Алгебраическое замыкание

Расширение алгебраического поля

В математике , в частности, в абстрактной алгебре , алгебраическое замыкание поля K — это алгебраическое расширение поля K , которое алгебраически замкнуто . Это одно из многих замыканий в математике.

Используя лемму Цорна ^{[1] [2] [3]} или более слабую лемму об ультрафильтре [ ^{4] [5],} можно показать, что каждое поле имеет алгебраическое замыкание, и что алгебраическое замыкание поля K единственно с точностью до изоморфизма , который фиксирует каждый член K. Из-за этой существенной уникальности мы часто говорим об алгебраическом замыкании K , а не об алгебраическом замыкании K.

Алгебраическое замыкание поля K можно рассматривать как наибольшее алгебраическое расширение K. Чтобы увидеть это, отметим, что если L — любое алгебраическое расширение K , то алгебраическое замыкание L также является алгебраическим замыканием K , и поэтому L содержится в алгебраическом замыкании K. Алгебраическое замыкание K также является наименьшим алгебраически замкнутым полем, содержащим K , потому что если M — любое алгебраически замкнутое поле, содержащее K , то элементы M , которые являются алгебраическими над K, образуют алгебраическое замыкание K.

Алгебраическое замыкание поля K имеет ту же мощность, что и K, если K бесконечно, и счетно бесконечно, если K конечно. ^[3]

Примеры

• Основная теорема алгебры утверждает, что алгебраическое замыкание поля действительных чисел является полем комплексных чисел .
• Алгебраическим замыканием поля рациональных чисел является поле алгебраических чисел .
• Существует много счетных алгебраически замкнутых полей внутри комплексных чисел, строго содержащих поле алгебраических чисел; это алгебраические замыкания трансцендентных расширений рациональных чисел, например, алгебраическое замыкание Q (π).
• Для конечного поля порядка простой степени q алгебраическое замыкание является счетно бесконечным полем, которое содержит копию поля порядка q ⁿ для каждого положительного целого числа n (и фактически является объединением этих копий). ^[6]

Существование алгебраического замыкания и разбиение полей

Пусть — множество всех монических неприводимых многочленов в K [ x ]. Для каждого введем новые переменные , где . Пусть R — кольцо многочленов над K, порожденное для всех и всех . Запишем ${\displaystyle S=\{f_{\lambda }|\lambda \in \Lambda \}}$ ${\displaystyle f_{\lambda }\in S}$ ${\displaystyle u_{\lambda ,1},\ldots ,u_{\lambda ,d}}$ ${\displaystyle d={\rm {degree}}(f_{\lambda })}$ ${\displaystyle u_{\lambda ,i}}$ ${\displaystyle \lambda \in \Lambda }$ ${\displaystyle i\leq {\rm {degree}}(f_{\lambda })}$

${\displaystyle f_{\lambda }-\prod _{i=1}^{d}(x-u_{\lambda ,i})=\sum _{j=0}^{d-1}r_{\lambda ,j}\cdot x^{j}\in R[x]}$

с . Пусть I — идеал в R, порожденный . Так как I строго меньше R , лемма Цорна подразумевает, что существует максимальный идеал M в R , содержащий I . Поле K ₁ = R / M обладает тем свойством, что любой многочлен с коэффициентами в K расщепляется как произведение и, следовательно, имеет все корни в K ₁ . Таким же образом можно построить расширение K ₂ поля K ₁ и т. д. Объединение всех этих расширений является алгебраическим замыканием K , поскольку любой многочлен с коэффициентами в этом новом поле имеет свои коэффициенты в некотором K _n с достаточно большим n , и тогда его корни находятся в K _{n +1} , а значит, и в самом объединении. ${\displaystyle r_{\lambda ,j}\in R}$ ${\displaystyle r_{\lambda ,j}}$ ${\displaystyle f_{\lambda }}$ ${\displaystyle x-(u_{\lambda ,i}+M),}$

Аналогичным образом можно показать, что для любого подмножества S из K [ x ] существует поле расщепления S над K.

Разъемное закрытие

Алгебраическое замыкание K ^{alg поля} K содержит единственное отделимое расширение K ^sep поля K , содержащее все (алгебраические) отделимые расширения поля K внутри K ^alg . Это подрасширение называется отделимым замыканием поля K . Поскольку отделимое расширение отделимого расширения снова отделимо, не существует конечных отделимых расширений поля K ^sep степени > 1. Говоря другими словами, поле K содержится в отделимо-замкнутом алгебраическом поле расширения. Оно уникально ( с точностью до изоморфизма). ^[7]

Сепарабельное замыкание является полным алгебраическим замыканием тогда и только тогда, когда K является совершенным полем . Например, если K является полем характеристики p и если X трансцендентно над K , является несепарабельным алгебраическим расширением поля. ${\displaystyle K(X)({\sqrt[{p}]{X}})\supset K(X)}$

В общем случае абсолютная группа Галуа K — это группа Галуа K sep ^над K. [ ^8]

Смотрите также

• Алгебраически замкнутое поле
• Алгебраическое расширение
• расширение Пюизё
• Полное поле

Ссылки

1. Маккарти (1991) стр.21
2. MF Atiyah и IG Macdonald (1969). Введение в коммутативную алгебру . Addison-Wesley publishing Company. С. 11–12.
3. Капланский (1972) стр.74-76
4. Банашевски, Бернхард (1992), «Алгебраическое замыкание без выбора», Z. Math. Logik Grundlagen Math. , 38 (4): 383–385, doi :10.1002/malq.19920380136, Збл  0739.03027
5. Обсуждение на Mathoverflow
6. Броули, Джоэл В.; Шниббен, Джордж Э. (1989), "2.2 Алгебраическое замыкание конечного поля", Бесконечные алгебраические расширения конечных полей, Contemporary Mathematics, т. 95, Американское математическое общество , стр. 22–23, ISBN 978-0-8218-5428-0, Збл  0674.12009.
7. Маккарти (1991) стр.22
8. Фрид, Майкл Д.; Джарден, Моше (2008). Полевая арифметика . Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 3. Фольге. Том. 11 (3-е изд.). Спрингер-Верлаг . п. 12. ISBN 978-3-540-77269-9. Збл  1145.12001.

• Капланский, Ирвинг (1972). Поля и кольца . Чикагские лекции по математике (Второе издание). Издательство Чикагского университета. ISBN 0-226-42451-0. Збл  1001.16500.
• Маккарти, Пол Дж. (1991). Алгебраические расширения полей (Исправленное переиздание 2-го изд.). Нью-Йорк: Dover Publications. Zbl  0768.12001.