Алгебра над полем

В математике алгебра над полем (часто называемая просто алгеброй ) — это векторное пространство, снабженное билинейным произведением . Таким образом, алгебра — это алгебраическая структура, состоящая из множества вместе с операциями умножения и сложения и скалярного умножения на элементы поля и удовлетворяющая аксиомам, подразумеваемым под «векторным пространством» и «билинейным». ^[1]

Операция умножения в алгебре может быть или не быть ассоциативной , что приводит к понятиям ассоциативных алгебр и неассоциативных алгебр . При заданном целом числе n кольцо действительных квадратных матриц порядка n является примером ассоциативной алгебры над полем действительных чисел относительно сложения матриц и умножения матриц, поскольку умножение матриц ассоциативно. Трехмерное евклидово пространство с умножением, заданным векторным перекрестным произведением, является примером неассоциативной алгебры над полем действительных чисел, поскольку векторное перекрестное произведение неассоциативно, удовлетворяя вместо этого тождеству Якоби .

Алгебра является унитальной или унитарной , если она имеет единичный элемент относительно умножения. Кольцо действительных квадратных матриц порядка n образует унитальную алгебру, поскольку единичная матрица порядка n является единичным элементом относительно умножения матриц. Это пример унитальной ассоциативной алгебры, (унитального) кольца , которое также является векторным пространством.

Многие авторы используют термин «алгебра» для обозначения ассоциативной алгебры или унитальной ассоциативной алгебры , а в некоторых предметах, таких как алгебраическая геометрия , унитальной ассоциативной коммутативной алгебры .

Замена поля скаляров коммутативным кольцом приводит к более общему понятию алгебры над кольцом. Алгебры не следует путать с векторными пространствами, снабженными билинейной формой , как пространства внутреннего произведения , поскольку для такого пространства результат произведения находится не в пространстве, а в поле коэффициентов.

Определение и мотивация

Мотивирующие примеры

Определение

Пусть $K$ — поле , а $A$ — векторное пространство над $K,$ снабженное дополнительной бинарной операцией из $A \times A$ в $A$ , обозначенной здесь как $\cdot$ (то есть, если $x$ и $y$ $—$ любые два элемента $A$ , то $x \cdot y$ — элемент $A$ , который называется произведением x и $y$ ). Тогда $A$ является алгеброй над $K ,$ если следующие тождества выполняются для всех элементов $x$ $,$ $y$ $,$ $z$ в $A$ , и всех элементов (часто называемых скалярами ) $a$ и $b$ в $K$ :

Правая дистрибутивность : $(x + y) \cdot z = x \cdot z + y \cdot z$
Левая дистрибутивность: $z \cdot (x + y) = z \cdot x + z \cdot y$
Совместимость со скалярами: $(ax) \cdot (by) = (ab) (x \cdot y)$ .

Эти три аксиомы — еще один способ сказать, что бинарная операция является билинейной . Алгебра над $K$ иногда также называется $K$ -алгеброй , а $K$ называется базовым полем A. $Бинарная$ операция часто называется умножением в $A.$ Соглашение, принятое в этой статье, заключается в том, что умножение элементов алгебры не обязательно ассоциативно , хотя некоторые авторы используют термин алгебра для обозначения ассоциативной алгебры .

Когда бинарная операция на векторном пространстве коммутативна , левая дистрибутивность и правая дистрибутивность эквивалентны, и в этом случае только одна дистрибутивность требует доказательства. В общем случае для некоммутативных операций левая дистрибутивность и правая дистрибутивность не эквивалентны и требуют отдельных доказательств.

Основные понятия

Гомоморфизмы алгебры

$Для данных K -алгебр A и B гомоморфизм K -алгебр или гомоморфизм K -алгебр - это K$ -линейное $отображение$ f $:$ A $\to$ B такое , что f $($ xy ) $=$ f ( $x$ $)$ $f$ $($ $y$ ) $для$ $всех$ $x$ $,$ $y$ $из$ $A$ $.$ $Если$ $A$ $и$ $B$ унитальны $,$ $то$ $гомоморфизм$ , $удовлетворяющий$ f $($ 1 $A$ ) $=$ $1$ $B$ $,$ $называется$ унитальны гомоморфизмом. Пространство всех гомоморфизмов $K$ -алгебр между $A$ и $B$ часто записывается как

\mathbf {Hom} _{K{\text{-alg}}}(A,B).

Изоморфизм $K$ -алгебр — это биективный гомоморфизм $K$ -алгебр.

Подалгебры и идеалы

Подалгебра алгебры над полем K — это линейное подпространство , обладающее тем свойством, что произведение любых двух его элементов снова находится в подпространстве. Другими словами, подалгебра алгебры — это непустое подмножество элементов, замкнутое относительно сложения, умножения и скалярного умножения. В символах мы говорим, что подмножество L K - алгебры A является подалгеброй, если для любых x , y из L и c из K , мы имеем, что x · y , x + y и cx все находятся в L .

В приведенном выше примере комплексных чисел, рассматриваемых как двумерная алгебра над действительными числами, одномерная действительная прямая является подалгеброй.

Левый идеал K -алгебры — это линейное подпространство, обладающее тем свойством , что любой элемент подпространства, умноженный слева на любой элемент алгебры, даёт элемент подпространства. В символах мы говорим, что подмножество L K -алгебры A является левым идеалом , если для любых x и y в L , z в A и c в K , мы имеем следующие три утверждения.

x + y находится в L ( L замкнуто относительно сложения),
cx находится в L ( L замкнуто относительно скалярного умножения),
z · x принадлежит L ( L замкнуто относительно левого умножения на произвольные элементы).

Если (3) заменить на x · z is in L , то это определило бы правый идеал . Двусторонний идеал — это подмножество, которое является как левым, так и правым идеалом. Термин идеал сам по себе обычно используется для обозначения двустороннего идеала. Конечно, когда алгебра коммутативна, то все эти понятия идеала эквивалентны. Условия (1) и (2) вместе эквивалентны тому, что L является линейным подпространством A . Из условия (3) следует, что каждый левый или правый идеал является подалгеброй.

Это определение отличается от определения идеала кольца тем, что здесь требуется условие (2). Конечно, если алгебра унитальна, то условие (3) влечет условие (2).

Расширение скаляров

Если у нас есть расширение поля F / K , то есть большее поле F , содержащее K , то есть естественный способ построить алгебру над F из любой алгебры над K . Это та же конструкция, которую используют для создания векторного пространства над большим полем, а именно тензорное произведение . Так что если A — алгебра над K , то — алгебра над F . $V_{F}:=V\otimes _{K}F$ $A_{F}$

Виды алгебр и примеры

Алгебры над полями бывают разных типов. Эти типы определяются путем настаивания на некоторых дополнительных аксиомах, таких как коммутативность или ассоциативность операции умножения, которые не требуются в широком определении алгебры. Теории, соответствующие разным типам алгебр, часто сильно различаются.

Унитальная алгебра

Алгебра является унитарной или единичной , если она имеет единичный или тождественный элемент I с Ix = x = xI для всех x в алгебре.

Нулевая алгебра

Алгебра называется нулевой алгеброй, если uv = 0 для всех u , v в алгебре, ^[2] не путать с алгеброй с одним элементом. Она по своей сути неунитальна (за исключением случая только одного элемента), ассоциативна и коммутативна.

Можно определить алгебру с унитальным нулем, взяв прямую сумму модулей поля (или, более общо, кольца) K и K -векторного пространства (или модуля) V и определив произведение каждой пары элементов V как равное нулю. То есть, если λ , μ ∈ K и u , v ∈ V , то ( λ + u ) ( μ + v ) = λμ + ( λv + μu ) . Если e ₁ , ... e _d является базисом V , алгебра с унитальным нулем является фактором кольца многочленов K [ E ₁ , ..., En _] по идеалу, _{порожденному} E i _E j для каждой пары ( i , j ) .

Примером алгебры с единичным нулем является алгебра дуальных чисел , R -алгебра с единичным нулем, построенная из одномерного действительного векторного пространства.

Эти алгебры с единичным нулем могут быть более полезны в общем случае, поскольку они позволяют перевести любое общее свойство алгебр в свойства векторных пространств или модулей . Например, теория базисов Грёбнера была введена Бруно Бухбергером для идеалов в кольце полиномов R = K [ x ₁ , ..., x _n ] над полем. Построение алгебры с единичным нулем над свободным R -модулем позволяет расширить эту теорию как теорию базисов Грёбнера для подмодулей свободного модуля. Это расширение позволяет для вычисления базиса Грёбнера подмодуля использовать без каких-либо изменений любой алгоритм и любое программное обеспечение для вычисления базисов Грёбнера идеалов.

Ассоциативная алгебра

Примеры ассоциативных алгебр включают в себя

алгебра всех матриц размера n на n над полем (или коммутативным кольцом) K. Здесь умножение — обычное умножение матриц .
групповые алгебры , где группа служит основой векторного пространства, а алгебраическое умножение расширяет групповое умножение.
коммутативная алгебра K [ x ] всех многочленов над K (см. кольцо многочленов ).
алгебры функций , такие как R -алгебра всех действительнозначных непрерывных функций, определенных на интервале [0,1], или C -алгебра всех голоморфных функций, определенных на некотором фиксированном открытом множестве в комплексной плоскости . Они также коммутативны.
Алгебры инцидентности строятся на некоторых частично упорядоченных множествах .
алгебры линейных операторов , например, в гильбертовом пространстве . Здесь умножение алгебры задается композицией операторов . Эти алгебры также несут топологию ; многие из них определены в базовом банаховом пространстве , что превращает их в банаховы алгебры . Если задана также инволюция, мы получаем B*-алгебры и C*-алгебры . Они изучаются в функциональном анализе .

Неассоциативная алгебра

Неассоциативная алгебра [ ^3] (или дистрибутивная алгебра ) над полем K — это K -векторное пространство A, снабженное K - билинейным отображением . Использование термина «неассоциативный» здесь подразумевает, что ассоциативность не предполагается, но это не означает, что она запрещена — то есть это означает «не обязательно ассоциативный». $A\times A\rightarrow A$

Примеры, подробно описанные в основной статье, включают:

Алгебры и кольца

Определение ассоциативной K -алгебры с единицей часто дается и в альтернативном виде. В этом случае алгебра над полем K — это кольцо A вместе с кольцевым гомоморфизмом

\eta \colon K\to Z(A),

где Z ( A ) — центр A . Поскольку η — кольцевой гомоморфизм, то должно быть либо A — нулевое кольцо , либо η — инъективно . Это определение эквивалентно определению выше со скалярным умножением

K\times A\to A

предоставлено

(k,a)\mapsto \eta (k)a.

Для двух таких ассоциативных унитальных K -алгебр A и B гомоморфизм унитальной K -алгебры f : A → B является кольцевым гомоморфизмом, который коммутирует со скалярным умножением, определяемым η , что можно записать как

f(ka)=kf(a)

для всех и . Другими словами, следующая диаграмма коммутирует: $k\in K$ $a\in A$

{\begin{matrix}&&K&&\\&\eta _{A}\swarrow &\,&\eta _{B}\searrow &\\A&&{\begin{matrix}f\\\longrightarrow \end{matrix}}&&B\end{matrix}}

Коэффициенты структуры

Для алгебр над полем билинейное умножение из A × A в A полностью определяется умножением базисных элементов A. Наоборот, как только базис для A выбран, произведения базисных элементов могут быть заданы произвольно, а затем расширены единственным образом до билинейного оператора на A , т. е. так, чтобы результирующее умножение удовлетворяло законам алгебры.

Таким образом, при заданном поле K любая конечномерная алгебра может быть определена с точностью до изоморфизма путем указания ее размерности (скажем, n ) и указания n ³ структурных коэффициентов c _{i , j , k} , которые являются скалярами . Эти структурные коэффициенты определяют умножение в A по следующему правилу:

\mathbf {e} _{i}\mathbf {e} _{j}=\sum _{k=1}^{n}c_{i,j,k}\mathbf {e} _{k}

где e ₁ ,..., e _n образуют базис A .

Однако следует отметить, что несколько различных наборов структурных коэффициентов могут привести к появлению изоморфных алгебр.

В математической физике структурные коэффициенты обычно записываются с верхними и нижними индексами, чтобы различать их свойства преобразования при преобразованиях координат. В частности, нижние индексы являются ковариантными индексами и преобразуются посредством обратных протяжек , в то время как верхние индексы являются контрвариантными , преобразуясь при протяжках . Таким образом, структурные коэффициенты часто записываются c _{i , j}^k , а их определяющее правило записывается с использованием обозначений Эйнштейна как

е _i е _j = с _{i , j}^k е _k .

Если применить это к векторам, записанным в индексной нотации , то это становится

( ху ) ^к = с _{i , j}^к x ⁱ y ^j .

Если K — это только коммутативное кольцо, а не поле, то тот же процесс работает, если A — свободный модуль над K. Если это не так, то умножение по-прежнему полностью определяется его действием на множестве, охватывающем A ; однако в этом случае структурные константы не могут быть заданы произвольно, и знание только структурных констант не определяет алгебру с точностью до изоморфизма.

Классификация маломерных унитальных ассоциативных алгебр над комплексными числами

Двумерные, трехмерные и четырехмерные унитальные ассоциативные алгебры над полем комплексных чисел были полностью классифицированы с точностью до изоморфизма Эдуардом Штудием . ^[4]

Существуют две такие двумерные алгебры. Каждая алгебра состоит из линейных комбинаций (с комплексными коэффициентами) двух базисных элементов, 1 (элемента тождества) и a . Согласно определению элемента тождества,

\textstyle 1\cdot 1=1\,,\quad 1\cdot a=a\,,\quad a\cdot 1=a\,.

Осталось уточнить

\textstyle aa=1

для первой алгебры,

\textstyle aa=0

для второй алгебры.

Существует пять таких трехмерных алгебр. Каждая алгебра состоит из линейных комбинаций трех базисных элементов, 1 (элемент единицы), a и b . Учитывая определение элемента единицы, достаточно указать

\textstyle aa=a\,,\quad bb=b\,,\quad ab=ba=0

для первой алгебры,

\textstyle aa=a\,,\quad bb=0\,,\quad ab=ba=0

для второй алгебры,

\textstyle aa=b\,,\quad bb=0\,,\quad ab=ba=0

для третьей алгебры,

\textstyle aa=1\,,\quad bb=0\,,\quad ab=-ba=b

для четвертой алгебры,

\textstyle aa=0\,,\quad bb=0\,,\quad ab=ba=0

для пятой алгебры.

Четвертая из этих алгебр некоммутативна, а остальные коммутативны.

Обобщение: алгебра над кольцом

В некоторых областях математики, таких как коммутативная алгебра , принято рассматривать более общее понятие алгебры над кольцом , где коммутативное кольцо R заменяет поле K. Единственная часть определения, которая меняется, заключается в том, что A предполагается R -модулем (вместо K -векторного пространства).

Ассоциативные алгебры над кольцами

Кольцо A всегда является ассоциативной алгеброй над своим центром и над целыми числами . Классическим примером алгебры над своим центром является расщепленная бикватернионная алгебра , которая изоморфна , прямому произведению двух кватернионных алгебр . Центром этого кольца является , и, следовательно, оно имеет структуру алгебры над своим центром, который не является полем. Обратите внимание, что расщепленная бикватернионная алгебра также является естественной 8-мерной -алгеброй. $\mathbb {H} \times \mathbb {H}$ $\mathbb {R} \times \mathbb {R}$ $\mathbb {R}$

В коммутативной алгебре, если A является коммутативным кольцом , то любой гомоморфизм кольца с единицей определяет структуру R -модуля на A , и это то, что известно как структура R -алгебры. ^[5] Таким образом, кольцо имеет естественную структуру -модуля, поскольку можно взять единственный гомоморфизм . ^[6] С другой стороны, не всем кольцам можно придать структуру алгебры над полем (например, целые числа). См. Поле с одним элементом для описания попытки придать каждому кольцу структуру, которая ведет себя как алгебра над полем. $R\to A$ $\mathbb {Z}$ $\mathbb {Z} \to A$

Смотрите также

Примечания

^ См. также Хазевинкель, Губарени и Кириченко 2004, с. 3 Предложение 1.1.1
^ Prolla, João B. (2011) [1977]. "Лемма 4.10". Аппроксимация векторнозначных функций . Elsevier. стр. 65. ISBN 978-0-08-087136-3.
^ Шефер, Ричард Д. (1996). Введение в неассоциативные алгебры. ISBN 0-486-68813-5.
^ Исследование, Э. (1890), «Über Systeme complexer Zahlen und ihre Anwendungen in der Theorie der Transformationsgruppen», Monatshefte für Mathematik , 1 (1): 283–354, doi : 10.1007/BF01692479, S2CID 121426669
^ Мацумура, Х. (1989). Коммутативная теория колец. Cambridge Studies in Advanced Mathematics. Том 8. Перевод Рида, М. (2-е изд.). Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-36764-6.
^ Кунц, Эрнст (1985). Введение в коммутативную алгебру и алгебраическую геометрию . Биркхаузер. ISBN 0-8176-3065-1.

Ссылки

Хазевинкель, Михель ; Губарени, Надежда; Кириченко, Владимир Владимирович (2004). Алгебры, кольца и модули . Том. 1. Спрингер. ISBN 1-4020-2690-0.