алгебра Вана

Алгебраическая структура в теории сетей

В алгебре и теории сетей алгебра Вана — это коммутативная алгебра над полем или (в более общем смысле) коммутативным унитальным кольцом , в котором имеет два дополнительных свойства: (Правило i) Для всех элементов x из , x + x = 0 (универсальная аддитивная нильпотентность степени 1). (Правило ii) Для всех элементов x из , x ⋅ x = 0 (универсальная мультипликативная нильпотентность степени 1). ^{[1] [2]} ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$
${\displaystyle A}$
${\displaystyle A}$

История и применение

Правила (i) и (ii) были первоначально опубликованы К. Т. Ваном (Ван Ки-Тунг, 王季同) в 1934 году как часть метода анализа электрических сетей. ^[3] С 1935 по 1940 год несколько китайских исследователей электротехники опубликовали статьи по этому методу. Первоначальная алгебра Вана — это алгебра Грассмана над конечным полем mod 2. [ ^1] На 57-м ежегодном собрании Американского математического общества , состоявшемся 27–29 декабря 1950 года, Рауль Ботт и Ричард Даффин представили концепцию алгебры Вана в своей аннотации (номер 144 t ) Алгебра Вана сетей . Они дали интерпретацию алгебры Вана как особого типа алгебры Грассмана mod 2. ^[4] В 1969 году Вай-Кай Чен использовал формулировку алгебры Вана, чтобы объединить несколько различных методов генерации деревьев графа . ^[5] Формулировка алгебры Вана использовалась для систематической генерации шаблонов направленных графов Кинга-Альтмана. Такие шаблоны полезны при выводе уравнений скорости в теории кинетики ферментов. ^[6]

По словам Го Цзиньхая, профессора Института истории естественных наук Китайской академии наук , новаторский метод анализа электрических сетей Ван Ки Туна значительно продвинул электротехнику не только в Китае, но и во всем мире; формулировка алгебры Вана полезна в электрических сетях для решения задач, включающих топологические методы, теорию графов и гамильтоновы циклы. ^[7]

Алгебра Вана и остовные деревья графа

Правила Вана для нахождения всех остовных деревьев графа G ^[8]

1. Для каждого узла запишите сумму всех меток ребер, соответствующих этому узлу.
2. Исключим один узел и возьмем произведение сумм меток всех оставшихся узлов.
3. Разложите произведение на 2, используя алгебру Вана.
4. Члены суммы разложения, полученные в п. 3, находятся в однозначном соответствии с остовными деревьями в графе.

Ссылки

1. Даффин, Р. Дж. (1959). «Анализ алгебры Вана сетей». Trans. Amer. Math. Soc . 93 : 114–131. doi : 10.1090/s0002-9947-1959-0109161-6 . MR  0109161.
2. Чен, Вай-Кай (2 декабря 2012 г.). «5.4 Формулировка алгебры Вана». Прикладная теория графов . Северная Голландия. С. 332–352. ISBN 9780444601933.стр. 333, стр. 334
3. KT Wang (1934). «О новом методе анализа электрических сетей». Мемуары 2. Национальный научно-исследовательский институт инженерии, Academia Sinica.
4. Whyburn, WM (март 1951 г.). «Ежегодное собрание общества». Бюллетень Американского математического общества . 57 (2): 109–152. doi : 10.1090/S0002-9904-1951-09479-3 . MR  1565283. S2CID  120638163.(См. стр. 136.)
5. Чен, Вай-Кай (1969). «Единая теория генерации деревьев графа. Часть I. Формулировка алгебры Вана». International Journal of Electronics . 27 (2): 101–117. doi :10.1080/00207216908900016.
6. Qi, Feng; Dash, Ranjan K.; Han, Yu; Beard, Daniel A. (2009). «Создание уравнений скорости для сложных ферментных систем с помощью компьютерного систематического метода». BMC Bioinformatics . 10 : 238. doi : 10.1186/1471-2105-10-238 . PMC 2729780. PMID  19653903 . 
7. 郭金海 (Го Цзиньхай) (2003). «王季同的电网络分析新方法及其学术影响 (Новый метод Ван Ки-Дуна для анализа электрических сетей и его научного влияния)». Китайский журнал истории науки и техники, № 4 . Институт истории естественных наук Китайской академии наук: 33–40.
8. Кауфман, Луис Х. «Алгебра Вана и остовные деревья графа» (PDF) . Математический факультет, Чикагский университет, Иллинойс .