Аддитивная теория чисел — это подраздел теории чисел , занимающийся изучением подмножеств целых чисел и их поведения при сложении . Более абстрактно, область аддитивной теории чисел включает изучение абелевых групп и коммутативных полугрупп с операцией сложения. Аддитивная теория чисел тесно связана с комбинаторной теорией чисел и геометрией чисел . Два основных объекта изучения — это сумма двух подмножеств A и B элементов из абелевой группы G ,
и h-кратная сумма A ,
Область в основном посвящена рассмотрению прямых проблем над (обычно) целыми числами, то есть определению структуры hA из структуры A : например, определению того, какие элементы могут быть представлены в виде суммы из hA , где A — фиксированное подмножество. [1] Две классические проблемы этого типа — это гипотеза Гольдбаха (которая является гипотезой о том, что 2 P содержит все четные числа, большие двух, где P — множество простых чисел ) и проблема Варинга (которая спрашивает, насколько большим должно быть h , чтобы гарантировать, что hA k содержит все положительные целые числа, где
— множество k-х степеней). Многие из этих проблем изучаются с использованием инструментов из метода круга Харди-Литтлвуда и методов решета . Например, Виноградов доказал, что каждое достаточно большое нечетное число является суммой трех простых чисел, и поэтому каждое достаточно большое четное целое число является суммой четырех простых чисел. Гильберт доказал, что для каждого целого числа k > 1 каждое неотрицательное целое число является суммой ограниченного числа k -х степеней. В общем случае множество A неотрицательных целых чисел называется базисом порядка h, если hA содержит все положительные целые числа, и оно называется асимптотическим базисом, если hA содержит все достаточно большие целые числа. Многие современные исследования в этой области касаются свойств общих асимптотических базисов конечного порядка. Например, множество A называется минимальным асимптотическим базисом порядка h, если A является асимптотическим базисом порядка h, но никакое собственное подмножество A не является асимптотическим базисом порядка h . Было доказано, что минимальные асимптотические базисы порядка h существуют для всех h , и что также существуют асимптотические базисы порядка h , которые не содержат минимальных асимптотических базисов порядка h . Другой вопрос, который следует рассмотреть, — насколько малым может быть число представлений n в виде суммы h элементов в асимптотическом базисе. Это содержание гипотезы Эрдёша–Турана об аддитивных базисах .
