Алгебраическое целое число

В алгебраической теории чисел алгебраическое целое число — это комплексное число , которое является целым числом над целыми числами . То есть алгебраическое целое число — это комплексный корень некоторого монического многочлена ( многочлена , старший коэффициент которого равен 1), коэффициенты которого являются целыми числами. Множество всех алгебраических целых чисел $A$ замкнуто относительно сложения, вычитания и умножения и, следовательно, является коммутативным подкольцом комплексных чисел.

Кольцо целых чисел числового поля $K$ , обозначаемое $O K$ , является пересечением K и $A$ : его также можно охарактеризовать как максимальный порядок поля $K$ . Каждое алгебраическое целое число принадлежит кольцу целых чисел некоторого числового поля. Число α $является$ алгебраическим целым числом тогда и только тогда, когда $кольцо$ конечно порождено как абелева группа , то есть как -модуль . $\mathbb {Z} [\alpha ]$ $\mathbb {Z}$

Определения

Ниже приведены эквивалентные определения алгебраического целого числа. Пусть $K$ — числовое поле (т.е. конечное расширение поля рациональных чисел ), другими словами, для некоторого алгебраического числа по теореме о примитивном элементе . $\mathbb {Q}$ $K=\mathbb {Q} (\theta )$ $\theta \in \mathbb {C}$

$α \in K$ является алгебраическим целым числом, если существует монический многочлентакой, что $f$ $($ $α$ $) = 0$ . $f(x)\in \mathbb {Z} [x]$
$α \in K$ является алгебраическим целым числом, если минимальный мономический многочлен $α$ надлежит в. $\mathbb {Q}$ $\mathbb {Z} [x]$
$α \in K$ является алгебраическим целым числом, если— конечно порожденный-модуль. $\mathbb {Z} [\alpha ]$ $\mathbb {Z}$
$α \in K$ является алгебраическим целым числом, если существует ненулевой конечно порожденный-подмодультакой, что $αM$ $\subseteq$ $M$ . $\mathbb {Z}$ $M\subset \mathbb {C}$

Алгебраические целые числа являются частным случаем целых элементов расширения кольца. В частности, алгебраическое целое число является целым элементом конечного расширения . $К/\mathbb {Q}$

Примеры

Единственные алгебраические целые числа, которые встречаются в множестве рациональных чисел, — это целые числа. Другими словами, пересечение и $A$ равно в точности . Рациональное число $⁠$ $\mathbb {Q}$ $\mathbb {Z}$ $.mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output .sfrac.tion,.mw-parser-output .sfrac .tion{display:inline-block;vertical-align:-0.5em;font-size:85%;text-align:center}.mw-parser-output .sfrac .num{display:block;line-height:1em;margin:0.0em 0.1em;border-bottom:1px solid}.mw-parser-output .sfrac .den{display:block;line-height:1em;margin:0.1em 0.1em}.mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);clip-path:polygon(0px 0px,0px 0px,0px 0px);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px}а/б⁠$ не является алгебраическим целым числом, если $b$ не делит $a$ . Старший коэффициент многочлена $bx - a$ равен целому числу $b$ .
Квадратный корень неотрицательного целого числа $n$ является алгебраическим целым числом, но является иррациональным, если $n$ не является полным квадратом . ${\sqrt {n}}$
Если $d$ — целое число, свободное от квадратов , то расширение — квадратичное поле рациональных чисел. Кольцо целых алгебраических чисел $O$ $K$ содержит , поскольку это корень монического многочлена $x$ $2$ $-$ $d$ . Более того, если $d$ $\equiv 1$ $mod$ $4$ , то элемент также является целым алгебраическим числом. Он удовлетворяет многочлену $x$ $2$ $-$ $x$ $+$ $⁠$ $K=\mathbb {Q} ({\sqrt {d}}\,)$ ${\sqrt {d}}$ ${\textstyle {\frac {1}{2}}(1+{\sqrt {d}}\,)}$ $1 / 4 ⁠ (1 - d)$ , где постоянный член $⁠$ $1 / 4 ⁠ (1 - d)$ — целое число. Полное кольцо целых чисел генерируется с помощьюилисоответственно.Подробнее см. в разделе Квадратичное целое число . ${\sqrt {d}}$ ${\textstyle {\frac {1}{2}}(1+{\sqrt {d}}\,)}$
Кольцо целых чисел поля , $α$ $=$ $3$ $\sqrt$ $m$ , имеет следующий интегральный базис , записываемый как $m$ $=$ $hk$ $2$ для двух свободных от квадратов взаимно простых целых чисел $h$ и $k$ : ^[1] $F=\mathbb {Q} [\альфа]$ ${\begin{cases}1,\alpha ,{\dfrac {\alpha ^{2}\pm k^{2}\alpha +k^{2}}{3k}}&m\equiv \pm 1{\bmod {9}}\\1,\alpha ,{\dfrac {\alpha ^{2}}{k}}&{\text{иначе}}\end{cases}}$
Если $ζ n$ — примитивный корень степени $n$ из единицы , то кольцо целых чисел циклотомического поля равно в точности . $\mathbb {Q} (\zeta _{n})$ $\mathbb {Z} [\zeta _{n}]$
Если $α$ — алгебраическое целое число, то $β = n \sqrt α$ — другое алгебраическое целое число. Многочлен для $β$ получается путем подстановки $x n$ в многочлен для $α$ .

Непример

Если $P (x)$ — примитивный многочлен с целыми коэффициентами, но не монический, и $P$ неприводим над , то ни один из корней $P$ не является алгебраическим целым числом (но является алгебраическим числом ). Здесь примитивный используется в том смысле, что наибольший общий множитель коэффициентов $P$ равен 1, что слабее требования, чтобы коэффициенты были попарно взаимно простыми. $\mathbb {Q}$

Конечное поколение расширения кольца

Для любого $α$ расширение кольца (в том смысле, что оно эквивалентно расширению поля ) целых чисел посредством $α$ , обозначаемое как , конечно порождено тогда и только тогда, когда $α$ является алгебраическим целым числом. $\mathbb {Z} (\alpha )\equiv \{\sum _{i=0}^{n}\alpha ^{i}z_{i}|z_{i}\in \mathbb {Z} ,n\in \mathbb {Z} \}$

Доказательство аналогично доказательству соответствующего факта, касающегося алгебраических чисел , с заменой there на here, а понятие степени расширения поля заменено на конечное порождение (используя тот факт, что само по себе конечно порождено); единственное необходимое изменение состоит в том, что в доказательстве участвуют только неотрицательные степени $α .$ $\mathbb {Q}$ $\mathbb {Z}$ $\mathbb {Z}$

Аналогия возможна, поскольку как алгебраические целые числа, так и алгебраические числа определяются как корни монических многочленов над либо , либо , соответственно. $\mathbb {Z}$ $\mathbb {Q}$

Кольцо

Сумма, разность и произведение двух целых алгебраических чисел являются целым алгебраическим числом. В общем случае их частное — нет. Таким образом, целые алгебраические числа образуют кольцо .

Это можно показать аналогично соответствующему доказательству для алгебраических чисел , используя целые числа вместо рациональных . $\mathbb {Z}$ $\mathbb {Q}$

Можно также явно построить задействованный монический многочлен, который, как правило, имеет более высокую степень, чем у исходных алгебраических целых чисел, взяв результанты и разложив на множители. Например, если $x 2 - x - 1 = 0$ , $y 3 - y - 1 = 0$ и $z = xy$ , то исключение $x$ и $y$ из $z - xy = 0$ и полиномов, которым удовлетворяют $x$ и $y$ , с использованием результанта дает $z 6 - 3 z 4 - 4 z 3 + z 2 + z - 1 = 0$ , которое неприводимо и является моническим уравнением, которому удовлетворяет произведение. (Чтобы увидеть, что $xy$ является корнем $x$ -результанта $z - xy$ и $x 2 - x - 1$ , можно воспользоваться тем фактом, что результант содержится в идеале, порожденном его двумя входными полиномами.)

Интегральное закрытие

Каждый корень монического многочлена, коэффициенты которого являются целыми алгебраическими числами, сам является целым алгебраическим числом. Другими словами, целые алгебраические числа образуют кольцо, которое целозамкнуто в любом из своих расширений.

Опять же, доказательство аналогично соответствующему доказательству алгебраической замкнутости алгебраических чисел .

Дополнительные факты

Любое число, которое можно построить из целых чисел с помощью корней, сложения и умножения, является алгебраическим целым числом; но не все алгебраические целые числа так строимы: в наивном смысле большинство корней неприводимых квинтик таковыми не являются. Это теорема Абеля–Руффини .
Кольцо целых алгебраических чисел является областью Безу , как следствие теоремы о главном идеале .
Если монический многочлен, связанный с алгебраическим целым числом, имеет постоянный член 1 или −1, то обратная величина этого алгебраического целого числа также является алгебраическим целым числом, и каждое из них является единицей , элементом группы единиц кольца алгебраических целых чисел.
Если $x$ — алгебраическое число, то $a n x$ — алгебраическое целое число, где $x$ удовлетворяет полиному $p (x)$ с целыми коэффициентами и где $a n x n$ — член высшей степени $p (x)$ . Значение $y = a n x$ — алгебраическое целое число, поскольку оно является корнем $q (y) = a н - 1 н p (y / a n)$ , где $q (y)$ — мономический многочлен с целыми коэффициентами.
Если $x$ — алгебраическое число, то его можно записать как отношение целого алгебраического числа к целому алгебраическому числу, отличному от нуля. Фактически, знаменатель всегда можно выбрать положительным целым числом. Отношение равно $| a n | x / | a n |$ , где $x$ удовлетворяет полиному $p (x)$ с целыми коэффициентами и где $a n x n$ — член высшей степени $p (x)$ .
Единственными рациональными алгебраическими целыми числами являются целые числа. Таким образом, если $α$ — алгебраическое целое число и , то . Это прямой результат теоремы о рациональном корне для случая монического многочлена. $\альфа \in \mathbb {Q}$ $\альфа \in \mathbb {Z}$

Смотрите также

Ссылки

^ Маркус, Дэниел А. (1977). Числовые поля (3-е изд.). Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag . гл. 2, стр. 38 и пр. 41. ISBN 978-0-387-90279-1.

Стайн, Уильям . Алгебраическая теория чисел: вычислительный подход (PDF) . Архивировано (PDF) из оригинала 2 ноября 2013 г.