Функция, которую можно записать в виде суммы по простым множителям
В теории чиселАддитивная функция — это арифметическая функция f ( n ) положительной целочисленной переменной n такая, что всякий раз, когда a и b взаимно просты , функция, применяемая к продукту ab , представляет собой сумму значений функции, примененной к a и b : [1]
![{\ displaystyle f (ab) = f (a) + f (b).}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Полностью аддитивный
Аддитивная функция f ( n ) называется полностью аддитивной , если она справедлива для всех натуральных чисел a и b , даже если они не взаимно просты. Тотально аддитивные функции также используются в этом смысле по аналогии с вполне мультипликативными функциями. Если f — вполне аддитивная функция, то f (1) = 0.![{\ displaystyle f (ab) = f (a) + f (b)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Любая полностью аддитивная функция является аддитивной, но не наоборот.
Примеры
Примеры полностью аддитивных арифметических функций:
- Ограничение логарифмической функции на
![{\displaystyle \mathbb {N} .}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
- Кратность простого множителя p в n , то есть наибольшая экспонента m , на которую pm делит n .
- a 0 ( n ) – сумма простых чисел, делящих n с учетом кратности, иногда называемая sopfr( n ), эффективность n или целый логарифм n (последовательность A001414 в OEIS ). Например:
- а 0 (4) = 2 + 2 = 4
- а 0 (20) = а 0 (2 2 · 5) = 2 + 2 + 5 = 9
- а 0 (27) = 3 + 3 + 3 = 9
- а 0 (144) знак равно а 0 (2 4 · 3 2 ) знак равно а 0 (2 4 ) + а 0 (3 2 ) знак равно 8 + 6 = 14
- а 0 (2000) = а 0 (2 4 · 5 3 ) = а 0 (2 4 ) + а 0 (5 3 ) = 8 + 15 = 23
- а 0 (2003) = 2003
- а 0 (54 032 858 972 279) = 1240658
- а 0 (54 032 858 972 302) = 1780417
- а 0 (20 802 650 704 327 415) = 1240681
- Функция Ω( n ), определяемая как общее количество простых множителей n , учитывающая несколько множителей несколько раз, иногда называется «функцией Большой Омеги» (последовательность A001222 в OEIS ). Например;
- Ω(1) = 0, так как 1 не имеет простых множителей
- Ом(4) = 2
- Ом(16) = Ом(2·2·2·2) = 4
- Ом(20) = Ом(2·2·5) = 3
- Ом(27) = Ом(3·3·3) = 3
- Ом(144) = Ом(2 4 · 3 2 ) = Ом(2 4 ) + Ом(3 2 ) = 4 + 2 = 6
- Ом(2000) = Ом(24 · 53 ) = Ом(24 ) + Ом(53 ) = 4 + 3 = 7
- Ом(2001) = 3
- Ом(2002) = 4
- Ом(2003) = 1
- Ом(54032858972279) = Ом(11 ⋅ 1993 2 ⋅ 1236661) = 4;
- Ом(54032858972302) = Ом(2 ⋅ 7 2 ⋅ 149 ⋅ 2081 ⋅ 1778171) = 6
- Ом(20,802,650,704,327,415) = Ом(5 ⋅ 7 ⋅ 11 2 ⋅ 1993 2 ⋅ 1236661) = 7.
Примеры арифметических функций, которые являются аддитивными, но не полностью аддитивными:
- ω( n ), определяемый как общее количество различных простых делителей числа n (последовательность A001221 в OEIS ). Например:
- ω(4) = 1
- ω(16) = ω(2 4 ) = 1
- ω(20) = ω(2 2 · 5) = 2
- ω(27) = ω(33 ) = 1
- ω(144) = ω(2 4 · 3 2 ) = ω(2 4 ) + ω(3 2 ) = 1 + 1 = 2
- ω(2000) = ω(2 4 · 5 3 ) = ω(2 4 ) + ω(5 3 ) = 1 + 1 = 2
- ω(2001) = 3
- ω(2002) = 4
- ω(2003) = 1
- ω(54 032 858 972 279) = 3
- ω(54 032 858 972 302) = 5
- ω(20 802 650 704 327 415) = 5
- a 1 ( n ) – сумма различных простых чисел, делящих n , иногда называемая sopf( n ) (последовательность A008472 в OEIS ). Например:
- а 1 (1) = 0
- а 1 (4) = 2
- а 1 (20) = 2 + 5 = 7
- а 1 (27) = 3
- а 1 (144) знак равно а 1 (2 4 · 3 2 ) знак равно а 1 (2 4 ) + а 1 (3 2 ) знак равно 2 + 3 = 5
- а 1 (2000) = а 1 (2 4 · 5 3 ) = а 1 (2 4 ) + а 1 (5 3 ) = 2 + 5 = 7
- а 1 (2001) = 55
- а 1 (2002) = 33
- а 1 (2003 г.) = 2003 г.
- а 1 (54 032 858 972 279) = 1238665
- а 1 (54 032 858 972 302) = 1780410
- а 1 (20 802 650 704 327 415) = 1238677
Мультипликативные функции
Из любой аддитивной функции можно создать связанную мультипликативную функцию , которая представляет собой функцию со свойством, что всякий раз, когда и взаимно простые, тогда:
![{\ displaystyle g (n),}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle а}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle б}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\ displaystyle g (ab) = g (a) \ times g (b).}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle g(n)=2^{f(n)}.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Сумматорные функции
Учитывая аддитивную функцию , пусть ее суммирующая функция определяется формулой . Среднее значение дается точно так же, как![{\displaystyle е}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\textstyle {\mathcal {M}}_{f}(x):=\sum _{n\leq x}f(n)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle е}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle {\mathcal {M}}_{f}(x)=\sum _{p^{\alpha }\leq x}f(p^{\alpha })\left(\left\lfloor {\ frac {x}{p^{\alpha }}}\right\rfloor -\left\lfloor {\frac {x}{p^{\alpha +1}}}\right\rfloor \right).}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Суммирующие функции могут быть расширены следующим образом: где![{\displaystyle е}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle {\mathcal {M}}_{f}(x)=xE(x)+O({\sqrt {x}}\cdot D(x))}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle {\begin{aligned}E(x)&=\sum _{p^{\alpha }\leq x}f(p^{\alpha})p^{-\alpha }(1-p^ {-1})\\D^{2}(x)&=\sum _{p^{\alpha }\leq x}|f(p^{\alpha })|^{2}p^{- \alpha }.\end{aligned}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Среднее значение функции также выражается этими функциями как![{\displaystyle f^{2}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle {\mathcal {M}}_{f^{2}}(x)=xE^{2}(x)+O(xD^{2}(x)).}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Всегда существует такая абсолютная константа , что для всех натуральных чисел
![{\displaystyle x\geq 1}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \sum _{n\leq x}|f(n)-E(x)|^{2}\leq C_{f}\cdot xD^{2}(x).}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Позволять
![{\displaystyle \nu (x;z):={\frac {1}{x}} \#\!\left\{n\leq x: {\frac {f(n)-A(x)} B(x)}}\leq z\right\}\!.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Предположим, что это аддитивная функция с
такой, что при ,![{\displaystyle е}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle -1\leq f(p^{\alpha})=f(p)\leq 1}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle x\rightarrow \infty}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle B(x)=\sum _{p\leq x}f^{2}(p)/p\rightarrow \infty.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Тогда где - функция распределения Гаусса![{\ displaystyle \ nu (x; z) \ sim G (z)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\ displaystyle G (z)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle G(z)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{z}e^{-t^{2}/2}dt. }](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Примеры этого результата, относящиеся к простой омега-функции и числам простых делителей сдвинутых простых чисел, включают следующие для фиксированного, где соотношения выполняются для :![{\displaystyle z\in \mathbb {R}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle x\gg 1}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \#\{n\leq x:\omega (n)-\log \log x\leq z(\log \log x)^{1/2}\}\sim xG(z),}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \#\{p\leq x:\omega (p+1)-\log \log x\leq z(\log \log x)^{1/2}\}\sim \pi (x) Г(г).}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Смотрите также
Рекомендации
- ^ Эрдеш, П. и М. Кац. О гауссовском законе ошибок в теории аддитивных функций. Proc Natl Acad Sci США. 1939 г., апрель; 25 (4): 206–207. В сети
дальнейшее чтение
- Янко Брачич, Колобар арифметических функций ( Кольцо арифметических функций ), (Обзорник мат, физ. 49 (2002) 4, стр. 97–108) (MSC (2000) 11A25)
- Иванец и Ковальский, Аналитическая теория чисел , AMS (2004).