Аксиомы замыкания Куратовского

В топологии и смежных разделах математики аксиомы замыкания Куратовского представляют собой набор аксиом , которые можно использовать для определения топологической структуры на множестве . Они эквивалентны более часто используемому определению открытого множества . Впервые они были формализованы Казимежем Куратовским ^[1] , а в дальнейшем эта идея изучалась такими математиками, как Вацлав Серпинский и Антонио Монтейру ^[2] среди других.

Подобный набор аксиом можно использовать для определения топологической структуры, используя только двойственное понятие внутреннего оператора . ^[3]

Определение

Операторы замыкания Куратовского и их ослабления

Пусть – произвольное множество и его степенное множество . Оператор замыкания Куратовского — это унарная операция , обладающая следующими свойствами: ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \wp (X)}$ ${\displaystyle \mathbf {c} :\wp (X)\to \wp (X)}$

[K1] Он сохраняет пустое множество : ; ${\displaystyle \mathbf {c} (\varnothing )=\varnothing }$

[K2] Он обширен : для всех , ; ${\displaystyle A\subseteq X}$ ${\displaystyle A\subseteq \mathbf {c} (A)}$

[K3] Оно идемпотентно : для всех , ; ${\displaystyle A\subseteq X}$ ${\displaystyle \mathbf {c} (A)=\mathbf {c} (\mathbf {c} (A))}$

[K4] Он сохраняет / распределяет по двоичным объединениям : для всех , . ${\displaystyle A,B\subseteq X}$ ${\displaystyle \mathbf {c} (A\cup B)=\mathbf {c} (A)\cup \mathbf {c} (B)}$

Следствием сохранения бинарных объединений является следующее условие: ^[4] ${\displaystyle \mathbf {c} }$

[К4'] Оно монотонно : . ${\displaystyle A\subseteq B\Rightarrow \mathbf {c} (A)\subseteq \mathbf {c} (B)}$

Фактически, если мы перепишем равенство в [К4] как включение, дав более слабую аксиому [К4''] ( субаддитивность ):

[K4''] Оно субаддитивно : для всех , , ${\displaystyle A,B\subseteq X}$ ${\displaystyle \mathbf {c} (A\cup B)\subseteq \mathbf {c} (A)\cup \mathbf {c} (B)}$

тогда легко видеть, что аксиомы [K4'] и [K4''] вместе эквивалентны [K4] (см. предпоследний абзац доказательства 2 ниже).

Куратовский (1966) включает пятую (необязательную) аксиому, требующую, чтобы одноэлементные множества были стабильны при замыкании: для всех , . Он называет топологические пространства, удовлетворяющие всем пяти аксиомам, T ₁ -пространствами в отличие от более общих пространств, которые удовлетворяют только четырем перечисленным аксиомам. Действительно, эти пространства в точности соответствуют топологическим T 1 -пространствам посредством обычного соответствия (см. ниже). ^[5] ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle \mathbf {c} (\{x\})=\{x\}}$

Если требование [K3] опущено, то аксиомы определяют оператор замыкания Чеха . ^[6] Если вместо этого [K1] опущено, то оператор, удовлетворяющий [K2] , [K3] и [K4'] , называется оператором замыкания Мура . ^[7] Пара называется пространством замыкания Куратовского , Чеха или Мура в зависимости от аксиом, которым удовлетворяет . ${\displaystyle (X,\mathbf {c} )}$ ${\displaystyle \mathbf {c} }$

Альтернативные аксиоматизации

Четыре аксиомы замыкания Куратовского можно заменить одним условием, данным Первином: ^[8]

[П] Для всех , . ${\displaystyle A,B\subseteq X}$ ${\displaystyle A\cup \mathbf {c} (A)\cup \mathbf {c} (\mathbf {c} (B))=\mathbf {c} (A\cup B)\setminus \mathbf {c} (\varnothing )}$

Аксиомы [К1] – [К4] могут быть выведены как следствие этого требования:

1. Выбирать . Тогда или . Отсюда немедленно следует [K1] . ${\displaystyle A=B=\varnothing }$ ${\displaystyle \varnothing \cup \mathbf {c} (\varnothing )\cup \mathbf {c} (\mathbf {c} (\varnothing ))=\mathbf {c} (\varnothing )\setminus \mathbf {c} (\varnothing )=\varnothing }$ ${\displaystyle \mathbf {c} (\varnothing )\cup \mathbf {c} (\mathbf {c} (\varnothing ))=\varnothing }$
2. Выберите произвольный и . Тогда, применяя аксиому [K1] , , отсюда следует [K2] . ${\displaystyle A\subseteq X}$ ${\displaystyle B=\varnothing }$ ${\displaystyle A\cup \mathbf {c} (A)=\mathbf {c} (A)}$
3. Выбирайте и произвольный . Затем, применяя аксиому [K1] , , которая есть [K3] . ${\displaystyle A=\varnothing }$ ${\displaystyle B\subseteq X}$ ${\displaystyle \mathbf {c} (\mathbf {c} (B))=\mathbf {c} (B)}$
4. Выбирайте произвольный . Применяя аксиомы [K1] – [K3] , получаем [K4] . ${\displaystyle A,B\subseteq X}$

В качестве альтернативы Монтейро (1945) предложил более слабую аксиому, которая влечет за собой только [K2] – [K4] : ^[9]

[М] Для всех , . ${\displaystyle A,B\subseteq X}$ ${\textstyle A\cup \mathbf {c} (A)\cup \mathbf {c} (\mathbf {c} (B))\subseteq \mathbf {c} (A\cup B)}$

Требование [K1] не зависит от [M]  : действительно, если , оператор , определенный постоянным присваиванием, удовлетворяет [M] , но не сохраняет пустое множество, поскольку . Обратите внимание, что по определению любой оператор, удовлетворяющий [M], является оператором замыкания Мура. ${\displaystyle X\neq \varnothing }$ ${\displaystyle \mathbf {c} ^{\star }:\wp (X)\to \wp (X)}$ ${\displaystyle A\mapsto \mathbf {c} ^{\star }(A):=X}$ ${\displaystyle \mathbf {c} ^{\star }(\varnothing )=X}$

Более симметричная альтернатива [M] также была доказана М.О. Ботельо и М.Х. Тейшейрой, подразумевая аксиомы [K2] – [K4] : ^[2]

[BT] Для всех , . ${\displaystyle A,B\subseteq X}$ ${\textstyle A\cup B\cup \mathbf {c} (\mathbf {c} (A))\cup \mathbf {c} (\mathbf {c} (B))=\mathbf {c} (A\cup B)}$

Аналогичные структуры

Внутренние, внешние и граничные операторы

Двойственным понятием к операторам замыкания Куратовского является понятие внутреннего оператора Куратовского , который представляет собой отображение, удовлетворяющее следующим аналогичным требованиям: ^[3] ${\displaystyle \mathbf {i} :\wp (X)\to \wp (X)}$

[I1] Сохраняет все пространство : ; ${\displaystyle \mathbf {i} (X)=X}$

[I2] Интенсивно : для всех , ; ${\displaystyle A\subseteq X}$ ${\displaystyle \mathbf {i} (A)\subseteq A}$

[I3] Оно идемпотентно : для всех , ; ${\displaystyle A\subseteq X}$ ${\displaystyle \mathbf {i} (\mathbf {i} (A))=\mathbf {i} (A)}$

[I4] Он сохраняет бинарные пересечения : для всех , . ${\displaystyle A,B\subseteq X}$ ${\displaystyle \mathbf {i} (A\cap B)=\mathbf {i} (A)\cap \mathbf {i} (B)}$

Для этих операторов можно прийти к выводам, полностью аналогичным тем, которые были сделаны для замыканий Куратовского. Например, все внутренние операторы Куратовского изотонны , т. е. они удовлетворяют [К4'] , а благодаря интенсивности [I2] можно ослабить равенство в [I3] до простого включения.

Двойственность между замыканиями Куратовского и внутренностями обеспечивается естественным оператором дополнения on , отправкой карты . Это отображение является ортодополнением на решетке набора степеней, что означает, что оно удовлетворяет законам Де Моргана : если - произвольный набор индексов и , ${\displaystyle \wp (X)}$ ${\displaystyle \mathbf {n} :\wp (X)\to \wp (X)}$ ${\displaystyle A\mapsto \mathbf {n} (A):=X\setminus A}$ ${\displaystyle {\mathcal {I}}}$ ${\displaystyle \{A_{i}\}_{i\in {\mathcal {I}}}\subseteq \wp (X)}$

$${\displaystyle \mathbf {n} \left(\bigcup _{i\in {\mathcal {I}}}A_{i}\right)=\bigcap _{i\in {\mathcal {I}}}\mathbf {n} (A_{i}),\qquad \mathbf {n} \left(\bigcap _{i\in {\mathcal {I}}}A_{i}\right)=\bigcup _{i\in {\mathcal {I}}}\mathbf {n} (A_{i}).}$$

Используя эти законы вместе с определяющими свойствами , можно показать, что любая внутренняя часть Куратовского вызывает замыкание Куратовского (и наоборот) через определяющее соотношение (и ). Всякий полученный результат относительно может быть преобразован в результат относительно , если использовать эти соотношения в сочетании со свойствами ортодополнения . ${\displaystyle \mathbf {n} }$ ${\displaystyle \mathbf {c} :=\mathbf {nin} }$ ${\displaystyle \mathbf {i} :=\mathbf {ncn} }$ ${\displaystyle \mathbf {c} }$ ${\displaystyle \mathbf {i} }$ ${\displaystyle \mathbf {n} }$

Первин (1964) далее приводит аналогичные аксиомы для внешних операторов Куратовского ^[3] и граничных операторов Куратовского , ^[10] , которые также индуцируют замыкания Куратовского посредством соотношений и . ${\displaystyle \mathbf {c} :=\mathbf {ne} }$ ${\displaystyle \mathbf {c} (A):=A\cup \mathbf {b} (A)}$

Абстрактные операторы

Обратите внимание, что аксиомы [K1] – [K4] могут быть адаптированы для определения абстрактной унарной операции на общей ограниченной решетке путем формальной замены теоретико-множественного включения частичным порядком, связанным с решеткой, теоретико-множественного объединения операцией соединения, и теоретико-множественные пересечения с операцией встречи; аналогично для аксиом [I1] – [I4] . Если решетка ортодополнена, эти две абстрактные операции индуцируют друг друга обычным образом. Абстрактные операторы замыкания или внутренние операторы могут использоваться для определения обобщенной топологии на решетке. ${\displaystyle \mathbf {c} :L\to L}$ ${\displaystyle (L,\land ,\lor ,\mathbf {0} ,\mathbf {1} )}$

Поскольку ни объединения, ни пустое множество не фигурируют в требовании к оператору замыкания Мура, определение может быть адаптировано для определения абстрактного унарного оператора в произвольном частично упорядоченном множестве . ${\displaystyle \mathbf {c} :S\to S}$ ${\displaystyle S}$

Связь с другими аксиоматизациями топологии.

Индукция топологии из замыкания

Оператор замыкания естественным образом индуцирует топологию следующим образом. Пусть — произвольное множество. Мы будем говорить, что подмножество замкнуто относительно оператора замыкания Куратовского тогда и только тогда, когда оно является неподвижной точкой указанного оператора или, другими словами, оно устойчиво относительно , ​​т.е. Утверждается, что семейство всех подмножеств общего пространства, которые являются дополнениями к замкнутым множествам, удовлетворяет трем обычным требованиям топологии или, что то же самое, семейство всех замкнутых множеств удовлетворяет следующему: ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle C\subseteq X}$ ${\displaystyle \mathbf {c} :\wp (X)\to \wp (X)}$ ${\displaystyle \mathbf {c} }$ ${\displaystyle \mathbf {c} (C)=C}$ ${\displaystyle {\mathfrak {S}}[\mathbf {c} ]}$

[T1] Это ограниченная подрешетка , т. е . ; ${\displaystyle \wp (X)}$ ${\displaystyle X,\varnothing \in {\mathfrak {S}}[\mathbf {c} ]}$

[T2] ​​Оно полно при произвольных пересечениях , т. е. если – произвольный набор индексов и , то ; ${\displaystyle {\mathcal {I}}}$ ${\displaystyle \{C_{i}\}_{i\in {\mathcal {I}}}\subseteq {\mathfrak {S}}[\mathbf {c} ]}$ ${\textstyle \bigcap _{i\in {\mathcal {I}}}C_{i}\in {\mathfrak {S}}[\mathbf {c} ]}$

[T3] Оно полно при конечных объединениях , т. е. если – конечное множество индексов и , то . ${\displaystyle {\mathcal {I}}}$ ${\displaystyle \{C_{i}\}_{i\in {\mathcal {I}}}\subseteq {\mathfrak {S}}[\mathbf {c} ]}$ ${\textstyle \bigcup _{i\in {\mathcal {I}}}C_{i}\in {\mathfrak {S}}[\mathbf {c} ]}$

Обратите внимание, что согласно идемпотентности [K3] можно кратко записать . ${\displaystyle {\mathfrak {S}}[\mathbf {c} ]=\operatorname {im} (\mathbf {c} )}$

Индукция замыкания из топологии

И наоборот, учитывая семейство , удовлетворяющее аксиомам [T1] – [T3] , можно построить оператор замыкания Куратовского следующим образом: если и является нарушением включения , то ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle A\in \wp (X)}$ ${\displaystyle A^{\uparrow }=\{B\in \wp (X)\ |\ A\subseteq B\}}$ ${\displaystyle A}$

$${\displaystyle \mathbf {c} _{\kappa }(A):=\bigcap _{B\in (\kappa \cap A^{\uparrow })}B}$$

определяет оператор замыкания Куратовского на . ${\displaystyle \mathbf {c} _{\kappa }}$ ${\displaystyle \wp (X)}$

Точное соответствие между двумя структурами

Фактически эти две дополнительные конструкции обратны друг другу: if – совокупность всех операторов замыкания Куратовского на , и – совокупность всех семейств, состоящих из дополнений всех множеств в топологии, т. е. совокупность всех семейств, удовлетворяющих [T1 ] – [T3] , то такое, что является биекцией, обратная которой задается присваиванием . ${\displaystyle \mathrm {Cls} _{\text{K}}(X)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathrm {Atp} (X)}$ ${\displaystyle {\mathfrak {S}}:\mathrm {Cls} _{\text{K}}(X)\to \mathrm {Atp} (X)}$ ${\displaystyle \mathbf {c} \mapsto {\mathfrak {S}}[\mathbf {c} ]}$ ${\displaystyle {\mathfrak {C}}:\kappa \mapsto \mathbf {c} _{\kappa }}$

Мы заметили, что можно также распространить биекцию на совокупность всех операторов замыкания Чеха, которая строго содержит ; это расширение также является сюръективным, что означает, что все операторы замыкания Чеха на также индуцируют топологию на . ^[11] Однако это означает, что это больше не биекция. ${\displaystyle {\mathfrak {S}}}$ ${\displaystyle \mathrm {Cls} _{\check {C}}(X)}$ ${\displaystyle \mathrm {Cls} _{\text{K}}(X)}$ ${\displaystyle {\overline {\mathfrak {S}}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\overline {\mathfrak {S}}}}$

Примеры

• Как обсуждалось выше, учитывая топологическое пространство, мы можем определить замыкание любого подмножества как множество , т.е. пересечение всех замкнутых множеств, которые содержат . Набор представляет собой наименьшее замкнутое множество, содержащее , а оператор является оператором замыкания Куратовского. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle A\subseteq X}$ ${\displaystyle \mathbf {c} (A)=\bigcap \{C{\text{ a closed subset of }}X|A\subseteq C\}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \mathbf {c} (A)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \mathbf {c} :\wp (X)\to \wp (X)}$
• Если есть любой набор, операторы такие, что ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbf {c} _{\top },\mathbf {c} _{\bot }:\wp (X)\to \wp (X)}$
  $${\displaystyle \mathbf {c} _{\top }(A)={\begin{cases}\varnothing &A=\varnothing ,\\X&A\neq \varnothing ,\end{cases}}\qquad \mathbf {c} _{\bot }(A)=A\quad \forall A\in \wp (X),}$$
  являются замыканиями Куратовского. Первый индуцирует недискретную топологию , а второй индуцирует дискретную топологию . ${\displaystyle \{\varnothing ,X\}}$ ${\displaystyle \wp (X)}$

• Зафиксируйте произвольное , и пусть оно будет таким, что для всех . Затем определяет замыкание Куратовского; соответствующее семейство замкнутых множеств совпадает с семейством всех подмножеств, содержащих . При , мы снова получаем дискретную топологию (т.е. , как видно из определений). ${\displaystyle S\subsetneq X}$ ${\displaystyle \mathbf {c} _{S}:\wp (X)\to \wp (X)}$ ${\displaystyle \mathbf {c} _{S}(A):=A\cup S}$ ${\displaystyle A\in \wp (X)}$ ${\displaystyle \mathbf {c} _{S}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {S}}[\mathbf {c} _{S}]}$ ${\displaystyle S^{\uparrow }}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S=\varnothing }$ ${\displaystyle \wp (X)}$ ${\displaystyle \mathbf {c} _{\varnothing }=\mathbf {c} _{\bot }}$
• Если – бесконечное кардинальное число такое, что , то оператор такой, что ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \lambda \leq \operatorname {crd} (X)}$ ${\displaystyle \mathbf {c} _{\lambda }:\wp (X)\to \wp (X)}$
  $${\displaystyle \mathbf {c} _{\lambda }(A)={\begin{cases}A&\operatorname {crd} (A)<\lambda ,\\X&\operatorname {crd} (A)\geq \lambda \end{cases}}}$$
  удовлетворяет всем четырем аксиомам Куратовского. ^[12] Если , этот оператор индуцирует коконечную топологию на ; если , то это индуцирует сосчетную топологию . ${\displaystyle \lambda =\aleph _{0}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \lambda =\aleph _{1}}$

Характеристики

• Поскольку любое замыкание Куратовского изотонно, как и, очевидно, любое отображение включения, существует (изотоническая) связность Галуа при условии, что его рассматривают как частично упорядоченное множество относительно включения и как подмножество . Действительно, легко проверить, что для всех и тогда и только тогда, когда . ${\displaystyle \langle \mathbf {c} :\wp (X)\to \mathrm {im} (\mathbf {c} );\iota :\mathrm {im} (\mathbf {c} )\hookrightarrow \wp (X)\rangle }$ ${\displaystyle \wp (X)}$ ${\displaystyle \mathrm {im} (\mathbf {c} )}$ ${\displaystyle \wp (X)}$ ${\displaystyle A\in \wp (X)}$ ${\displaystyle C\in \mathrm {im} (\mathbf {c} )}$ ${\displaystyle \mathbf {c} (A)\subseteq C}$ ${\displaystyle A\subseteq \iota (C)}$
• Если является подсемейством , то ${\displaystyle \{A_{i}\}_{i\in {\mathcal {I}}}}$ ${\displaystyle \wp (X)}$
  $${\displaystyle \bigcup _{i\in {\mathcal {I}}}\mathbf {c} (A_{i})\subseteq \mathbf {c} \left(\bigcup _{i\in {\mathcal {I}}}A_{i}\right),\qquad \mathbf {c} \left(\bigcap _{i\in {\mathcal {I}}}A_{i}\right)\subseteq \bigcap _{i\in {\mathcal {I}}}\mathbf {c} (A_{i}).}$$
• Если , то . ${\displaystyle A,B\in \wp (X)}$ ${\displaystyle \mathbf {c} (A)\setminus \mathbf {c} (B)\subseteq \mathbf {c} (A\setminus B)}$

Топологические концепции с точки зрения замыкания

Уточнения и подпространства

Пара замыканий Куратовского , таких что для всех индуцируют такие топологии , что и наоборот. Другими словами, доминирует тогда и только тогда, когда топология, индуцированная последним, является уточнением топологии, индуцированной первым, или, что то же самое , . ^[13] Например, явно доминирует (последнее просто тождество на ). Поскольку к тому же выводу можно прийти, заменяя семейство , содержащее дополнения всех своих членов, если оно наделено частичным порядком для всех и наделено уточняющим порядком, то мы можем заключить, что это антитоническое отображение между частично упорядоченными множествами. ${\displaystyle \mathbf {c} _{1},\mathbf {c} _{2}:\wp (X)\to \wp (X)}$ ${\displaystyle \mathbf {c} _{2}(A)\subseteq \mathbf {c} _{1}(A)}$ ${\displaystyle A\in \wp (X)}$ ${\displaystyle \tau _{1},\tau _{2}}$ ${\displaystyle \tau _{1}\subseteq \tau _{2}}$ ${\displaystyle \mathbf {c} _{1}}$ ${\displaystyle \mathbf {c} _{2}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {S}}[\mathbf {c} _{1}]\subseteq {\mathfrak {S}}[\mathbf {c} _{2}]}$ ${\displaystyle \mathbf {c} _{\top }}$ ${\displaystyle \mathbf {c} _{\bot }}$ ${\displaystyle \wp (X)}$ ${\displaystyle \tau _{i}}$ ${\displaystyle \kappa _{i}}$ ${\displaystyle \mathrm {Cls} _{\text{K}}(X)}$ ${\displaystyle \mathbf {c} \leq \mathbf {c} '\iff \mathbf {c} (A)\subseteq \mathbf {c} '(A)}$ ${\displaystyle A\in \wp (X)}$ ${\displaystyle \mathrm {Atp} (X)}$ ${\displaystyle {\mathfrak {S}}}$

В любой индуцированной топологии (относительно подмножества A ) замкнутые множества вызывают новый оператор замыкания, который является просто исходным оператором замыкания, ограниченным A : , для всех . ^[14] ${\displaystyle \mathbf {c} _{A}(B)=A\cap \mathbf {c} _{X}(B)}$ ${\displaystyle B\subseteq A}$

Непрерывные отображения, замкнутые отображения и гомеоморфизмы

Функция непрерывна в точке тогда и только тогда и только тогда, когда она непрерывна всюду тогда и только тогда, когда ${\displaystyle f:(X,\mathbf {c} )\to (Y,\mathbf {c} ')}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p\in \mathbf {c} (A)\Rightarrow f(p)\in \mathbf {c} '(f(A))}$

$${\displaystyle f(\mathbf {c} (A))\subseteq \mathbf {c} '(f(A))}$$

^[15][16]гомеоморфизмом^[17] ${\displaystyle A\in \wp (X)}$ ${\displaystyle f}$

Аксиомы разделения

Пусть – пространство замыкания Куратовского. Затем ${\displaystyle (X,\mathbf {c} )}$

• ${\displaystyle X}$является T ₀ -пространством тогда и только тогда, когда следует ; ^[18] ${\displaystyle x\neq y}$ ${\displaystyle \mathbf {c} (\{x\})\neq \mathbf {c} (\{y\})}$
• ${\displaystyle X}$является T ₁ -пространством тогда и только тогда , когда для всех ; ^[19] ${\displaystyle \mathbf {c} (\{x\})=\{x\}}$ ${\displaystyle x\in X}$
• ${\displaystyle X}$является T ₂ -пространством тогда и только тогда, когда следует, что существует набор такой, что оба и , где – оператор дополнения множества. ^[20] ${\displaystyle x\neq y}$ ${\displaystyle A\in \wp (X)}$ ${\displaystyle x\notin \mathbf {c} (A)}$ ${\displaystyle y\notin \mathbf {c} (\mathbf {n} (A))}$ ${\displaystyle \mathbf {n} }$

Близость и разлука

Точка близка к подмножеству , если это можно использовать для определения отношения близости к точкам и подмножествам множества. ^[21] ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle p\in \mathbf {c} (A).}$

Два множества разделены тогда и только тогда . Пространство связно тогда и только тогда , когда его нельзя записать как объединение двух разделенных подмножеств. ^[22] ${\displaystyle A,B\in \wp (X)}$ ${\displaystyle (A\cap \mathbf {c} (B))\cup (B\cap \mathbf {c} (A))=\varnothing }$ ${\displaystyle X}$

Смотрите также

• Характеристики категории топологических пространств.
• Чехический оператор закрытия  – Оператор закрытияPages displaying short descriptions of redirect targets
• Оператор замыкания  – математический операторPages displaying wikidata descriptions as a fallback
• Алгебра замыкания  – Алгебраическая структура
• Оператор предварительного закрытия  – Оператор закрытия
• Претопологическое пространство  - Обобщенное топологическое пространство.
• Топологическое пространство  - Математическое пространство с понятием близости.

Примечания

1. Куратовский (1922).
2. Монтейро (1945), с. 160.
3. Первин (1964), с. 44.
4. Первин (1964), с. 43, Упражнение 6.
5. Куратовский (1966), с. 38.
6. Архангельский и Федорчук (1990), с. 25.
7. "Закрытие Мура" . нЛаб . 7 марта 2015 года . Проверено 19 августа 2019 г.
8. Первин (1964), с. 42, Упражнение 5.
9. Монтейро (1945), с. 158.
10. Первин (1964), с. 46, Упражнение 4.
11. Архангельский и Федорчук (1990), с. 26.
12. Доказательство этого случая можно найти в разделе «Является ли следующий оператор замыкания Куратовского ?!». Обмен стеками . 21 ноября 2015 г. ${\displaystyle \lambda =\aleph _{0}}$
13. Первин (1964), с. 43, Упражнение 10.
14. Первин (1964), с. 49, теорема 3.4.3.
15. Первин (1964), с. 60, теорема 4.3.1.
16. Первин (1964), с. 66, Упражнение 3.
17. Первин (1964), с. 67, Упражнение 5.
18. Первин (1964), с. 69, теорема 5.1.1.
19. Первин (1964), с. 70, теорема 5.1.2.
20. Доказательство можно найти по этой ссылке.
21. Первин (1964), стр. 193–196.
22. Первин (1964), с. 51.

Рекомендации

• Куратовский, Казимеж (1922) [1920], «Sur l'opération A de l'Analysis Situs» [Об операции A в Analysis Situs] (PDF) , Fundamenta Mathematicae (на французском языке), vol. 3, стр. 182–199..
• Куратовский, Казимеж (1966) [1958], Топология , вып. Я, перевод Яворовски Дж., Academic Press, ISBN 0-12-429201-1, LCCN  66029221.
  • —— (2010). «Об операции «Анализ ситуации». Исследовательские ворота . Перевод Марка Боурона.
• Первин, Уильям Дж. (1964), Боас, Ральф П. младший (редактор), Основы общей топологии , Academic Press, ISBN 9781483225159, LCCN  64-17796.
• Архангельский А.В.; Федорчук В.В. (1990) [1988], Гамкрелидзе Р.В.; Архангельский А.В.; Понтрягин Л.С. (ред.), Общая топология I , Энциклопедия математических наук, вып. 17, перевод О'Ши, DB, Берлин: Springer-Verlag, ISBN 978-3-642-64767-3, ЛЦН  89-26209.
• Монтейро, Антониу (1945), «Caractérisation de l'opération de freture par un seul axiome» [Характеристика операции замыкания одной аксиомой], Portugaliae mathematica (на французском языке), vol. 4, нет. Т. 4, стр. 158–160, МР  0012310, Збл  0060.39406.

Внешние ссылки

• Альтернативные характеристики топологических пространств.