Аддитивная функция

Функция, которую можно записать в виде суммы простых множителей

В теории чиселАддитивная функция — это арифметическая функция f ( n ) положительной целой переменной n такая, что всякий раз, когда a и b взаимно просты , функция, примененная к произведению ab, является суммой значений функции, примененной к a и b : ^[1] $${\displaystyle f(ab)=f(a)+f(b).}$$

Полностью аддитивный

Аддитивная функция f ( n ) называется полностью аддитивной, если выполняется для всех положительных целых чисел a и b , даже если они не являются взаимно простыми. Полностью аддитивная функция также используется в этом смысле по аналогии с полностью мультипликативными функциями. Если f — полностью аддитивная функция, то f (1) = 0. ${\displaystyle f(ab)=f(a)+f(b)}$

Каждая полностью аддитивная функция является аддитивной, но не наоборот.

Примеры

Примерами арифметических функций, которые являются полностью аддитивными, являются:

• Ограничение логарифмической функции до ${\displaystyle \mathbb {N} .}$
• Кратность простого множителя p в n , то есть наибольшая степень m, при которой p ^m делит n .
• a ₀ ( n ) – сумма простых чисел, делящихся на n с учетом кратности, иногда называемая sopfr( n ), степень n или целочисленный логарифм n (последовательность A001414 в OEIS ). Например:

а ₀ (4) = 2 + 2 = 4

а ₀ (20) = а ₀ (2 ² · 5) = 2 + 2 + 5 = 9

а ₀ (27) = 3 + 3 + 3 = 9

а ₀ (144) = а ₀ (2 ⁴ · 3 ² ) = а ₀ (2 ⁴ ) + а ₀ (3 ² ) = 8 + 6 = 14

а ₀ (2000) = а ₀ (2 ⁴ · 5 ³ ) = а ₀ (2 ⁴ ) + а ₀ (5 ³ ) = 8 + 15 = 23

а ₀ (2003) = 2003

а ₀ (54 032 858 972 279) = 1240658

а ₀ (54 032 858 972 302) = 1780417

а ₀ (20,802,650,704,327,415) = 1240681

• Функция Ω( n ), определяемая как общее количество простых множителей n , подсчитывающая множественные множители несколько раз, иногда называется «Большой Омега-функцией» (последовательность A001222 в OEIS ). Например;

Ω(1) = 0, так как 1 не имеет простых множителей

Ω(4) = 2

Ω(16) = Ω(2·2·2·2) = 4

Ω(20) = Ω(2·2·5) = 3

Ω(27) = Ω(3·3·3) = 3

Ом(144) = Ом(2 ⁴ · 3 ² ) = Ом(2 ⁴ ) + Ом(3 ² ) = 4 + 2 = 6

Ом(2000) = Ом(24 ^· 53 ⁾ = Ом(24 ⁾ + Ом( ⁵³ ) = 4 + 3 = 7

Ω(2001) = 3

Ω(2002) = 4

Ω(2003) = 1

Ом(54032858972279) = Ом(11 ⋅ 1993 ² ⋅ 1236661) = 4;

Ом(54032858972302) = Ом(2 ⋅ 7 ² ⋅ 149 ⋅ 2081 ⋅ 1778171) = 6

Ом(20,802,650,704,327,415) = Ом(5 ⋅ 7 ⋅ 11 ² ⋅ 1993 ² ⋅ 1236661) = 7.

Примерами арифметических функций, которые являются аддитивными, но не полностью аддитивными, являются:

• ω( n ), определяемое как общее количество различных простых множителей n (последовательность A001221 в OEIS ). Например :

ω(4) = 1

ω(16) = ω(2 ⁴ ) = 1

ω(20) = ω(2 ² · 5) = 2

ω(27) = ω(3 ³ ) = 1

ω(144) = ω(2 ⁴ · 3 ² ) = ω(2 ⁴ ) + ω(3 ² ) = 1 + 1 = 2

ω(2000) = ω(2 ⁴ · 5 ³ ) = ω(2 ⁴ ) + ω(5 ³ ) = 1 + 1 = 2

ω(2001) = 3

ω(2002) = 4

ω(2003) = 1

ω(54,032,858,972,279) = 3

ω(54,032,858,972,302) = 5

ω(20 802 650 704 327 415) = 5

• a ₁ ( n ) – сумма различных простых чисел, делящих n , иногда называемая sopf( n ) (последовательность A008472 в OEIS ). Например:

а ₁ (1) = 0

а ₁ (4) = 2

а ₁ (20) = 2 + 5 = 7

а ₁ (27) = 3

а ₁ (144) = а ₁ (2 ⁴ · 3 ² ) = а ₁ (2 ⁴ ) + а ₁ (3 ² ) = 2 + 3 = 5

а ₁ (2000) = а ₁ (2 ⁴ · 5 ³ ) = а ₁ (2 ⁴ ) + а ₁ (5 ³ ) = 2 + 5 = 7

а ₁ (2001) = 55

а ₁ (2002) = 33

а ₁ (2003) = 2003

а ₁ (54,032,858,972,279) = 1238665

а ₁ (54,032,858,972,302) = 1780410

а ₁ (20,802,650,704,327,415) = 1238677

Мультипликативные функции

Из любой аддитивной функции можно создать связанную мультипликативную функцию , которая является функцией со свойством, что всякий раз, когда и взаимно просты, то: Один из таких примеров — Аналогично, если полностью аддитивна, то полностью мультипликативная. В более общем случае мы могли бы рассмотреть функцию , где — ненулевая действительная константа. ${\displaystyle f(n)}$ ${\displaystyle g(n),}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ $${\displaystyle g(ab)=g(a)\times g(b).}$$ ${\displaystyle g(n)=2^{f(n)}.}$ ${\displaystyle f(n)}$ ${\displaystyle g(n)=2^{f(n)}}$ ${\displaystyle g(n)=c^{f(n)}}$ ${\displaystyle c}$

Сумматорные функции

Дана аддитивная функция , пусть ее сумматорная функция определяется как . Среднее значение задается точно так же, как ${\displaystyle f}$ ${\textstyle {\mathcal {M}}_{f}(x):=\sum _{n\leq x}f(n)}$ ${\displaystyle f}$ $${\displaystyle {\mathcal {M}}_{f}(x)=\sum _{p^{\alpha }\leq x}f(p^{\alpha })\left(\left\lfloor {\frac {x}{p^{\alpha }}}\right\rfloor -\left\lfloor {\frac {x}{p^{\alpha +1}}}\right\rfloor \right).}$$

Сумматорные функции по можно разложить следующим образом: ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle {\mathcal {M}}_{f}(x)=xE(x)+O({\sqrt {x}}\cdot D(x))}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}E(x)&=\sum _{p^{\alpha }\leq x}f(p^{\alpha })p^{-\alpha }(1-p^{-1})\\D^{2}(x)&=\sum _{p^{\alpha }\leq x}|f(p^{\alpha })|^{2}p^{-\alpha }.\end{aligned}}}$$

Среднее значение функции также выражается этими функциями как ${\displaystyle f^{2}}$ $${\displaystyle {\mathcal {M}}_{f^{2}}(x)=xE^{2}(x)+O(xD^{2}(x)).}$$

Всегда существует абсолютная константа такая, что для всех натуральных чисел , ${\displaystyle C_{f}>0}$ ${\displaystyle x\geq 1}$ $${\displaystyle \sum _{n\leq x}|f(n)-E(x)|^{2}\leq C_{f}\cdot xD^{2}(x).}$$

Позволять $${\displaystyle \nu (x;z):={\frac {1}{x}}\#\!\left\{n\leq x:{\frac {f(n)-A(x)}{B(x)}}\leq z\right\}\!.}$$

Предположим, что — аддитивная функция с такой, что , ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle -1\leq f(p^{\alpha })=f(p)\leq 1}$ ${\displaystyle x\rightarrow \infty }$ $${\displaystyle B(x)=\sum _{p\leq x}f^{2}(p)/p\rightarrow \infty .}$$

Тогда где находится функция распределения Гаусса ${\displaystyle \nu (x;z)\sim G(z)}$ ${\displaystyle G(z)}$ $${\displaystyle G(z)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{z}e^{-t^{2}/2}dt.}$$

Примеры этого результата, связанные с простой омега-функцией и числами простых делителей сдвинутых простых чисел, включают следующие для фиксированных значений , где соотношения справедливы для : ${\displaystyle z\in \mathbb {R} }$ ${\displaystyle x\gg 1}$ $${\displaystyle \#\{n\leq x:\omega (n)-\log \log x\leq z(\log \log x)^{1/2}\}\sim xG(z),}$$ $${\displaystyle \#\{p\leq x:\omega (p+1)-\log \log x\leq z(\log \log x)^{1/2}\}\sim \pi (x)G(z).}$$

Смотрите также

• Сигма-аддитивность
• Основная омега-функция
• Мультипликативная функция
• Арифметическая функция

Ссылки

1. Эрдёш, П. и М. Кац. О гауссовом законе ошибок в теории аддитивных функций. Proc Natl Acad Sci USA. 1939 Апрель; 25(4): 206–207. онлайн

Дальнейшее чтение

• Янко Брачич, Колобар арифметических функций ( Кольцо арифметических функций ), (Обзорник мат, физ. 49 (2002) 4, стр. 97–108) (MSC (2000) 11A25)
• Иванец и Ковальски, Аналитическая теория чисел , AMS (2004).