В математике , особенно в области абстрактной алгебры , известной как теория колец , свободная алгебра является некоммутативным аналогом кольца полиномов , поскольку ее элементы могут быть описаны как «многочлены» с некоммутирующими переменными. Аналогично кольцо многочленов можно рассматривать как свободную коммутативную алгебру .
Для коммутативного кольца R свободная ( ассоциативная , с единицей ) алгебра на n неопределенных { X1 , ..., Xn } — это свободный R - модуль с базой, состоящей из всех слов алфавита { X1 , ... ., X n } (включая пустое слово, являющееся единицей свободной алгебры). Этот R -модуль становится R -алгеброй , определяя умножение следующим образом: произведение двух базисных элементов представляет собой объединение соответствующих слов:
и произведение двух произвольных элементов R -модуля, таким образом, определяется однозначно (поскольку умножение в R -алгебре должно быть R -билинейным). Эту R -алгебру обозначим R ⟨ X 1 ,..., X n ⟩. Эту конструкцию легко обобщить на произвольное множество X неопределенных величин.
Короче говоря, для произвольного множества свободная ( ассоциативная , унитальная ) R - алгебра на X есть
с R -билинейным умножением, которое представляет собой конкатенацию слов, где X * обозначает свободный моноид на X (т.е. слова на буквах X i ), обозначает внешнюю прямую сумму , а Rw обозначает свободный R -модуль на 1 элементе, слово ш .
Например, в R ⟨ X 1 , X 2 , X 3 , X 4 ⟩ для скаляров α, β, γ, δ ∈ R конкретный пример произведения двух элементов:
.
Кольцо некоммутативных полиномов можно отождествить с кольцом моноида над R свободного моноида всех конечных слов из X i .
Поскольку слова в алфавите { X 1 , ..., X n } образуют базис R ⟨ X 1 ,..., X n ⟩, то ясно, что любой элемент R ⟨ X 1 , ..., X n ⟩ однозначно можно записать в виде:
где – элементы R , и все эти элементы, кроме конечного числа, равны нулю. Это объясняет, почему элементы R ⟨ X 1 ,..., X n ⟩ часто обозначаются как «некоммутативные многочлены» от «переменных» (или «неопределенных») X 1 ,..., X n ; элементы называются «коэффициентами» этих многочленов, а R -алгебра R ⟨ X 1 ,..., X n ⟩ называется «некоммутативной полиномиальной алгеброй над R от n неопределенных». Обратите внимание, что в отличие от реального кольца полиномов , переменные не коммутируют . Например, X 1 X 2 не равно X 2 X 1 .
В более общем смысле, можно построить свободную алгебру R ⟨ E ⟩ на любом множестве E генераторов . Поскольку кольца можно рассматривать как Z -алгебры, свободное кольцо на E можно определить как свободную алгебру Z ⟨ E ⟩.
Над полем свободная алгебра на n неопределённых может быть построена как тензорная алгебра на n -мерном векторном пространстве . Для более общего кольца коэффициентов та же конструкция работает, если мы возьмем свободный модуль от n образующих .
Конструкция свободной алгебры на E является функториальной по своей природе и удовлетворяет подходящему универсальному свойству . Функтор свободной алгебры сопряжен слева с функтором забывчивости из категории R -алгебр в категорию множеств .
Свободные алгебры над телами — это свободные идеальные кольца .
