В 1932 году Г. Д. Биркгоф создал комплекс из четырёх постулатов евклидовой геометрии на плоскости, иногда называемый аксиомами Биркгофа . [1] Все эти постулаты основаны на базовой геометрии , которую можно подтвердить экспериментально с помощью шкалы и транспортира . Поскольку постулаты основаны на действительных числах , этот подход аналогичен введению в евклидову геометрию на основе моделей .
Аксиоматическая система Биркгофа была использована в учебнике для средней школы Биркгофом и Битли. [2] Эти аксиомы были также изменены школьной исследовательской группой по математике, чтобы обеспечить новый стандарт преподавания геометрии в средней школе, известный как аксиомы SMSG. В нескольких других учебниках по основам геометрии используются варианты аксиом Биркгофа. [3]
Расстояние между двумя точками A и B обозначается d ( A, B ) , а угол, образованный тремя точками A , B , C, обозначается ∠ ABC .
Постулат I: Постулат меры линии . Множество точек { A , B , ...} на любой прямой можно привести в соответствие 1:1 с действительными числами { a , b , ...} так, что | б - а | знак равно d ( A, B ) для всех точек A и B .
Постулат II: Постулат точки-линии . Существует одна и только одна прямая ℓ , содержащая любые две заданные различные точки P и Q.
Постулат III: Постулат меры угла . Набор лучей { ℓ, m, n , ...}, проходящих через любую точку O, можно привести в соответствие 1:1 с действительными числами a (mod 2 π ) , так что если A и B являются точками (не равными O ) из ℓ и m соответственно, разность a m − a ℓ (mod 2π) чисел, связанных с прямыми ℓ и m, равна ∠ AOB . Более того, если точка B на m непрерывно меняется на прямой r, не содержащей вершину O , то число am также меняется непрерывно.
Постулат IV: Постулат подобия . Даны два треугольника ABC и A'B'C' и некоторая константа k > 0 такая, что d ( A', B' ) = kd ( A, B ), d ( A', C' ) = kd ( A, C ) и ∠ B'A'C' = ±∠ BAC , тогда d ( B', C' ) = kd ( B, C ), ∠ C'B'A' = ±∠ CBA и ∠ A'C'B' = ±∠ АСВ .