Сигма-аддитивная функция множества

Функция картирования

В математике аддитивная функция множеств — это функция, отображающая множества в числа, со свойством, что ее значение на объединении двух непересекающихся множеств равно сумме ее значений на этих множествах, а именно, Если это свойство аддитивности выполняется для любых двух множеств, то оно также выполняется для любого конечного числа множеств, а именно, значение функции на объединении k непересекающихся множеств (где k — конечное число) равно сумме ее значений на множествах. Поэтому аддитивная функция множеств также называется конечно-аддитивной функцией множеств (термины эквивалентны). Однако конечно-аддитивная функция множеств может не обладать свойством аддитивности для объединения бесконечного числа множеств. σ-аддитивная функция множеств — это функция, которая обладает свойством аддитивности даже для счетного бесконечного числа множеств, то есть, ${\textstyle \mu }$ ${\textstyle \mu (A\cup B)=\mu (A)+\mu (B).}$ ${\textstyle \mu \left(\bigcup _{n=1}^{\infty }A_{n}\right)=\sum _{n=1}^{\infty }\mu (A_{n}).}$

Аддитивность и сигма-аддитивность являются особенно важными свойствами мер . Они являются абстракциями того, как интуитивные свойства размера ( длина , площадь , объем ) множества суммируются при рассмотрении нескольких объектов. Аддитивность является более слабым условием, чем σ-аддитивность; то есть σ-аддитивность подразумевает аддитивность.

Термин «модульная функция множества» эквивалентен термину «аддитивная функция множества»; см. модульность ниже.

Аддитивные (или конечно-аддитивные) функции множеств

Пусть — функция множеств, определенная на алгебре множеств со значениями в (см. расширенную вещественную числовую прямую ). Функция называется ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \scriptstyle {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle [-\infty ,\infty ]}$ ${\displaystyle \mu }$добавка иликонечно аддитивно , если всякий раз, когдаиявляютсянепересекающимися множествами,то Следствием этого является то, что аддитивная функция не может принимать обаи, поскольку выражениене определено. ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle \scriptstyle {\mathcal {A}},}$ $${\displaystyle \mu (A\cup B)=\mu (A)+\mu (B).}$$ ${\displaystyle -\infty }$ ${\displaystyle +\infty }$ ${\displaystyle \infty -\infty }$

С помощью математической индукции можно доказать , что аддитивная функция удовлетворяет для любых непересекающихся множеств в $${\displaystyle \mu \left(\bigcup _{n=1}^{N}A_{n}\right)=\sum _{n=1}^{N}\mu \left(A_{n}\right)}$$ ${\displaystyle A_{1},A_{2},\ldots ,A_{N}}$ ${\textstyle {\mathcal {A}}.}$

σ-аддитивные функции множеств

Предположим, что является σ-алгеброй . Если для любой последовательности попарно непересекающихся множеств в выполняется то называется счетно-аддитивной или 𝜎-аддитивной . Каждая 𝜎-аддитивная функция является аддитивной, но не наоборот, как показано ниже. ${\displaystyle \scriptstyle {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle A_{1},A_{2},\ldots ,A_{n},\ldots }$ ${\displaystyle \scriptstyle {\mathcal {A}},}$ $${\displaystyle \mu \left(\bigcup _{n=1}^{\infty }A_{n}\right)=\sum _{n=1}^{\infty }\mu (A_{n}),}$$ ${\displaystyle \mu }$

τ-аддитивные функции множеств

Предположим, что в дополнение к сигма-алгебре у нас есть топология Если для каждого направленного семейства измеримых открытых множеств мы говорим, что является -аддитивной. В частности, если является внутренней регулярной (относительно компактных множеств), то она является τ-аддитивной. ^[1] ${\textstyle {\mathcal {A}},}$ ${\displaystyle \tau .}$ ${\textstyle {\mathcal {G}}\subseteq {\mathcal {A}}\cap \tau ,}$ $${\displaystyle \mu \left(\bigcup {\mathcal {G}}\right)=\sup _{G\in {\mathcal {G}}}\mu (G),}$$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle \mu }$

Характеристики

Полезные свойства аддитивной функции множества включают в себя следующее. ${\displaystyle \mu }$

Значение пустого множества

Либо или присваивает всем множествам в своей области, либо присваивает всем множествам в своей области. Доказательство : аддитивность подразумевает, что для каждого множества Если то это равенство может быть выполнено только плюс или минус бесконечность. ${\displaystyle \mu (\varnothing )=0,}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \infty }$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle -\infty }$ ${\displaystyle A,}$ ${\displaystyle \mu (A)=\mu (A\cup \varnothing )=\mu (A)+\mu (\varnothing ).}$ ${\displaystyle \mu (\varnothing )\neq 0,}$

Монотонность

Если неотрицательно и тогда То есть, является ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle A\subseteq B}$ ${\displaystyle \mu (A)\leq \mu (B).}$ ${\displaystyle \mu }$Монотонная функция множества . Аналогично, еслинеположительно итогда ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle A\subseteq B}$ ${\displaystyle \mu (A)\geq \mu (B).}$

Модульность

Функция множества на семействе множеств называется ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$модульная функция набора иоценка, если всякий раз,иявляются элементами,то Вышеуказанное свойство называется ${\displaystyle A,}$ ${\displaystyle B,}$ ${\displaystyle A\cup B,}$ ${\displaystyle A\cap B}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}},}$ $${\displaystyle \phi (A\cup B)+\phi (A\cap B)=\phi (A)+\phi (B)}$$модульность и приведенный ниже аргумент доказывает, что аддитивность подразумевает модульность.

Дано и Доказательство : записать и и где все множества в объединении не пересекаются. Аддитивность подразумевает, что обе стороны равенства равны ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B,}$ ${\displaystyle \mu (A\cup B)+\mu (A\cap B)=\mu (A)+\mu (B).}$ ${\displaystyle A=(A\cap B)\cup (A\setminus B)}$ ${\displaystyle B=(A\cap B)\cup (B\setminus A)}$ ${\displaystyle A\cup B=(A\cap B)\cup (A\setminus B)\cup (B\setminus A),}$ ${\displaystyle \mu (A\setminus B)+\mu (B\setminus A)+2\mu (A\cap B).}$

Однако связанные с ними свойства субмодулярности и субаддитивности не эквивалентны друг другу.

Обратите внимание, что модульность имеет другое и не связанное с этим значение в контексте сложных функций; см. модульную форму .

Установить разницу

Если и определено, то ${\displaystyle A\subseteq B}$ ${\displaystyle \mu (B)-\mu (A)}$ ${\displaystyle \mu (B\setminus A)=\mu (B)-\mu (A).}$

Примеры

Примером 𝜎-аддитивной функции является функция, определенная над множеством действительных чисел , такая что ${\displaystyle \mu }$ $${\displaystyle \mu (A)={\begin{cases}1&{\mbox{ if }}0\in A\\0&{\mbox{ if }}0\notin A.\end{cases}}}$$

Если — последовательность непересекающихся множеств действительных чисел, то либо ни одно из множеств не содержит 0, либо ровно одно из них содержит. В любом случае равенство выполняется. ${\displaystyle A_{1},A_{2},\ldots ,A_{n},\ldots }$ $${\displaystyle \mu \left(\bigcup _{n=1}^{\infty }A_{n}\right)=\sum _{n=1}^{\infty }\mu (A_{n})}$$

Дополнительные примеры 𝜎-аддитивных функций см. в разделах мера и знаковая мера .

Заряд определяется как конечно-аддитивная функция множества, которая отображается в ^[2] (Сравните с пространством ba для информации об ограниченных зарядах, где мы говорим, что заряд ограничен , подразумевая, что его диапазон является ограниченным подмножеством R .) ${\displaystyle \varnothing }$ ${\displaystyle 0.}$

Аддитивная функция, которая не является σ-аддитивной

Пример аддитивной функции, которая не является σ-аддитивной, получается при рассмотрении , определенной над множествами Лебега действительных чисел формулой , где обозначает меру Лебега и предел Банаха . Она удовлетворяет и если тогда ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ $${\displaystyle \mu (A)=\lim _{k\to \infty }{\frac {1}{k}}\cdot \lambda (A\cap (0,k)),}$$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \lim }$ ${\displaystyle 0\leq \mu (A)\leq 1}$ ${\displaystyle \sup A<\infty }$ ${\displaystyle \mu (A)=0.}$

Можно проверить, что эта функция аддитивна, используя линейность предела. То, что эта функция не является σ-аддитивной, следует из рассмотрения последовательности непересекающихся множеств для Объединение этих множеств является положительными вещественными числами , и применено к объединению, то есть единица, тогда как применено к любому из отдельных множеств равно нулю, поэтому сумма также равна нулю, что доказывает контрпример. $${\displaystyle A_{n}=[n,n+1)}$$ ${\displaystyle n=0,1,2,\ldots }$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \mu (A_{n})}$

Обобщения

Можно определить аддитивные функции со значениями в любом аддитивном моноиде (например, в любой группе или, что более распространено, в векторном пространстве ). Для сигма-аддитивности необходимо, чтобы на этом множестве было определено понятие предела последовательности . Например, спектральные меры являются сигма-аддитивными функциями со значениями в банаховой алгебре . Другим примером, также из квантовой механики, является положительная операторно-значная мера .

Смотрите также

• Аддитивное отображение  – гомоморфизм Z-модуля
• Теорема Хана–Колмогорова  – Теорема, распространяющая предмеры на мерыPages displaying short descriptions of redirect targets
• Мера (математика)  – Обобщение массы, длины, площади и объема.
• σ-конечная мера  – Концепция в теории меры
• Знаковая мера  – Обобщенное понятие меры в математике
• Субмодулярная функция множества  – отображение множества в действительное с убывающей доходностью
• Функция субаддитивного множества
• τ-аддитивность
• ba-пространство – множество ограниченных зарядов на заданной сигма-алгебре

В данной статье использованы материалы с сайта PlanetMath , лицензированные по лицензии Creative Commons Attribution/Share-Alike License .

Ссылки

1. DH Fremlin Теория меры, Том 4 , Torres Fremlin, 2003.
2. Бхаскара Рао, КПС; Бхаскара Рао, М. (1983). Теория зарядов: исследование конечно-аддитивных мер. Лондон: Академическая пресса. п. 35. ISBN 0-12-095780-9. OCLC  21196971.