Морава К-теория

Теория когомологий

В стабильной гомотопической теории , разделе математики , Морава K-теория является одной из коллекции теорий когомологий, введенных в алгебраическую топологию Джеком Моравой в неопубликованных препринтах в начале 1970-х годов. Для каждого простого числа p (которое опущено в обозначениях), она состоит из теорий K ( n ) для каждого неотрицательного целого числа n , каждая из которых является кольцевым спектром в смысле гомотопической теории . Джонсон и Уилсон (1975) опубликовали первое описание теорий.

Подробности

Теория K (0) согласуется с сингулярной гомологией с рациональными коэффициентами, тогда как K (1) является слагаемым mod- p комплексной K-теории . Теория K ( n ) имеет кольцо коэффициентов

F _p [ v _n , v _n ⁻¹ ]

где v _n имеет степень 2( p ⁿ  − 1). В частности, Морава K-теория периодична с этим периодом, во многом так же, как комплексная K-теория имеет период 2.

Эти теории обладают несколькими замечательными свойствами.

• Они имеют изоморфизмы Кюннета для произвольных пар пространств: то есть для комплексов X и Y CW мы имеем

${\displaystyle K(n)_{*}(X\times Y)\cong K(n)_{*}(X)\otimes _{K(n)_{*}}K(n)_{*}(Y).}$

• Они являются «полями» в категории кольцевых спектров . Другими словами, каждый модульный спектр над K ( n ) свободен, т.е. представляет собой клин подвесок K ( n ) .
• Они являются комплексно-ориентированными (по крайней мере, после периодизации путем взятия суммы клина ( p ⁿ  − 1) сдвинутых копий), а формальная группа, которую они определяют, имеет высоту n .
• Каждый конечный p -локальный спектр X обладает свойством K ( n ) _∗ ( X ) = 0 тогда и только тогда, когда n меньше некоторого числа N , называемого типом спектра X . По теореме Девинаца– Хопкинса –Смита каждая толстая подкатегория категории конечных p -локальных спектров является подкатегорией спектров типа n для некоторого n .

Смотрите также

• Хроматическая гомотопическая теория
• Морава E-теория

Ссылки

• Джонсон, Дэвид Коупленд; Уилсон, В. Стивен (1975), "Операции BP и необычные K-теории Моравы.", Math. Z. , 144 (1): 55&minus, 75, doi :10.1007/BF01214408, MR  0377856
• Хови-Стрикленд, «Моравская К-теория и локализация»
• Равенел, Дуглас К. (1992), Нильпотентность и периодичность в стабильной гомотопической теории , Annals of Mathematics Studies, т. 128, Princeton University Press, MR  1192553
• Вюрглер, Урс (1991), «K-теории Моравы: обзор», Алгебраическая топология Познань 1989 , Lecture Notes in Math., т. 1474, Берлин: Springer, стр. 111–138, doi :10.1007/BFb0084741, ISBN 978-3-540-54098-4, г-н  1133896