В математике алгебраическое функциональное поле (часто сокращенно называемое функциональным полем ) от n переменных над полем k — это конечно порождённое расширение поля K / k , имеющее степень трансцендентности n над k . [1] Эквивалентно, алгебраическое функциональное поле от n переменных над k может быть определено как конечное расширение поля K = k ( x 1 ,..., x n ) рациональных функций от n переменных над k .
В качестве примера рассмотрим в кольце многочленов k [ X , Y ] идеал, порожденный неприводимым многочленом Y 2 − X 3 , и сформируем поле дробей факторкольца k [ X , Y ] / ( Y 2 − X 3 ) . Это функциональное поле одной переменной над k ; его также можно записать как (со степенью 2 над ) или как (со степенью 3 над ). Мы видим, что степень алгебраического функционального поля не является четко определенным понятием.
Алгебраические функциональные поля над k образуют категорию ; морфизмы из функционального поля K в L являются кольцевыми гомоморфизмами f : K → L с f ( a ) = a для всех a из k . Все эти морфизмы инъективны . Если K — функциональное поле над k от n переменных, а L — функциональное поле от m переменных, и n > m , то нет морфизмов из K в L .
Поле функций алгебраического многообразия размерности n над k является полем алгебраических функций от n переменных над k . Два многообразия бирационально эквивалентны тогда и только тогда, когда их поля функций изоморфны. (Но обратите внимание, что неизоморфные многообразия могут иметь одно и то же поле функций!) Назначение каждому многообразию его поля функций дает двойственность (контравариантную эквивалентность) между категорией многообразий над k (с доминирующими рациональными отображениями в качестве морфизмов) и категорией полей алгебраических функций над k . (Рассматриваемые здесь многообразия следует понимать в схемном смысле; они не обязаны иметь никаких k -рациональных точек, как кривая X 2 + Y 2 + 1 = 0, определенная над вещественными числами , то есть с k = R. )
Случай n = 1 (неприводимые алгебраические кривые в схемном смысле) особенно важен, поскольку каждое функциональное поле одной переменной над k возникает как функциональное поле однозначно определенной регулярной (т.е. невырожденной) проективной неприводимой алгебраической кривой над k . Фактически, функциональное поле дает двойственность между категорией регулярных проективных неприводимых алгебраических кривых (с доминирующими регулярными отображениями в качестве морфизмов) и категорией функциональных полей одной переменной над k .
Поле M( X ) мероморфных функций, определенных на связной римановой поверхности X, является полем функций одной переменной над комплексными числами C . Фактически, M задает двойственность (контравариантную эквивалентность) между категорией компактных связных римановых поверхностей (с непостоянными голоморфными отображениями в качестве морфизмов) и полями функций одной переменной над C . Аналогичное соответствие существует между компактными связными клейновыми поверхностями и полями функций одной переменной над R .
Аналогия с функциональным полем утверждает, что почти все теоремы о числовых полях имеют аналог для функциональных полей одной переменной над конечным полем , и эти аналоги часто проще доказать. (Например, см. Аналог для неприводимых многочленов над конечным полем .) В контексте этой аналогии как числовые поля, так и функциональные поля над конечными полями обычно называются « глобальными полями ».
Изучение полей функций над конечным полем имеет приложения в криптографии и кодах исправления ошибок . Например, поле функций эллиптической кривой над конечным полем (важный математический инструмент для криптографии с открытым ключом ) является алгебраическим полем функций.
Поля функций над полем рациональных чисел также играют важную роль в решении обратных задач Галуа .
Для любого алгебраического функционального поля K над k можно рассмотреть множество элементов K , которые являются алгебраическими над k . Эти элементы образуют поле, известное как поле констант алгебраического функционального поля.
Например, C ( x ) — это функциональное поле одной переменной над R ; его поле констант — C .
Ключевыми инструментами для изучения полей алгебраических функций являются абсолютные значения, оценки, места и их завершения.
Для заданного алгебраического функционального поля K / k одной переменной мы определяем понятие кольца оценки K / k : это подкольцо O кольца K , которое содержит k и отлично от k и K , и такое, что для любого x из K имеем x ∈ O или x -1 ∈ O. Каждое такое кольцо оценки является дискретным кольцом оценки , а его максимальный идеал называется местом кольца K / k .
Дискретное оценивание K / k — это сюръективная функция v : K → Z ∪ {∞} такая, что v (x) = ∞ тогда и только тогда, когда x = 0, v ( xy ) = v ( x ) + v ( y ) и v ( x + y ) ≥ min( v ( x ), v ( y )) для всех x , y ∈ K , и v ( a ) = 0 для всех a ∈ k \ {0}.
Существуют естественные биективные соответствия между множеством колец оценки K / k , множеством мест K / k и множеством дискретных оценок K / k . Этим множествам можно придать естественную топологическую структуру: пространство Зарисского–Римана K / k .
![{\displaystyle k(Y)({\sqrt[{3}]{Y^{2}}})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e16c85b70ef83f58fa6c47026eea39b4307edaaf)
