Аксиоматизация реальности Тарского

В 1936 году Альфред Тарский дал аксиоматизацию действительных чисел и их арифметики, состоящую только из восьми аксиом , показанных ниже, и всего лишь четырех примитивных понятий : ^[1] набор действительных чисел, обозначаемый R , бинарное отношение над R , обозначаемое инфиксом <, бинарная операция сложения над R , обозначаемая инфиксом + и константой 1.

Аксиоматизацию Тарского, которая представляет собой теорию второго порядка , можно рассматривать как версию более обычного определения действительных чисел как уникального по Дедекинду упорядоченного поля ; однако его делают гораздо более кратким за счет полного отказа от умножения и использования неортодоксальных вариантов стандартных алгебраических аксиом и других тонких приемов. Тарский не представил доказательств того, что его аксиомы достаточны, или определения умножения действительных чисел в его системе.

Тарский также изучил теорию структуры первого порядка ( R , +, ·, <), что привело к набору аксиом этой теории и к понятию реальных замкнутых полей .

Аксиомы

Аксиомы порядка (примитивы: R,

Аксиома 1

Если x < y , то не y < x .

[То есть «<» — асимметричное отношение . Это подразумевает, что «<» иррефлексивно , т. е. для всех x , а не x < x .]

Аксиома 2

Если x  <  z , существует y такой, что x  <  y и y  <  z .

Аксиома 3

Для всех подмножеств X ,  Y  ⊆  R , если для всех x  €  X и y  €  Y , x  <  y , то существует z такой, что для всех x  €  X и y  €  Y , если x  ≠  z и y  ≠  z , тогда x  <  z и z  <  y .

[Другими словами, «<» является полным по Дедекинду , или неофициально: «Если набор действительных чисел X предшествует другому набору действительных чисел Y , то существует хотя бы одно действительное число z, разделяющее эти два набора».

Это аксиома второго порядка, поскольку она относится к множествам, а не только к элементам.]

Аксиомы сложения (примитивы: R,

Аксиома 4

Икс  + ( y  +  z ) знак равно ( Икс  +  z ) +  y .

[Обратите внимание, что это неортодоксальная смесь ассоциативности и коммутативности .]

Аксиома 5

Для всех x , y существует z такой, что x  +  z  =  y .

[Это позволяет вычитать, а также дает 0.]

Аксиома 6

Если x  +  y  <  z  +  w , то x  <  z или y  <  w .

[Это противоположность стандартной аксиомы для упорядоченных групп.]

Аксиомы для 1 (примитивы: R,

Аксиома 7

1 ∈  р .

Аксиома 8

1 < 1 + 1.

Обсуждение

Тарский без доказательства заявил, что эти аксиомы превращают отношение < в тотальный порядок . Недостающий компонент был поставлен в 2008 году Стефани Уксней. ^[2]

Тогда аксиомы подразумевают, что R является линейно упорядоченной абелевой группой при добавлении с выделенным положительным элементом 1 и что эта группа является дедекиндовой , делимой и архимедовой .

Тарский так и не доказал, что эти аксиомы и примитивы предполагают существование бинарной операции , называемой умножением, которая обладает ожидаемыми свойствами, так что R становится полным упорядоченным полем при сложении и умножении. Эту операцию умножения можно определить, рассматривая некоторые сохраняющие порядок гомоморфизмы упорядоченной группы ( R ,+,<). ^[3]

Рекомендации

1. Тарский, Альфред (24 марта 1994 г.). Введение в логику и методологию дедуктивных наук (4-е изд.). Издательство Оксфордского университета. ISBN 978-0-19-504472-0.
2. Уксней, Стефани (январь 2008 г.). «Заметка о записке Тарского». Американский математический ежемесячник . 115 (1): 66–68. JSTOR  27642393.
3. Артан, Роб Д. (2001). «Иррациональное построение ℝ из ℤ» (PDF) . Доказательство теорем в логике высшего порядка . Конспекты лекций по информатике. Берлин, Гейдельберг: Springer: 43–58. дои : 10.1007/3-540-44755-5_5.Раздел 4