В математической области теории множеств аксиома Мартина , введенная Дональдом А. Мартином и Робертом М. Соловеем , [1] — это утверждение, которое не зависит от обычных аксиом теории множеств ZFC . Оно подразумевается гипотезой континуума , но согласуется с ZFC и отрицанием гипотезы континуума. Неформально оно гласит, что все кардиналы, меньшие мощности континуума , 𝔠, ведут себя примерно как ℵ 0 . Интуицию, стоящую за этим, можно понять, изучив доказательство леммы Расиовы–Сикорского . Это принцип, который используется для управления некоторыми вынуждающими аргументами.
Заявление
Для кардинального числа κ определите следующее утверждение:
- МА( κ )
- Для любого частичного порядка P, удовлетворяющего счетному цепочечному условию (далее ccc), и любого множества D = { D i } i ∈ I плотных подмножеств P такого, что |D| ≤ κ , существует фильтр F на P такой, что F ∩ D i непусто для каждого D i ∈ D .
В этом контексте множество D называется плотным, если каждый элемент P имеет нижнюю границу в D. Для применения ccc антицепь — это подмножество A множества P , такое, что любые два различных члена A несовместимы (два элемента называются совместимыми, если существует общий элемент ниже их обоих в частичном порядке). Это отличается, например, от понятия антицепи в контексте деревьев .
MA(ℵ 0 ) доказуема в ZFC и известна как лемма Расиовой–Сикорского .
MA(2 ℵ 0 ) ложно: [0, 1] является сепарабельным компактным хаусдорфовым пространством , и поэтому ( P , частично упорядоченное множество открытых подмножеств при включении, является) ccc. Но теперь рассмотрим следующие два множества размера 𝔠 плотных множеств в P : ни один x ∈ [0, 1] не является изолированным , и поэтому каждый x определяет плотное подмножество { S | x ∉ S }. И каждый r ∈ (0, 1] определяет плотное подмножество { S | diam( S ) < r }. Два объединенных множества также имеют размер 𝔠, и фильтр, удовлетворяющий обоим, должен одновременно избегать всех точек [0, 1], при этом содержа множества произвольно малого диаметра. Но фильтр F, содержащий множества произвольно малого диаметра, должен содержать точку в ⋂ F по компактности. (См. также § Эквивалентные формы MA(κ).)
Аксиома Мартина заключается в том, что MA( κ ) выполняется для любого κ , для которого она могла бы:
- Аксиома Мартина (МА)
- MA( κ ) справедливо для любого κ < 𝔠.
Эквивалентные формы MA(к)
Следующие утверждения эквивалентны MA( κ ):
- Если X — компактное хаусдорфово топологическое пространство , удовлетворяющее условию ccc , то X не является объединением κ или меньшего числа нигде не плотных подмножеств.
- Если P — непустое восходящее частично упорядоченное множество с ограниченной последовательностью , а Y — множество конфинальных подмножеств P с |Y| ≤ κ, то существует направленное вверх множество A, такое что A соответствует каждому элементу Y .
- Пусть A — ненулевая ccc булева алгебра , а F — множество подмножеств A с |F| ≤ κ . Тогда существует булев гомоморфизм φ: A → Z /2 Z такой, что для каждого X ∈ F существует либо a ∈ X с φ( a ) = 1, либо существует верхняя граница b ∈ X с φ( b ) = 0.
Последствия
Аксиома Мартина имеет ряд других интересных комбинаторных , аналитических и топологических следствий:
- Объединение κ или меньшего числа нулевых множеств в безатомной σ-конечной мере Бореля на польском пространстве является нулевым. В частности, объединение κ или меньшего числа подмножеств R меры Лебега 0 также имеет меру Лебега 0.
- Компактное хаусдорфово пространство X с |X| < 2 κ является секвенциально компактным , т. е. каждая последовательность имеет сходящуюся подпоследовательность.
- Ни один неглавный ультрафильтр на N не имеет базу мощности, меньшую κ .
- Эквивалентно для любого x ∈ β N \ N мы имеем 𝜒( x ) ≥ κ , где 𝜒 — характер x , и поэтому 𝜒(β N ) ≥ κ .
- MA(ℵ 1 ) подразумевает, что произведение топологических пространств ccc есть ccc (это, в свою очередь, подразумевает, что линий Суслина не существует ).
- MA + ¬CH подразумевает, что существует группа Уайтхеда, которая не является свободной; Шелах использовал это, чтобы показать, что проблема Уайтхеда независима от ZFC.
Дальнейшее развитие
Ссылки
- ^ Мартин, Дональд А.; Соловей , Роберт М. (1970). «Внутренние расширения Коэна». Ann. Math. Logic . 2 (2): 143–178. doi : 10.1016/0003-4843(70)90009-4 . MR 0270904.
- ^ Дэвис, Шелдон В. (2005). Топология . McGraw Hill. стр. 29. ISBN 0-07-291006-2.
Дальнейшее чтение
