В топологии и смежных областях математики существует несколько ограничений, которые часто накладываются на типы топологических пространств , которые мы хотим рассмотреть. Некоторые из этих ограничений задаются аксиомами разделения . Иногда их называют аксиомами разделения Тихонова , в честь Андрея Тихонова .
Аксиомы разделения не являются фундаментальными аксиомами , как аксиомы теории множеств , а скорее определяют свойства, которые могут быть указаны для различения определенных типов топологических пространств. Аксиомы разделения обозначаются буквой "T" после немецкого Trennungsaxiom ("аксиома разделения"), а увеличивающиеся числовые индексы обозначают все более сильные свойства.
Точные определения аксиом разделения менялись с течением времени . Особенно в старой литературе разные авторы могли иметь разные определения каждого условия.
Прежде чем определить сами аксиомы разделения, мы придадим конкретное значение концепции разделенных множеств (и точек) в топологических пространствах . (Разделенные множества — это не то же самое, что разделенные пространства , определяемые в следующем разделе.)
Аксиомы разделения касаются использования топологических средств для различения непересекающихся множеств и различных точек. Недостаточно, чтобы элементы топологического пространства были различимы (то есть неравны ); мы можем хотеть, чтобы они были топологически различимы . Аналогично, недостаточно, чтобы подмножества топологического пространства были непересекающимися; мы можем хотеть, чтобы они были разделены (любым из различных способов). Все аксиомы разделения говорят, так или иначе, что точки или множества, которые различимы или разделены в некотором слабом смысле, должны также быть различимы или разделены в некотором более сильном смысле.
Пусть X — топологическое пространство. Тогда две точки x и y в X топологически различимы, если они не имеют в точности одинаковых окрестностей (или, что эквивалентно, одинаковых открытых окрестностей); то есть, по крайней мере, одна из них имеет окрестность, которая не является окрестностью другой (или, что эквивалентно, существует открытое множество , которому принадлежит одна точка, но не принадлежит другая). То есть, по крайней мере, одна из точек не принадлежит замыканию другой .
Две точки x и y разделены , если каждая из них имеет окрестность, которая не является окрестностью другой; то есть ни одна из них не принадлежит замыканию другой . В более общем смысле, два подмножества A и B множества X разделены , если каждое из них не пересекается с замыканием другой, хотя сами замыкания не обязательно должны быть непересекающимися. Эквивалентно, каждое подмножество включено в открытое множество, не пересекающееся с другим подмножеством. Все оставшиеся условия разделения множеств также могут быть применены к точкам (или к точке и множеству) с помощью одноэлементных множеств. Точки x и y будут считаться разделенными, соседствами, замкнутыми соседствами, непрерывной функцией, именно функцией, тогда и только тогда, когда их одноэлементные множества { x } и { y } разделены согласно соответствующему критерию.
Подмножества A и B разделены соседствами, если они имеют непересекающиеся соседства. Они разделены замкнутыми соседствами , если они имеют непересекающиеся замкнутые соседства. Они разделены непрерывной функцией , если существует непрерывная функция f из пространства X на вещественную прямую R такая, что A является подмножеством прообраза f −1 ( {0}), а B является подмножеством прообраза f −1 ({1}). Наконец, они точно разделены непрерывной функцией , если существует непрерывная функция f из X в R такая, что A равно прообразу f −1 ({0}), а B равно f −1 ({1}).
Эти условия приведены в порядке возрастания силы: любые две топологически различимые точки должны быть различимы, и любые две разделенные точки должны быть топологически различимы. Любые два разделенных множества должны быть непересекающимися, любые два множества, разделенные соседствами, должны быть разделены и т. д.
Все эти определения по сути используют предварительные определения, данные выше.
Многие из этих названий имеют альтернативные значения в некоторой математической литературе ; например, значения «нормальный» и «T 4 » иногда меняются местами, аналогично «регулярный» и «T 3 » и т. д. Многие из понятий также имеют несколько названий; однако то, которое указано первым, всегда менее всего склонно быть двусмысленным.
Большинство этих аксиом имеют альтернативные определения с тем же значением; определения, данные здесь, попадают в последовательную модель, которая связывает различные понятия разделения, определенные в предыдущем разделе. Другие возможные определения можно найти в отдельных статьях.
Во всех следующих определениях X снова является топологическим пространством .
В следующей таблице приведены аксиомы разделения, а также импликации между ними: объединенные ячейки представляют эквивалентные свойства, каждая аксиома подразумевает аксиомы в ячейках слева от нее, а если мы предположим аксиому T 1 , то каждая аксиома также подразумевает аксиомы в ячейках над ней (например, все нормальные пространства T 1 также полностью регулярны).
Аксиома T 0 особенна тем, что ее можно не только добавить к свойству (так что полностью регулярное плюс T 0 есть Тихоново), но и вычесть из свойства (так что Хаусдорф минус T 0 есть R 1 ), в довольно точном смысле; см. Частное Колмогорова для получения дополнительной информации. При применении к аксиомам разделения это приводит к соотношениям в таблице слева ниже. В этой таблице переход от правой стороны к левой стороне осуществляется путем добавления требования T 0 , а переход от левой стороны к правой стороне осуществляется путем удаления этого требования с использованием операции частного Колмогорова. (Имена в скобках, приведенные в левой части этой таблицы, как правило, неоднозначны или, по крайней мере, менее известны; но они используются в диаграмме ниже.)
За исключением включения или исключения T 0 , отношения между аксиомами разделения указаны на диаграмме справа. На этой диаграмме версия условия, не относящаяся к T 0 , находится слева от косой черты, а версия T 0 — справа. Буквы используются для сокращений следующим образом: «P» = «совершенно», «C» = «полностью», «N» = «нормально» и «R» (без нижнего индекса) = «регулярно». Маркер указывает на то, что для пространства в этом месте нет специального названия. Тире внизу указывает на отсутствие условия.
Два свойства можно объединить, используя эту диаграмму, следуя по диаграмме вверх, пока обе ветви не встретятся. Например, если пространство является как полностью нормальным ("CN"), так и полностью хаусдорфовым ("CT 2 "), то, следуя обеим ветвям вверх, можно найти точку "•/T 5 ". Поскольку полностью хаусдорфовы пространства являются T 0 (хотя полностью нормальные пространства могут ими не быть), мы берем сторону T 0 от косой черты, поэтому полностью нормальное полностью хаусдорфово пространство совпадает с пространством T 5 (менее двусмысленно известным как полностью нормальное хаусдорфово пространство, как можно увидеть в таблице выше).
Как видно из диаграммы, норма и R 0 вместе подразумевают множество других свойств, поскольку объединение двух свойств ведет через множество узлов на правой ветви. Поскольку регулярность является наиболее известным из них, пространства, которые являются как нормальными, так и R 0 , обычно называются «нормальными регулярными пространствами». В некоторой степени схожим образом пространства, которые являются как нормальными, так и T 1 , часто называются «нормальными хаусдорфовыми пространствами» людьми, желающими избежать двусмысленной нотации «T». Эти соглашения можно обобщить на другие регулярные пространства и хаусдорфовы пространства.
[Примечание: эта диаграмма не отражает тот факт, что совершенно нормальные пространства всегда являются регулярными; редакторы сейчас работают над этим.]
Существуют некоторые другие условия на топологических пространствах, которые иногда классифицируются как аксиомы разделения, но они не вписываются в обычные аксиомы разделения как полностью. За исключением их определений, они здесь не обсуждаются; см. их отдельные статьи.