Азимутальное квантовое число

Квантовое число, обозначающее орбитальный угловой момент

Атомные орбитальные волновые функции атома водорода : азимутальное квантовое число ( ℓ ) обозначено буквой в верхней части каждого столбца. Главное квантовое число ( n ) показано справа в каждой строке.

В квантовой механике азимутальное квантовое число ℓ — это квантовое число для атомной орбитали , которое определяет ее орбитальный угловой момент и описывает аспекты угловой формы орбитали. Азимутальное квантовое число — это второе из набора квантовых чисел, которые описывают уникальное квантовое состояние электрона (другие — это главное квантовое число n , магнитное квантовое число m _ℓ и спиновое квантовое число m _s ).

Для заданного значения главного квантового числа n ( электронной оболочки ) возможными значениями ℓ являются целые числа от 0 до n − 1. Например, оболочка n = 1  имеет только орбитали с , а оболочка n = 2  имеет только орбитали с , и . ${\displaystyle \ell =0}$ ${\displaystyle \ell =0}$ ${\displaystyle \ell =1}$

Для заданного значения азимутального квантового числа ℓ возможные значения магнитного квантового числа m _ℓ являются целыми числами от m _ℓ =-ℓ до m _ℓ =+ℓ , включая 0. Кроме того, спиновое квантовое число m _s может принимать два различных значения. Набор орбиталей, связанных с определенным значением  ℓ, иногда совместно называют подоболочкой .

Хотя первоначально они использовались только для изолированных атомов, атомоподобные орбитали играют ключевую роль в конфигурации электронов в соединениях, включая газы, жидкости и твердые тела. Квантовое число ℓ играет здесь важную роль через связь с угловой зависимостью сферических гармоник для различных орбиталей вокруг каждого атома.

Номенклатура

Термин «азимутальное квантовое число» был введен Арнольдом Зоммерфельдом в 1915 году ^{[1] : II:132} как часть специального описания энергетической структуры атомных спектров. Только позже с квантовой моделью атома стало понятно, что это число, ℓ , возникает из квантования орбитального углового момента. Некоторые учебники ^{[2] : 199} и стандарт ISO 80000-10:2019 ^[3] называют ℓ квантовым числом орбитального углового момента .

Уровни энергии атома во внешнем магнитном поле зависят от значения m _ℓ, поэтому его иногда называют магнитным квантовым числом. ^{[4] : 240}

Строчная буква ℓ используется для обозначения орбитального углового момента одной частицы. Для системы с несколькими частицами используется заглавная буква L. ^[3]

Связь с атомными орбиталями

Существует четыре квантовых числа — n , ℓ , m _ℓ , m _s — связанных с энергетическими состояниями электронов изолированного атома. Эти четыре числа определяют уникальное и полное квантовое состояние любого отдельного электрона в атоме , и они объединяются, чтобы составить волновую функцию электрона , или орбиталь .

При решении для получения волновой функции уравнение Шредингера разрешается в три уравнения, которые приводят к первым трем квантовым числам, что означает, что три уравнения взаимосвязаны. Азимутальное квантовое число возникает при решении полярной части волнового уравнения — опираясь на сферическую систему координат , которая обычно лучше всего работает с моделями, имеющими достаточные аспекты сферической симметрии .

Азимутальное квантовое число: иллюстрирует (пять) альтернативных форм орбитального углового момента в виде «конусов» — здесь изображены (пять) альтернативных значений для приведенной постоянной Планка, ħ .

Угловой момент электрона, L , связан с его квантовым числом ℓ следующим уравнением: где ħ — приведенная постоянная Планка , L — оператор орбитального углового момента , а — волновая функция электрона. Квантовое число ℓ всегда является неотрицательным целым числом: 0, 1, 2, 3 и т. д. (Примечательно, что L не имеет реального смысла, кроме как при использовании в качестве оператора углового момента; таким образом, при обращении к угловому моменту принято использовать квантовое число ℓ ). $${\displaystyle \mathbf {L} ^{2}\Psi =\hbar ^{2}\ell (\ell +1)\Psi ,}$$ ${\displaystyle \Psi }$

Атомные орбитали имеют отличительные формы (см. верхний рисунок), в которых буквы s , p , d , f и т. д. (используя соглашение, возникшее в спектроскопии ) обозначают форму атомной орбитали . Волновые функции этих орбиталей принимают форму сферических гармоник и, таким образом, описываются полиномами Лежандра . Несколько орбиталей, относящихся к различным (целым) значениям ℓ , иногда называются подоболочками — обозначаются строчными латинскими буквами, выбранными по историческим причинам — как показано в таблице «Квантовые подоболочки для азимутального квантового числа».

Каждое из различных состояний углового момента может занять 2(2 ℓ  + 1) электронов. Это связано с тем, что третье квантовое число m _ℓ (которое можно рассматривать как квантованную проекцию вектора углового момента на ось z) изменяется от − ℓ до ℓ в целых единицах, и поэтому существует 2 ℓ  + 1 возможных состояний. Каждая отдельная орбиталь n , ℓ , m _ℓ может быть занята двумя электронами с противоположными спинами (заданными квантовым числом m _s  = ± 1 ⁄ 2 ), что дает в целом 2(2 ℓ  + 1) электронов. Орбитали с более высоким ℓ , чем указано в таблице, вполне допустимы, но эти значения охватывают все атомы, обнаруженные до сих пор.

Для заданного значения главного квантового числа n возможные значения ℓ лежат в диапазоне от 0 до n − 1 ; следовательно, оболочка n = 1 имеет только s-подоболочку и может принять только 2 электрона, оболочка n = 2 имеет s- и p - подоболочки и может принять в общей сложности 8 электронов, оболочка n = 3 имеет s- , p- и d -подоболочки и имеет максимум 18 электронов и т. д.

Упрощенная одноэлектронная модель приводит к энергетическим уровням, зависящим только от главного числа. В более сложных атомах эти энергетические уровни расщепляются для всех n > 1 , помещая состояния с более высоким ℓ выше состояний с более низким ℓ . Например, энергия 2p выше, чем у 2s, 3d находится выше, чем 3p, который, в свою очередь, выше 3s и т. д. Этот эффект в конечном итоге формирует блочную структуру периодической таблицы. Ни один известный атом не обладает электроном, имеющим ℓ выше трех ( f ) в своем основном состоянии .

Квантовое число углового момента ℓ и соответствующая сферическая гармоника управляют числом плоских узлов, проходящих через ядро. Плоский узел можно описать в электромагнитной волне как среднюю точку между гребнем и впадиной, которая имеет нулевую величину. В s-орбитали ни один узел не проходит через ядро, поэтому соответствующее азимутальное квантовое число ℓ принимает значение 0. В p -орбитали один узел проходит через ядро, и поэтому ℓ имеет значение 1. имеет значение . ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle {\sqrt {2}}\hbar }$

В зависимости от значения n существует квантовое число углового момента ℓ и следующий ряд. Длины волн указаны для атома водорода :

• ${\displaystyle n=1,L=0}$, Серия Лаймана (ультрафиолет)
• ${\displaystyle n=2,L={\sqrt {2}}\hbar }$, серия Бальмера (видимая)
• ${\displaystyle n=3,L={\sqrt {6}}\hbar }$, Ряд Ритца–Пашена ( ближний инфракрасный )
• ${\displaystyle n=4,L=2{\sqrt {3}}\hbar }$, серия Брэкетта ( коротковолновый инфракрасный )
• ${\displaystyle n=5,L=2{\sqrt {5}}\hbar }$, серия Пфунда ( средневолновая инфракрасная область ).

Добавление квантованных угловых моментов

При наличии квантованного полного углового момента , который является суммой двух отдельных квантованных угловых моментов и , квантовое число, связанное с его величиной, может изменяться от до целыми числами, где и — квантовые числа, соответствующие величинам отдельных угловых моментов. ${\displaystyle \mathbf {j} }$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\ell }}_{1}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\ell }}_{2}}$ $${\displaystyle \mathbf {j} ={\boldsymbol {\ell }}_{1}+{\boldsymbol {\ell }}_{2}}$$ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle |\ell _{1}-\ell _{2}|}$ ${\displaystyle \ell _{1}+\ell _{2}}$ ${\displaystyle \ell _{1}}$ ${\displaystyle \ell _{2}}$

Полный момент импульса электрона в атоме

«Векторные конусы» полного углового момента J (фиолетовый), орбитального L (синий) и спинового S (зеленый). Конусы возникают из-за квантовой неопределенности между измерениями компонент углового момента.

Из-за спин-орбитального взаимодействия в атоме орбитальный угловой момент больше не коммутирует с гамильтонианом , как и спин . Поэтому они изменяются со временем. Однако полный угловой момент J коммутирует с одноэлектронным гамильтонианом и поэтому является постоянным. J определяется как L — орбитальный угловой момент , а S — спин. Полный угловой момент удовлетворяет тем же коммутационным соотношениям, что и орбитальный угловой момент , а именно, из которых следует, что где J _i обозначают J _x , J _y и J _z . $${\displaystyle \mathbf {J} =\mathbf {L} +\mathbf {S} }$$ $${\displaystyle [J_{i},J_{j}]=i\hbar \varepsilon _{ijk}J_{k}}$$ $${\displaystyle \left[J_{i},J^{2}\right]=0}$$

Квантовые числа, описывающие систему и остающиеся постоянными во времени, теперь равны j и m _j , определяемые через действие J на ​​волновую функцию. ${\displaystyle \Psi }$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {J} ^{2}\Psi &=\hbar ^{2}j(j+1)\Psi \\[1ex]\mathbf {J} _{z}\Psi &=\hbar m_{j}\Psi \end{aligned}}}$$

Так что j связано с нормой полного углового момента, а m _j — с его проекцией вдоль указанной оси. Число j имеет особое значение для релятивистской квантовой химии , часто указывая в нижнем индексе для более глубоких состояний вблизи ядра, для которых важна спин-орбитальная связь.

Как и любой угловой момент в квантовой механике , проекция J вдоль других осей не может быть определена совместно с J _z , поскольку они не коммутируют. Собственные векторы j , s , m _j и четности, которые также являются собственными векторами гамильтониана, являются линейными комбинациями собственных векторов ℓ , s , m _ℓ и m _s .

За пределами изолированных атомов

Пример данных EELS по краю ионизации внутренней оболочки (потери ядра) для La _0,7 Sr _0,3 MnO ₃ , полученных в сканирующем просвечивающем электронном микроскопе .

Квантовые числа углового момента строго относятся к изолированным атомам. Однако они имеют более широкое применение для атомов в твердых телах, жидкостях или газах. Квантовое число ℓ m соответствует определенным сферическим гармоникам и обычно используется для описания особенностей, наблюдаемых в спектроскопических методах, таких как рентгеновская фотоэлектронная спектроскопия ^[6] и спектроскопия потери энергии электронами . ^[7] (Обозначения немного отличаются, с рентгеновскими обозначениями , где K, L, M используются для возбуждений из электронных состояний с .) ${\displaystyle n=0,1,2}$

Квантовые числа углового момента также используются, когда состояния электронов описываются такими методами, как теория функционала плотности Кона-Шэма ^[8] или с помощью гауссовых орбиталей . ^[9] Например, в кремнии электронные свойства, используемые в полупроводниковых приборах, обусловлены p-подобными состояниями с центрами на каждом атоме, в то время как многие свойства переходных металлов зависят от d-подобных состояний с . ^[10] ${\displaystyle l=1}$ ${\displaystyle l=2}$

История

Азимутальное квантовое число было перенесено из модели атома Бора и было предложено Арнольдом Зоммерфельдом . ^[11] Модель Бора была получена из спектроскопического анализа атомов в сочетании с атомной моделью Резерфорда . Было обнаружено, что самый низкий квантовый уровень имеет нулевой угловой момент. Орбиты с нулевым угловым моментом рассматривались как колеблющиеся заряды в одном измерении и поэтому описывались как «маятниковые» орбиты, но не были обнаружены в природе. ^[12] В трех измерениях орбиты становятся сферическими без каких-либо узлов, пересекающих ядро, подобно (в состоянии с самой низкой энергией) скакалке, которая колеблется по одному большому кругу.

Смотрите также

• Введение в квантовую механику
• Частица в сферически-симметричном потенциале
• Угловая связь импульса
• Оператор углового момента
• Коэффициенты Клебша–Гордана

Ссылки

1. Уиттекер, Эдмунд Тейлор (1989). История теорий эфира и электричества . Классика науки и математики Дувра. Нью-Йорк: Дувр. ISBN 978-0-486-26126-3.
2. Шифф, Леонард (1949). Квантовая механика . McGraw-Hill.
3. "Платформа онлайн-просмотра ISO". 10-13.3 . Получено 2024-02-20 .
4. Айсберг, Роберт М.; Резник, Роберт (2009). Квантовая физика атомов, молекул, твердых тел, ядер и частиц (2-е изд., 37-е [Nachdr.] изд.). Нью-Йорк: Wiley. ISBN 978-0-471-87373-0.
5. Уиттекер, ET (1989). История теорий эфира и электричества . Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN 978-0-486-26126-3.
6. Hüfner, Stefan (2003). Фотоэлектронная спектроскопия. Advanced Texts in Physics. Берлин, Гейдельберг: Springer Berlin Heidelberg. doi :10.1007/978-3-662-09280-4. ISBN 978-3-642-07520-9.
7. Эгертон, РФ (2011). Спектроскопия потери энергии электронов в электронном микроскопе. Бостон, Массачусетс: Springer US. doi : 10.1007/978-1-4419-9583-4. ISBN 978-1-4419-9582-7.
8. Кон, В.; Шам, Л. Дж. (1965). «Самосогласованные уравнения, включающие эффекты обмена и корреляции». Physical Review . 140 (4A): A1133–A1138. doi :10.1103/PhysRev.140.A1133. ISSN  0031-899X.
9. Гилл, Питер МВ (1994), «Молекулярные интегралы по гауссовым базисным функциям», Advances in Quantum Chemistry , т. 25, Elsevier, стр. 141–205, doi :10.1016/s0065-3276(08)60019-2, ISBN 978-0-12-034825-1, получено 2024-02-20
10. Петтифор, Д. Г. (1996). Связи и структура молекул и твердых тел . Oxford science publications (Перепечатка с исправленной ред.). Oxford: Clarendon Press. ISBN 978-0-19-851786-3.
11. Айсберг, Роберт (1974). Квантовая физика атомов, молекул, твердых тел, ядер и частиц . Нью-Йорк: John Wiley & Sons Inc. стр. 114–117. ISBN 978-0-471-23464-7.
12. RB Lindsay (1927). «Заметка о «маятниковых» орбитах в атомных моделях». Proc. Natl. Acad. Sci . 13 (6): 413–419. Bibcode :1927PNAS...13..413L. doi : 10.1073/pnas.13.6.413 . PMC 1085028 . PMID  16587189. 

Внешние ссылки

• Развитие атома Бора
• Объяснение азимутального уравнения