Аддитивная идентичность

Значение, которое не меняется при добавлении

В математике аддитивное тождество множества , снабженное операцией сложения , — это элемент , который при добавлении к любому элементу x в множестве дает x . Одним из наиболее известных аддитивных тождеств является число из элементарной математики , но аддитивные тождества встречаются и в других математических структурах, где определено сложение, например, в группах и кольцах .

Элементарные примеры

• Аддитивное тождество, знакомое из элементарной математики, равно нулю и обозначается 0. Например,

  ${\displaystyle 5+0=5=0+5.}$

• В натуральных числах ⁠ ⁠ ${\displaystyle \mathbb {N} }$ (если включен 0), целых числах ⁠ ⁠, ${\displaystyle \mathbb {Z} ,}$ рациональных числах ⁠ ⁠, ${\displaystyle \mathbb {Q} ,}$ действительных числах ⁠ ⁠ ${\displaystyle \mathbb {R} ,}$ и комплексных числах ⁠ ⁠ ${\displaystyle \mathbb {C} ,}$ аддитивное тождество равно 0. Это говорит о том, что для числа n, принадлежащего любому из этих множеств,

  ${\displaystyle n+0=n=0+n.}$

Формальное определение

Пусть N — группа , замкнутая относительно операции сложения , обозначаемой + . Аддитивная единица для N , обозначаемая e , — это элемент в N такой, что для любого элемента n в N ,

${\displaystyle e+n=n=n+e.}$

Дополнительные примеры

• В группе аддитивная единица является элементом идентичности группы, часто обозначается как 0 и является уникальной (доказательство см. ниже).
• Кольцо или поле — это группа , подчиняющаяся операции сложения, и, таким образом, они также имеют уникальное аддитивное тождество 0. Оно определяется как отличное от мультипликативного тождества 1 , если кольцо (или поле) имеет более одного элемента. Если аддитивное тождество и мультипликативное тождество совпадают, то кольцо тривиально (доказано ниже).
• В кольце M _{m × n} ( R ) матриц размера m на n над кольцом R аддитивное тождество — это нулевая матрица, ^[1] обозначаемая O или 0 , и является матрицей размера m на n , элементы которой полностью состоят из единичного элемента 0 в R . Например, в матрицах размера 2 × 2 над целыми числами ⁠ ⁠ аддитивное тождество равно ${\displaystyle \operatorname {M} _{2}(\mathbb {Z} )}$

  ${\displaystyle 0={\begin{bmatrix}0&0\\0&0\end{bmatrix}}}$

• В кватернионах 0 является аддитивной единицей.
• В кольце функций из ⁠ ⁠ ${\displaystyle \mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ функция, отображающая каждое число в 0, является аддитивным тождеством.
• В аддитивной группе векторов в ⁠ ⁠ начало координат или нулевой вектор является аддитивной единицей. ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n},}$

Характеристики

Аддитивная идентичность уникальна в группе

Пусть ( G , +) — группа, и пусть 0 и 0' в G обозначают аддитивные тождества, поэтому для любого g в G ,

${\displaystyle 0+g=g=g+0,\qquad 0'+g=g=g+0'.}$

Из вышесказанного следует, что

${\displaystyle {\color {green}0'}={\color {green}0'}+0=0'+{\color {red}0}={\color {red}0}.}$

Аддитивное тождество уничтожает элементы кольца

В системе с операцией умножения, которая распределяется по сложению, аддитивное тождество является мультипликативным поглощающим элементом , что означает, что для любого s в S , s · 0 = 0. Это следует из того, что:

${\displaystyle {\begin{aligned}s\cdot 0&=s\cdot (0+0)=s\cdot 0+s\cdot 0\\\Rightarrow s\cdot 0&=s\cdot 0-s\cdot 0\\\Rightarrow s\cdot 0&=0.\end{aligned}}}$

Аддитивные и мультипликативные тождества различны в нетривиальном кольце

Пусть R — кольцо и предположим, что аддитивное тождество 0 и мультипликативное тождество 1 равны, т. е. 0 = 1. Пусть r — любой элемент кольца R. Тогда

${\displaystyle r=r\times 1=r\times 0=0}$

доказывая, что R тривиально, т.е. R = {0}. Таким образом, показано контрапозитивное утверждение , что если R нетривиально, то 0 не равен 1.

Смотрите также

• 0 (число)
• Аддитивная обратная
• Элемент идентичности
• Мультипликативная идентичность

Ссылки

1. Weisstein, Eric W. "Аддитивное тождество". mathworld.wolfram.com . Получено 2020-09-07 .

Библиография

• Дэвид С. Даммит, Ричард М. Фут, Абстрактная алгебра , Wiley (3-е изд.): 2003, ISBN 0-471-43334-9 . 

Внешние ссылки

• Уникальность аддитивной идентичности в кольце на PlanetMath .