В математике алгебра Альберта — это 27-мерная исключительная йорданова алгебра . Они названы в честь Авраама Адриана Альберта , который был пионером в изучении неассоциативных алгебр , обычно работающих над действительными числами . Над действительными числами существует три таких йордановых алгебры с точностью до изоморфизма . [1] Одна из них, которая была впервые упомянута Паскуалем Йорданом , Джоном фон Нейманом и Юджином Вигнером (1934) и изучена Альбертом (1934), представляет собой множество самосопряженных матриц 3×3 над октонионами , снабженное бинарной операцией
где обозначает умножение матриц. Другой определяется таким же образом, но с использованием расщепленных октонионов вместо октонионов. Окончательный строится из нерасщепленных октонионов с использованием другой стандартной инволюции.
Над любым алгебраически замкнутым полем существует только одна алгебра Альберта, и ее группа автоморфизмов G является простой расщепляемой группой типа F 4 . [2] [3] (Например, комплексификации трех алгебр Альберта над действительными числами являются изоморфными алгебрами Альберта над комплексными числами.) Из-за этого для общего поля F алгебры Альберта классифицируются группой когомологий Галуа H 1 ( F , G ). [4]
Конструкция Кантора –Кёхера–Титса, примененная к алгебре Альберта, дает форму алгебры Ли E7 . Расщепленная алгебра Альберта используется в конструкции 56-мерной структурируемой алгебры , группа автоморфизмов которой имеет единичную компоненту — односвязную алгебраическую группу типа E6 . [ 5 ]
Пространство когомологических инвариантов алгебр Альберта поля F (характеристики, отличной от 2) с коэффициентами в Z /2Z является свободным модулем над кольцом когомологий поля F с базисом 1, f 3 , f 5 степеней 0, 3, 5. [6] Когомологические инварианты с коэффициентами 3-кручения имеют базис 1, g 3 степеней 0, 3. [7] Инварианты f 3 и g 3 являются первичными компонентами инварианта Роста .
Смотрите также
Примечания
- ^ Спрингер и Вельдкамп (2000) 5.8, стр.153
- ^ Спрингер и Вельдкамп (2000) 7.2
- ^ Chevalley C, Schafer RD (февраль 1950 г.). «Исключительные простые алгебры Ли F(4) и E(6)». Proc. Natl. Acad. Sci. USA . 36 (2): 137–41. Bibcode :1950PNAS...36..137C. doi : 10.1073/pnas.36.2.137 . PMC 1063148 . PMID 16588959.
- ^ Кнус и др. (1998) стр.517
- ^ Скип Гарибальди (2001). «Структурируемые алгебры и группы типа E_6 и E_7». Журнал алгебры . 236 (2): 651–691. arXiv : math/9811035 . doi :10.1006/jabr.2000.8514.
- ^ Гарибальди, Меркурьев, Серр (2003), стр.50
- ^ Гарибальди (2009), стр.20
Ссылки
- Альберт, А. Адриан (1934), «О некоторой алгебре квантовой механики», Annals of Mathematics , вторая серия, 35 (1): 65–73, doi :10.2307/1968118, ISSN 0003-486X, JSTOR 1968118
- Гарибальди, Скип ; Меркурьев, Александр; Серр, Жан-Пьер (2003), Когомологические инварианты в когомологиях Галуа , University Lecture Series, т. 28, Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество, ISBN 978-0-8218-3287-5, МР 1999383
- Гарибальди, Скип (2009). Когомологические инварианты: исключительные группы и спиновые группы . Мемуары Американского математического общества . Том 200. doi :10.1090/memo/0937. ISBN 978-0-8218-4404-5.
- Jordan, Pascual ; Neumann, John von ; Wigner, Eugene (1934), «Об алгебраическом обобщении формализма квантовой механики», Annals of Mathematics , 35 (1): 29–64, doi :10.2307/1968117, JSTOR 1968117
- Кнус, Макс-Альберт; Меркурьев, Александр ; Рост, Маркус ; Тиньоль, Жан-Пьер (1998), Книга инволюций , Colloquium Publications, т. 44, с предисловием Дж. Титса, Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество , ISBN 978-0-8218-0904-4, ЗБЛ 0955.16001
- Маккриммон, Кевин (2004), Вкус йордановых алгебр, Universitext, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , doi :10.1007/b97489, ISBN 978-0-387-95447-9, MR 2014924
- Springer, Tonny A .; Veldkamp, Ferdinand D. (2000) [1963], Октонионы, йордановы алгебры и исключительные группы, Springer Monographs in Mathematics, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-66337-9, г-н 1763974
Дальнейшее чтение
