смитом Стивенсом . Ненаучная теория измерения Стивенса широко считается окончательной в психологии и поведенческих науках в целом (Michell 1999) .
Хотя немецкий математик Отто Гёльдер (1901) предвидел черты теории совместного измерения, только после публикации основополагающей статьи Люса и Тьюки в 1964 году эта теория получила свое первое полное изложение. Изложение Люса и Тьюки было алгебраическим и поэтому считается более общим, чем топологическая работа Дебре (1960), последняя является частным случаем первой (Люс и Суппес 2002). В первой статье первого выпуска журнала « Journal of Mathematical Psychology» Люс и Тьюки 1964 года доказали, что с помощью теории совместного измерения можно количественно определить атрибуты, не поддающиеся конкатенации. Таким образом, было доказано, что Н. Р. Кэмпбелл и Комитет Фергюсона ошибались. То, что данный психологический атрибут является непрерывной величиной, является логически последовательной и эмпирически проверяемой гипотезой.
В следующем выпуске того же журнала появились важные статьи Даны Скотта (1964), который предложил иерархию условий сокращения для косвенной проверки разрешимости и аксиом Архимеда , и Дэвида Кранца (1964), который связал работу Люса и Тьюки с работой Гёльдера (1901).
Вскоре работа сосредоточилась на расширении теории совместного измерения, чтобы она включала более двух атрибутов. Кранц 1968 и Амос Тверски (1967) разработали то, что стало известно как полиномиальное совместное измерение , причем Кранц 1968 предоставил схему, с помощью которой можно было строить структуры совместного измерения трех или более атрибутов. Позднее теория совместного измерения (в ее двух переменных, полиномиальной и n -компонентной формах) получила тщательное и высокотехническое рассмотрение с публикацией первого тома « Основ измерения» , который Кранц, Люс, Тверски и философ Патрик Суппес написали совместно (Кранц и др., 1971).
Вскоре после публикации Krantz et al. (1971) работа была сосредоточена на разработке «теории ошибок» для теории совместных измерений. Были проведены исследования числа совместных массивов, которые поддерживали только одинарное сокращение и как одинарное, так и двойное сокращение (Arbuckle & Larimer 1976; McClelland 1977). Более поздние исследования перечислений были сосредоточены на полиномиальном совместном измерении (Karabatsos & Ullrich 2002; Ullrich & Wilson 1993). Эти исследования показали, что весьма маловероятно, что аксиомы теории совместных измерений выполняются случайным образом, при условии, что было идентифицировано более трех уровней хотя бы одного из атрибутов компонента.
Джоэл Мичелл (1988) позже определил, что класс тестов «без проверки» аксиомы двойного сокращения был пустым. Таким образом, любой случай двойного сокращения является либо принятием, либо отклонением аксиомы. Мичелл также написал в это время нетехническое введение в теорию совместного измерения (Мичелл 1990), которое также содержало схему для вывода условий сокращения более высокого порядка, основанную на работе Скотта (1964). Используя схему Мичелла, Бен Ричардс (Кингдон и Ричардс, 2007) обнаружил, что некоторые случаи аксиомы тройного сокращения являются «некогерентными», поскольку они противоречат аксиоме одинарного сокращения. Более того, он определил много случаев тройного сокращения, которые тривиально истинны, если поддерживается двойное сокращение.
Аксиомы теории совместных измерений не являются стохастическими; и, учитывая порядковые ограничения, накладываемые на данные аксиомами отмены, необходимо использовать методологию вывода с ограниченным порядком (Iverson & Falmagne 1985). Джордж Карабацос и его коллеги (Karabatsos, 2001; Karabatsos & Sheu 2004) разработали методологию Монте-Карло байесовской цепи Маркова для психометрических приложений. Карабацос и Ульрих 2002 продемонстрировали, как эту структуру можно распространить на полиномиальные совместные структуры. Карабацос (2005) обобщил эту работу с помощью своей мультиномиальной структуры Дирихле, которая позволила провести вероятностное тестирование многих нестохастических теорий математической психологии . Совсем недавно Клинтин Дэвис-Стобер (2009) разработал частотную структуру для вывода с ограниченным порядком, которая также может использоваться для проверки аксиом отмены.
Возможно, наиболее заметным (Kyngdon, 2011) применением теории совместного измерения было в теории перспектив, предложенной израильско-американскими психологами Дэниелом Канеманом и Амосом Тверски (Kahneman & Tversky, 1979). Теория перспектив была теорией принятия решений в условиях риска и неопределенности, которая объясняла поведение выбора, такое как парадокс Алле . Дэвид Кранц написал формальное доказательство теории перспектив, используя теорию совместного измерения. В 2002 году Канеман получил Нобелевскую премию по экономике за теорию перспектив (Birnbaum, 2008).
В физике и метрологии стандартное определение измерения — это оценка отношения между величиной непрерывной величины и единичной величиной того же рода (de Boer, 1994/95; Emerson, 2008). Например, утверждение «Прихожая Питера имеет длину 4 м» выражает измерение до сих пор неизвестной величины длины (длины коридора) как отношение единицы (в данном случае метра) к длине коридора. Число 4 является действительным числом в строгом математическом смысле этого термина.
Для некоторых других величин инвариантными являются соотношения между разностями атрибутов . Рассмотрим, например, температуру. В привычных повседневных случаях температура измеряется с помощью приборов, откалиброванных либо по шкале Фаренгейта, либо по шкале Цельсия. На самом деле такими приборами измеряются величины разности температур. Например, Андерс Цельсий определил единицу шкалы Цельсия как 1/100 разницы температур между точками замерзания и кипения воды на уровне моря. Измерение полуденной температуры в 20 градусов Цельсия — это просто разница полуденной температуры и температуры замерзающей воды, деленная на разницу единицы Цельсия и температуры замерзающей воды.
Формально научное измерение выражается так:
где Q — величина величины, r — действительное число, а [ Q ] — единичная величина того же рода.
Длина — это величина, для которой существуют естественные операции конкатенации. То есть, мы можем объединить бок о бок длины жестких стальных стержней, например, так, чтобы аддитивные отношения между длинами легко наблюдались. Если у нас есть четыре 1-метровых стержня такой длины, мы можем разместить их конец к концу, чтобы получить длину 4 м. Величины, способные к конкатенации, известны как экстенсивные величины и включают в себя массу, время, электрическое сопротивление и плоский угол. Они известны как базовые величины в физике и метрологии.
Температура — это величина, для которой отсутствуют операции конкатенации. Мы не можем вылить объем воды с температурой 40 °C в другое ведро с водой при 20 °C и ожидать, что получим объем воды с температурой 60 °C. Следовательно, температура — это интенсивная величина.
Психологические атрибуты, такие как температура, считаются интенсивными, поскольку не найдено способа объединения таких атрибутов. Но это не означает, что такие атрибуты не поддаются количественной оценке. Теория совместного измерения предоставляет теоретические средства для этого.
Рассмотрим два естественных атрибута A и X. Неизвестно, является ли A или X непрерывной величиной или оба они таковыми являются. Пусть a , b и c представляют три независимых идентифицируемых уровня A ; и пусть x , y и z представляют три независимых идентифицируемых уровня X. Третий атрибут, P , состоит из девяти упорядоченных пар уровней A и X. То есть, ( a , x ), ( b , y ),..., ( c , z ) (см. рисунок 1). Квантификация A , X и P зависит от поведения отношения, имеющего место на уровнях P. Эти отношения представлены в качестве аксиом в теории совместного измерения.
Аксиома одинарного сокращения выглядит следующим образом. Отношение на P удовлетворяет одинарному сокращению тогда и только тогда, когда для всех a и b в A и x в X , ( a , x ) > ( b , x ) подразумевается для каждого w в X, такого что ( a , w ) > ( b , w ). Аналогично, для всех x и y в X и a в A , ( a , x ) > ( a , y ) подразумевается для каждого d в A, такого что ( d , x ) > ( d , y ). Это означает, что если любые два уровня, a , b , упорядочены , то этот порядок сохраняется независимо от каждого уровня X. То же самое справедливо для любых двух уровней, x и y из X относительно каждого уровня A.
Единичное сокращение так называется, потому что один общий множитель двух уровней P сокращается, оставляя то же самое порядковое отношение, сохраняющееся на оставшихся элементах. Например, a сокращает неравенство ( a , x ) > ( a , y ), поскольку оно является общим для обеих сторон, оставляя x > y . Кранц и др. (1971) первоначально назвали эту аксиому независимостью , поскольку порядковое отношение между двумя уровнями атрибута не зависит от любого и всех уровней другого атрибута. Однако, учитывая, что термин независимость вызывает путаницу со статистическими концепциями независимости, предпочтительным термином является единое сокращение. Рисунок 1 представляет собой графическое представление одного случая единой отмены.
Удовлетворение аксиомы одиночного сокращения необходимо, но недостаточно для квантификации атрибутов A и X. Оно только демонстрирует, что уровни A , X и P упорядочены. Неформально, одиночное сокращение недостаточно ограничивает порядок на уровнях P для квантификации A и X. Например, рассмотрим упорядоченные пары ( a , x ), ( b , x ) и ( b , y ). Если выполняется одиночное сокращение, то ( a , x ) > ( b , x ) и ( b , x ) > ( b , y ). Следовательно, через транзитивность ( a , x ) > ( b , y ). Отношение между этими двумя последними упорядоченными парами, неформально левосторонняя диагональ , определяется удовлетворением аксиомы одиночного сокращения, как и все отношения «левосторонней диагонали» на P.
Однократное сокращение не определяет порядок "диагональных отношений с правым наклоном" на P . Хотя транзитивностью и однократным сокращением было установлено, что ( a , x ) > ( b , y ), связь между ( a , y ) и ( b , x ) остается неопределенной. Может быть, что либо ( b , x ) > ( a , y ), либо ( a , y ) > ( b , x ), и такая неоднозначность не может оставаться неразрешенной.
Аксиома двойного сокращения касается класса таких отношений на P, в которых общие члены двух предшествующих неравенств сокращаются, производя третье неравенство. Рассмотрим пример двойного сокращения, графически представленный на рисунке 2. Предшествующие неравенства этого конкретного примера двойного сокращения следующие:
и
При условии:
верно тогда и только тогда, когда и
верно тогда и только тогда, когда , то отсюда следует, что:
Отмена общих условий приводит к:
Следовательно, двойное сокращение может быть получено только тогда, когда A и X являются величинами.
Двойное сокращение выполняется тогда и только тогда, когда последующее неравенство не противоречит предшествующим неравенствам. Например, если последующее неравенство выше было:
тогда было бы нарушено двойное сокращение (Мичелл, 1988) и нельзя было бы сделать вывод, что A и X являются величинами.
Двойное сокращение касается поведения отношений «правой диагонали» на P , поскольку они логически не вытекают из одиночного сокращения. (Michell 2009) обнаружил, что когда уровни A и X приближаются к бесконечности, то число отношений правой диагонали составляет половину от общего числа отношений на P. Следовательно, если A и X являются величинами, половина числа отношений на P обусловлена порядковыми отношениями на A и X , а половина — аддитивными отношениями на A и X (Michell 2009).
Число случаев двойного сокращения зависит от числа уровней, определенных как для A , так и для X. Если имеется n уровней A и m уровней X , то число случаев двойного сокращения равно n ! × m !. Следовательно, если n = m = 3, то 3! × 3! = 6 × 6 = 36 случаев двойного сокращения в общей сложности. Однако все, кроме 6 из этих случаев, тривиально истинны, если истинно одиночное сокращение, и если любой из этих 6 случаев истинен, то все они истинны. Один из таких случаев показан на рисунке 2. (Michell 1988) называет это случаем двойного сокращения Люса–Тьюки .
Если сначала на наборе данных было проверено и установлено одиночное сокращение, то необходимо проверить только случаи двойного сокращения Люса–Тьюки. Для n уровней A и m уровня X число случаев двойного сокращения Люса–Тьюки равно . Например, если n = m = 4, то таких случаев 16. Если n = m = 5, то их 100. Чем больше число уровней в A и X , тем менее вероятно, что аксиомы сокращения выполняются случайным образом (Arbuckle & Larimer 1976; McClelland 1977) и тем более строгим испытанием количества становится применение совместного измерения.
Аксиомы простого и двойного сокращения сами по себе недостаточны для установления непрерывной величины. Для обеспечения непрерывности необходимо ввести и другие условия. Это условия разрешимости и архимедовости .
Разрешимость означает, что для любых трех элементов a , b , x и y существует четвертый, такой, что уравнение a x = b y решено, отсюда и название условия. Разрешимость по сути является требованием, чтобы каждый уровень P имел элемент в A и элемент в X. Разрешимость раскрывает кое-что об уровнях A и X — они либо плотны, как действительные числа, либо равномерно распределены, как целые числа (Krantz et al. 1971).
Условие Архимеда выглядит следующим образом. Пусть I — множество последовательных целых чисел, конечных или бесконечных, положительных или отрицательных. Уровни A образуют стандартную последовательность тогда и только тогда, когда существуют x и y в X , где x ≠ y , и для всех целых чисел i и i + 1 в I :
По сути, это означает, что если , например, x больше, чем y , то существуют уровни A , которые можно найти и которые сделают две соответствующие упорядоченные пары, уровни P , равными.
Условие Архимеда утверждает, что не существует бесконечно наибольшего уровня P , и поэтому, следовательно, не существует наибольшего уровня A или X. Это условие является определением непрерывности, данным древнегреческим математиком Архимедом , который писал, что «Далее, из неравных линий, неравных поверхностей и неравных тел большее превосходит меньшее на такую величину, которая, будучи сложенной с собой, может быть сделана превышающей любую назначенную величину среди тех, которые сравнимы друг с другом» ( О сфере и цилиндре , Книга I, Допущение 5). Архимед признавал, что для любых двух величин непрерывной величины, одна из которых меньше другой, меньшая может быть умножена на целое число так, чтобы она равнялась большей величине. Евклид сформулировал условие Архимеда как аксиому в Книге V «Начал » , в которой Евклид представил свою теорию непрерывной величины и измерения.
Поскольку они включают в себя бесконечные концепции, аксиомы разрешимости и архимедовости не поддаются прямой проверке в любой конечной эмпирической ситуации. Но это не означает, что эти аксиомы вообще не могут быть проверены эмпирически. Конечный набор условий отмены Скотта (1964) может быть использован для косвенной проверки этих аксиом; степень такой проверки определяется эмпирически. Например, если и A , и X обладают тремя уровнями, аксиома отмены наивысшего порядка в иерархии Скотта (1964), которая косвенно проверяет разрешимость и архимедовость, — это двойное сокращение. С четырьмя уровнями это тройное сокращение (рисунок 3). Если такие тесты выполнены, возможно построение стандартных последовательностей в разностях по A и X. Следовательно, эти атрибуты могут быть плотными по отношению к действительным числам или равномерно распределенными по отношению к целым числам (Krantz et al. 1971). Другими словами, A и X являются непрерывными величинами.
Удовлетворение условиям совместного измерения означает, что измерения уровней A и X могут быть выражены либо как отношения между величинами, либо как отношения между разностями величин. Чаще всего это интерпретируется как последнее, учитывая, что большинство бихевиористов считают, что их тесты и опросы «измеряют» атрибуты по так называемым «интервальным шкалам» (Kline 1998). То есть, они считают, что тесты не идентифицируют абсолютные нулевые уровни психологических атрибутов.
Формально, если P , A и X образуют аддитивную совместную структуру , то существуют функции из A и X в действительные числа такие, что для a и b в A и x и y в X :
Если и — две другие действительные функции, удовлетворяющие приведенному выше выражению, то существуют и действительные константы, удовлетворяющие:
То есть, и являются измерениями A и X, уникальными с точностью до аффинного преобразования (т.е. каждое из них является интервальной шкалой в терминологии Стивенса (1946)). Математическое доказательство этого результата приведено в (Krantz et al. 1971, стр. 261–6).
Это означает, что уровни A и X являются разностями величин, измеренными относительно некоторого вида разности единиц. Каждый уровень P является разницей между уровнями A и X. Однако из литературы неясно, как можно определить единицу в контексте аддитивного конъюнкта. Ван дер Вен 1980 предложил метод масштабирования для конъюнктных структур, но он также не обсуждал единицу.
Однако теория совместного измерения не ограничивается квантификацией различий. Если каждый уровень P является произведением уровня A и уровня X , то P является другой другой величиной, измерение которой выражается как величина A на единицу величины X. Например, A состоит из масс, а X состоит из объемов, тогда P состоит из плотностей, измеренных как масса на единицу объема. В таких случаях, по-видимому, один уровень A и один уровень X должны быть идентифицированы как предварительная единица до применения совместного измерения.
Если каждый уровень P является суммой уровня A и уровня X , то P является той же величиной, что и A и X. Например, A и X являются длинами, поэтому должно быть P. Все три, следовательно, должны быть выражены в одной и той же единице. В таких случаях, по-видимому, уровень A или X должен быть предварительно определен как единица. Следовательно, по-видимому, применение совместного измерения требует некоторой предварительной описательной теории соответствующей естественной системы.
Эмпирические приложения теории совместных измерений немногочисленны (Клифф, 1992; Мичелл, 2009).
Было проведено несколько эмпирических оценок двойного погашения. Среди них Levelt, Riemersma & Bunt 1972 оценили аксиому психофизики бинауральной громкости. Они обнаружили, что аксиома двойного погашения была отвергнута. Gigerenzer & Strube 1983 провели похожее исследование и повторили выводы Levelt, et al. (1972). Gigerenzer & Strube 1983 заметили, что оценка двойного погашения включает в себя значительную избыточность, которая усложняет ее эмпирическую проверку. Поэтому Steingrimsson & Luce 2005 оценили вместо этого эквивалентную аксиому условия Томсена, которая избегает этой избыточности, и обнаружили, что свойство поддерживается бинауральной громкостью. Luce & Steingrimsson 2011, обобщили литературу на тот момент, включая наблюдение, что оценка условия Томсена также включает в себя эмпирическую проблему, которую они считают исправленной аксиомой совместной коммутативности, которая, как они показывают, эквивалентна условию Томсена. Luce & Steingrimsson 2011 обнаружили, что совместная коммутативность поддерживается для бинауральной громкости и яркости.
Michell 1990 применил теорию к теории парных сравнений LL Thurstone (1927), многомерному шкалированию и теории одномерного развертывания Coombs' (1964). Он нашел поддержку аксиом отмены только в теории Coombs' (1964). Однако статистические методы, использованные Michell (1990) при проверке теории Thurstone и многомерного шкалирования, не учитывали порядковые ограничения, налагаемые аксиомами отмены (van der Linden 1994).
(Johnson 2001), Kyngdon (2006), Michell (1994) и (Sherman 1993) проверили аксиомы отмены на межстимульных средних порядках, полученных с использованием теории одномерного развертывания Кумбса (1964). Теория Кумбса во всех трех исследованиях применялась к набору из шести утверждений. Эти авторы обнаружили, что аксиомы были удовлетворены, однако эти приложения были смещены в сторону положительного результата. При шести стимулах вероятность того, что межстимульный средний порядок удовлетворяет двойным аксиомам отмены, составляет .5874 (Michell, 1994). Это не маловероятное событие. Kyngdon & Richards (2007) использовали восемь утверждений и обнаружили, что межстимульные средние порядки отвергают условие двойной отмены.
Perline, Wright & Wainer 1979 применили совместное измерение к данным ответов на вопросы анкеты условно-досрочного освобождения осужденных и к данным теста на интеллект, собранным в датских войсках. Они обнаружили значительное нарушение аксиом отмены в данных анкеты условно-досрочного освобождения, но не в данных теста на интеллект. Более того, они зафиксировали предполагаемые случаи "без теста" двойной отмены. Интерпретируя их правильно как случаи в поддержку двойной отмены (Michell, 1988), результаты Perline, Wright & Wainer 1979 лучше, чем они считали.
Stankov & Cregan 1993 применили совместное измерение к производительности в задачах по завершению последовательности. Столбцы их совместных массивов ( X ) были определены спросом, предъявляемым к объему рабочей памяти посредством увеличения числа хранителей мест рабочей памяти в задачах по завершению серий букв. Строки были определены уровнями мотивации ( A ), которые состояли из различного количества времени, доступного для завершения теста. Их данные ( P ) состояли из времени завершения и среднего количества правильных серий. Они нашли поддержку аксиом отмены, однако их исследование было смещено из-за небольшого размера совместных массивов (размер 3 × 3) и статистических методов, которые не принимали во внимание порядковые ограничения, налагаемые аксиомами отмены.
Кингдон (2011) использовал структуру вывода с ограничением порядка Карабатсоса (2001) для проверки объединенной матрицы пропорций ответов на задания по чтению ( P ), где способность к чтению испытуемого включала строки объединенного массива ( A ), а сложность заданий по чтению формировала столбцы массива ( X ). Уровни способности к чтению были определены с помощью сырого общего балла теста, а уровни сложности заданий по чтению были определены с помощью Lexile Framework for Reading (Stenner et al. 2006). Кингдон обнаружил, что удовлетворение аксиом отмены было получено только путем перестановки матрицы способом, несовместимым с предполагаемыми мерами Lexile сложности заданий. Кингдон также проверил данные ответов на смоделированные тесты способностей с использованием полиномиального объединенного измерения. Данные были получены с использованием расширенной системы отсчета модели Раша Хамфри (Humphry & Andrich 2008). Он нашел подтверждение дистрибутивному, одинарному и двойному сокращению, согласующемуся с дистрибутивной полиномиальной совместной структурой от трех переменных (Кранц и Тверски, 1971).
![{\displaystyle Q=r\times [Q]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9a384ad8e253850e529c408f7dceb506e0ad571b)
