Алгебраическая независимость

Набор без нетривиальных полиномиальных равенств

В абстрактной алгебре подмножество поля алгебраически независимо над подполем , если элементы не удовлетворяют никакому нетривиальному полиномиальному уравнению с коэффициентами из . ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle K}$

В частности, одноэлементное множество является алгебраически независимым над тогда и только тогда, когда оно трансцендентно над . В общем, все элементы алгебраически независимого множества над по необходимости трансцендентны над и над всеми расширениями полей над , порожденными остальными элементами . ${\displaystyle \{\alpha \}}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle S}$

Пример

Каждое из двух действительных чисел и является трансцендентным числом : они не являются корнями какого-либо нетривиального многочлена, коэффициенты которого являются рациональными числами . Таким образом, каждое из двух одноэлементных множеств и алгебраически независимо над полем рациональных чисел. ${\displaystyle {\sqrt {\pi }}}$ ${\displaystyle 2\pi +1}$ ${\displaystyle \{{\sqrt {\pi }}\}}$ ${\displaystyle \{2\pi +1\}}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$

Однако множество не является алгебраически независимым над рациональными числами, поскольку нетривиальный полином ${\displaystyle \{{\sqrt {\pi }},2\pi +1\}}$

${\displaystyle P(x,y)=2x^{2}-y+1}$

равен нулю, когда и . ${\displaystyle x={\sqrt {\pi }}}$ ${\displaystyle y=2\pi +1}$

Алгебраическая независимость известных констант

Хотя известно, что оба и e трансцендентны, неизвестно, является ли набор их обоих алгебраически независимым над . ^[1] На самом деле, даже неизвестно, является ли это иррациональным. ^[2] Нестеренко доказал в 1996 году, что: ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \pi +e}$

• числа , , и , где – гамма-функция , алгебраически независимы над . ^[3] ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle e^{\pi }}$ ${\displaystyle \Gamma (1/4)}$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$
• числа и алгебраически независимы над . ${\displaystyle e^{\pi {\sqrt {3}}}}$ ${\displaystyle \Gamma (1/3)}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$
• для всех положительных целых чисел число алгебраически независимо над . ^[4] ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle e^{\pi {\sqrt {n}}}}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$

Теорема Линдеманна – Вейерштрасса

Теорему Линдеманна -Вейерштрасса часто можно использовать для доказательства того, что некоторые множества алгебраически независимы над . Он утверждает, что всякий раз, когда алгебраические числа линейно независимы над , то они также алгебраически независимы над . ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle e^{\alpha _{1}},\ldots ,e^{\alpha _{n}}}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$

Алгебраические матроиды

Учитывая расширение поля , которое не является алгебраическим, лемму Цорна можно использовать, чтобы показать, что всегда существует максимальное алгебраически независимое подмножество над . Далее, все максимальные алгебраически независимые подмножества имеют одинаковую мощность , известную как степень трансцендентности расширения. ${\displaystyle L/K}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle K}$

Для каждого набора элементов алгебраически независимые подмножества удовлетворяют аксиомам, определяющим независимые множества матроида . В этом матроиде ранг набора элементов — это его степень трансцендентности, а плоскость, порожденная набором элементов, — это пересечение с полем . Матроид, который можно сгенерировать таким способом, называется алгебраическим матроидом . Никакой хорошей характеристики алгебраических матроидов не известно, но известно, что некоторые матроиды неалгебраичны; самый маленький — матроид Вамоса . ^[5] ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle K[T]}$

Многие конечные матроиды могут быть представлены матрицей над полем , в которой элементы матроида соответствуют столбцам матрицы, а набор элементов является независимым, если соответствующий набор столбцов линейно независим . Каждый матроид с линейным представлением этого типа также может быть представлен как алгебраический матроид, выбирая неопределенное число для каждой строки матрицы и используя матричные коэффициенты в каждом столбце, чтобы назначить каждому элементу матроида линейную комбинацию этих трансцендентных чисел. Обратное неверно: не каждый алгебраический матроид имеет линейное представление. ^[6] ${\displaystyle K}$

Рекомендации

1. Патрик Моранди (1996). Поле и теория Галуа. Спрингер. п. 174. ИСБН 978-0-387-94753-2. Проверено 11 апреля 2008 г.
2. Грин, Бен (2008), «III.41 Иррациональные и трансцендентные числа», в Гауэрс, Тимоти (редактор), The Princeton Companion to Mathematics , Princeton University Press, стр. 222
3. Манин, Ю. Я .; Панчишкин А.А. (2007). Введение в современную теорию чисел . Энциклопедия математических наук. Том. 49 (Второе изд.). п. 61. ИСБН 978-3-540-20364-3. ISSN  0938-0396. Збл  1079.11002.
4. Нестеренко, Юрий В (1996). «Модульные функции и проблемы трансцендентности». Comptes Rendus de l'Académie des Sciences, Série I. 322 (10): 909–914.
5. Инглтон, AW; Мейн, Р.А. (1975), «Неалгебраические матроиды существуют», Бюллетень Лондонского математического общества , 7 (2): 144–146, doi : 10.1112/blms/7.2.144, MR  0369110.
6. Джоши, К.Д. (1997), Прикладные дискретные структуры, New Age International, стр. 909, ISBN 9788122408263.

Внешние ссылки

• Чен, Джонни. «Алгебраически независимый». Математический мир .