Алгебраическое число

Комплексное число, являющееся корнем ненулевого многочлена от одной переменной с рациональными коэффициентами

Квадратный корень из 2 — это алгебраическое число, равное длине гипотенузы прямоугольного треугольника с катетами длиной 1.

Алгебраическое число — это число, которое является корнем ненулевого многочлена (конечной степени) от одной переменной с целыми (или, что эквивалентно, рациональными ) коэффициентами. Например, золотое сечение , , является алгебраическим числом, поскольку является корнем многочлена x ² − x − 1 . То есть, это значение для x, при котором многочлен равен нулю. В качестве другого примера, комплексное число является алгебраическим, поскольку оно является корнем x ⁴ + 4 . ${\displaystyle (1+{\sqrt {5}})/2}$ ${\displaystyle 1+i}$

Все целые и рациональные числа являются алгебраическими, как и все корни целых чисел . Действительные и комплексные числа, которые не являются алгебраическими, такие как π и e , называются трансцендентными числами .

Множество алгебраических (комплексных) чисел счетно бесконечно и имеет меру нулевую по мере Лебега как подмножество несчетных комплексных чисел. В этом смысле почти все комплексные числа трансцендентны . Аналогично, множество алгебраических (действительных) чисел счетно бесконечно и имеет меру нулевую по мере Лебега как подмножество действительных чисел, и в этом смысле почти все действительные числа трансцендентны.

Примеры

• Все рациональные числа являются алгебраическими. Любое рациональное число, выраженное как частное целого числа a и (ненулевого) натурального числа b , удовлетворяет приведенному выше определению, поскольку x = ⁠а/б⁠ — корень ненулевого многочлена, а именно bx − a . ^[1]
• Квадратичные иррациональные числа , иррациональные решения квадратного многочлена ax ² + bx + c с целыми коэффициентами a , b , и c , являются алгебраическими числами. Если квадратный многочлен является моническим ( a = 1 ), корни далее квалифицируются как квадратные целые числа .
  • Гауссовы целые числа , комплексные числа a + bi , для которых и a, и b являются целыми числами, также являются квадратными целыми числами. Это потому, что a + bi и a − bi являются двумя корнями квадратного уравнения x ² − 2 ax + a ² + b ² .
• Конструируемое число может быть построено из заданной единичной длины с помощью линейки и циркуля. Оно включает в себя все квадратные иррациональные корни, все рациональные числа и все числа, которые могут быть образованы из них с помощью основных арифметических операций и извлечения квадратных корней. (Обозначая основные направления для +1, −1, + i и − i , такие комплексные числа считаются конструируемыми.) ${\displaystyle 3+i{\sqrt {2}}}$
• Любое выражение, образованное из алгебраических чисел с использованием любой комбинации основных арифметических операций и извлечения корней n- й степени , дает другое алгебраическое число.
• Полиномиальные корни, которые не могут быть выражены в терминах основных арифметических операций и извлечения n -ных корней (например, корни x ⁵ − x + 1 ). Это происходит со многими , но не со всеми полиномами степени 5 или выше.
• Значения тригонометрических функций рациональных кратных π (за исключением случаев, когда они не определены): например, cos ⁠π/7⁠ , потому что ⁠3π​/7⁠ , и cos ⁠5π​/7⁠ удовлетворяют 8 x ³ − 4 x ² − 4 x + 1 = 0 . Этот многочлен неприводим над рациональными числами, и поэтому три косинуса являются сопряженными алгебраическими числами. Аналогично, tan ⁠3π​/16⁠ , загар ⁠7π​/16⁠ , загар ⁠11π​/16⁠ , и загар ⁠15π​/16⁠ удовлетворяют неприводимому многочлену x ⁴ − 4 x ³ − 6 x ² + 4 x + 1 = 0 , и поэтому являются сопряженными алгебраическими целыми числами . Это эквивалент углов, которые, будучи измерены в градусах, имеют рациональные числа. ^[2]
• Некоторые, но не все иррациональные числа являются алгебраическими:
  • Числа и являются алгебраическими, поскольку они являются корнями многочленов x ² − 2 и 8 x ³ − 3 соответственно. ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ ${\displaystyle {\frac {\sqrt[{3}]{3}}{2}}}$
  • Золотое сечение φ является алгебраическим, поскольку является корнем многочлена x ² − x − 1 .
  • Числа π и e не являются алгебраическими числами (см. теорему Линдемана–Вейерштрасса ). ^[3]

Характеристики

Алгебраические числа на комплексной плоскости, раскрашенные по степени (ярко-оранжевый/красный = 1, зеленый = 2, синий = 3, желтый = 4). Более крупные точки соответствуют многочленам с меньшими целыми коэффициентами.

• Если многочлен с рациональными коэффициентами умножить на наименьший общий знаменатель , то полученный многочлен с целыми коэффициентами имеет те же корни. Это показывает, что алгебраическое число может быть эквивалентно определено как корень многочлена с целыми или рациональными коэффициентами.
• Для данного алгебраического числа существует единственный монический многочлен с рациональными коэффициентами наименьшей степени , имеющий это число в качестве корня. Этот многочлен называется его минимальным многочленом . Если его минимальный многочлен имеет степень n , то говорят, что алгебраическое число имеет степень n . Например, все рациональные числа имеют степень 1, а алгебраическое число степени 2 является квадратичным иррациональным .
• Алгебраические числа плотны в действительных числах . Это следует из того факта, что они содержат рациональные числа, которые плотны в самих действительных числах.
• Множество алгебраических чисел счетно (перечислимо), ^{[4] [5]} и поэтому его мера Лебега как подмножества комплексных чисел равна 0 (по сути, алгебраические числа не занимают места в комплексных числах). То есть, «почти все» действительные и комплексные числа являются трансцендентными.
• Все алгебраические числа вычислимы и, следовательно, определимы и арифметичны .
• Для действительных чисел a и b комплексное число a + bi является алгебраическим тогда и только тогда, когда оба числа a и b являются алгебраическими. ^[6]

Степень простоты расширения рациональных чисел как критерий алгебраичности

Для любого α простое расширение рациональных чисел посредством α , обозначаемое как , имеет конечную степень тогда и только тогда, когда α является алгебраическим числом. ${\displaystyle \mathbb {Q} (\alpha )\equiv \{\sum _{i=-{n_{1}}}^{n_{2}}\alpha ^{i}q_{i}|q_{i}\in \mathbb {Q} ,n_{1},n_{2}\in \mathbb {N} \}}$

Условие конечной степени означает, что существует конечное множество в такое, что ; то есть каждый член в можно записать как для некоторых рациональных чисел (обратите внимание, что множество фиксировано). ${\displaystyle \{a_{i}|1\leq i\leq k\}}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} (\alpha )}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} (\alpha )=\sum _{i=1}^{k}a_{i}\mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \mathbb {Q} (\alpha )}$ ${\displaystyle \sum _{i=1}^{k}a_{i}q_{i}}$ ${\displaystyle \{q_{i}|1\leq i\leq k\}}$ ${\displaystyle \{a_{i}\}}$

Действительно, поскольку сами являются членами , каждый из них может быть выражен как сумма произведений рациональных чисел и степеней α , и поэтому это условие эквивалентно требованию, чтобы для некоторого конечного , . ${\displaystyle a_{i}-s}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} (\alpha )}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} (\alpha )=\{\sum _{i=-n}^{n}\alpha ^{i}q_{i}|q_{i}\in \mathbb {Q} \}}$

Последнее условие эквивалентно тому , что , само по себе являющееся членом , выражается как для некоторых рациональных чисел , так что или, что эквивалентно, α является корнем ; то есть алгебраическим числом с минимальным многочленом степени не больше . ${\displaystyle \alpha ^{n+1}}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} (\alpha )}$ ${\displaystyle \sum _{i=-n}^{n}\alpha ^{i}q_{i}}$ ${\displaystyle \{q_{i}\}}$ ${\displaystyle \alpha ^{2n+1}=\sum _{i=0}^{2n}\alpha ^{i}q_{i-n}}$ ${\displaystyle x^{2n+1}-\sum _{i=0}^{2n}x^{i}q_{i-n}}$ ${\displaystyle 2n+1}$

Аналогично можно доказать, что для любого конечного набора алгебраических чисел , ... , расширение поля имеет конечную степень. ${\displaystyle \alpha _{1}}$ ${\displaystyle \alpha _{2}}$ ${\displaystyle \alpha _{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} (\alpha _{1},\alpha _{2},...\alpha _{n})}$

Поле

Алгебраические числа, раскрашенные по степени (синий = 4, голубой = 3, красный = 2, зеленый = 1). Единичная окружность черная. ^{[ необходимо дополнительное объяснение ]}

Сумма, разность, произведение и частное (если знаменатель отличен от нуля) двух алгебраических чисел снова являются алгебраическими числами:

Для любых двух алгебраических чисел α , β это следует непосредственно из того факта, что простое расширение , будучи либо , , либо (для ) , является линейным подпространством расширения поля конечной степени и, следовательно, само имеет конечную степень, из чего следует (как показано выше), что является алгебраическим. ${\displaystyle \mathbb {Q} (\gamma )}$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle \alpha +\beta }$ ${\displaystyle \alpha -\beta }$ ${\displaystyle \alpha \beta }$ ${\displaystyle \beta \neq 0}$ ${\displaystyle \alpha /\beta }$ ${\displaystyle \mathbb {Q} (\alpha ,\beta )}$ ${\displaystyle \gamma }$

Альтернативный способ показать это — конструктивно, используя результирующий .

Таким образом, алгебраические числа образуют поле ^[7] (иногда обозначаемое как , но обычно это означает кольцо аделей ). ${\displaystyle {\overline {\mathbb {Q} }}}$ ${\displaystyle \mathbb {A} }$

Алгебраическое замыкание

Каждый корень полиномиального уравнения, коэффициенты которого являются алгебраическими числами, снова является алгебраическим. Это можно перефразировать, сказав, что поле алгебраических чисел алгебраически замкнуто . Фактически, это наименьшее алгебраически замкнутое поле, содержащее рациональные числа, и поэтому оно называется алгебраическим замыканием рациональных чисел.

То, что поле алгебраических чисел алгебраически замкнуто, можно доказать следующим образом: пусть β — корень многочлена с коэффициентами, являющимися алгебраическими числами , , ... . Тогда расширение поля имеет конечную степень относительно . Тогда простое расширение имеет конечную степень относительно (так как все степени β можно выразить степенями до ). Следовательно, также имеет конечную степень относительно . Поскольку является линейным подпространством , оно также должно иметь конечную степень относительно , ​​поэтому β должно быть алгебраическим числом. ${\displaystyle \alpha _{0}+\alpha _{1}x+\alpha _{2}x^{2}...+\alpha _{n}x^{n}}$ ${\displaystyle \alpha _{0}}$ ${\displaystyle \alpha _{1}}$ ${\displaystyle \alpha _{2}}$ ${\displaystyle \alpha _{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} ^{\prime }\equiv \mathbb {Q} (\alpha _{1},\alpha _{2},...\alpha _{n})}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \mathbb {Q} ^{\prime }(\beta )}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} ^{\prime }}$ ${\displaystyle \beta ^{n-1}}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} ^{\prime }(\beta )=\mathbb {Q} (\beta ,\alpha _{1},\alpha _{2},...\alpha _{n})}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \mathbb {Q} (\beta )}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} ^{\prime }(\beta )}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$

Связанные поля

Числа, определяемые радикалами

Любое число, которое может быть получено из целых чисел с помощью конечного числа сложений , вычитаний , умножений , делений и взятия (возможно, комплексных) корней n-й степени, где n — положительное целое число, является алгебраическим. Обратное, однако, неверно: существуют алгебраические числа, которые не могут быть получены таким образом. Эти числа являются корнями многочленов степени 5 или выше, что является результатом теории Галуа (см. Уравнения пятой степени и теорема Абеля–Руффини ). Например, уравнение:

${\displaystyle x^{5}-x-1=0}$

имеет единственный действительный корень, который нельзя выразить только с помощью радикалов и арифметических операций.

Закрытое число

Алгебраические числа — это все числа, которые могут быть определены явно или неявно в терминах многочленов, начиная с рациональных чисел. Можно обобщить это до « чисел замкнутой формы », которые могут быть определены различными способами. В самом широком смысле все числа, которые могут быть определены явно или неявно в терминах многочленов, экспонент и логарифмов, называются « элементарными числами », и они включают алгебраические числа, а также некоторые трансцендентные числа. В самом узком смысле можно рассматривать числа, явно определенные в терминах многочленов, экспонент и логарифмов — это не включает все алгебраические числа, но включает некоторые простые трансцендентные числа, такие как e или ln 2 .

Алгебраические целые числа

Алгебраические числа, раскрашенные по ведущему коэффициенту (красный цвет означает 1 для алгебраического целого числа) ^{[ необходимо дополнительное объяснение ]}

Алгебраическое целое число — это алгебраическое число, которое является корнем многочлена с целыми коэффициентами со старшим коэффициентом 1 ( монический многочлен ). Примерами алгебраических целых чисел являются и Таким образом, алгебраические целые числа составляют надмножество целых чисел , поскольку последние являются корнями монотических многочленов x − k для всех . В этом смысле алгебраические целые числа относятся к алгебраическим числам так же, как целые числа относятся к рациональным числам . ${\displaystyle 5+13{\sqrt {2}},}$ ${\displaystyle 2-6i,}$ ${\textstyle {\frac {1}{2}}(1+i{\sqrt {3}}).}$ ${\displaystyle k\in \mathbb {Z} }$

Сумма, разность и произведение целых алгебраических чисел снова являются целыми алгебраическими числами, что означает, что целые алгебраические числа образуют кольцо . Название «целое алгебраическое число» происходит от того факта, что единственными рациональными числами, которые являются целыми алгебраическими числами, являются целые числа, и потому, что целые алгебраические числа в любом числовом поле во многом аналогичны целым числам. Если K — числовое поле, его кольцо целых чисел является подкольцом целых алгебраических чисел в K и часто обозначается как O _K. Это прототипические примеры доменов Дедекинда .

Специальные классы

• Алгебраическое решение
• Гауссово целое число
• Целое число Эйзенштейна
• Квадратичное иррациональное число
• Основная единица
• Корень единства
• период Гаусса
• Число Писота–Виджаярагхавана
• Номер Салема

Примечания

1. Некоторые из следующих примеров взяты из книги Харди и Райта (1972, стр. 159–160, 178–179)
2. Гарибальди 2008.
3. Кроме того, теорему Лиувилля можно использовать для «получения стольких примеров трансцендентных чисел, сколько нам угодно», см. Hardy & Wright (1972, стр. 161 и далее)
4. Харди и Райт 1972, стр. 160, 2008:205.
5. Нивен 1956, Теорема 7.5.
6. Нивен 1956, Следствие 7.3.
7. Нивен 1956, стр. 92.

Ссылки

• Артин, Майкл (1991), Алгебра , Прентис Холл, ISBN 0-13-004763-5, г-н  1129886
• Гарибальди, Скип (июнь 2008 г.), «Немного больше, чем губернаторам нужно знать о тригонометрии», Mathematics Magazine , 81 (3): 191–200, doi :10.1080/0025570x.2008.11953548, JSTOR  27643106
• Харди, Годфри Гарольд ; Райт, Эдвард М. (1972), Введение в теорию чисел (5-е изд.), Оксфорд: Clarendon, ISBN 0-19-853171-0
• Айрленд, Кеннет; Розен, Майкл (1990) [1-е изд. 1982], Классическое введение в современную теорию чисел (2-е изд.), Берлин: Springer, doi :10.1007/978-1-4757-2103-4, ISBN 0-387-97329-X, МР  1070716
• Ланг, Серж (2002) [1-е изд. 1965], Алгебра (3-е изд.), Нью-Йорк: Springer, ISBN 978-0-387-95385-4, г-н  1878556
• Нивен, Иван М. (1956), Иррациональные числа , Математическая ассоциация Америки
• Оре, Эйстейн (1948), Теория чисел и ее история , Нью-Йорк: McGraw-Hill