Тропическое полукольцо

Полукольцо с минимумом и сложением, заменяющим сложение и умножение

В идемпотентном анализе тропическое полукольцо представляет собой полукольцо расширенных действительных чисел , в котором операции минимума (или максимума ) и сложения заменяют обычные («классические») операции сложения и умножения соответственно.

Тропическое полукольцо имеет различные приложения (см. Тропический анализ ), составляет основу тропической геометрии . Название тропический является отсылкой к уроженцу Венгрии ученому-компьютерщику Имре Симону , названному так потому, что он жил и работал в Бразилии. ^[1]

Определение

The мин тропическое полукольцо (илиполукольцо мин-плюс илимин-плюс алгебра ) —полукольцо(,,), с операциями: ${\displaystyle \mathbb {R} \cup \{+\infty \}}$ ${\displaystyle \oplus }$ ${\displaystyle \otimes }$

${\displaystyle x\oplus y=\min\{x,y\},}$

${\displaystyle x\otimes y=x+y.}$

Операции и называются тропическим сложением и тропическим умножением соответственно. Единица измерения — , а единица измерения — 0. ${\displaystyle \oplus }$ ${\displaystyle \otimes }$ ${\displaystyle \oplus }$ ${\displaystyle +\infty }$ ${\displaystyle \otimes }$

Аналогичным образом,макс тропическое полукольцо (илиполукольцо макс-плюс илиалгебра макс-плюс илиАрктическое полукольцо ) — полукольцо (,,), с операциями: ${\displaystyle \mathbb {R} \cup \{-\infty \}}$ ${\displaystyle \oplus }$ ${\displaystyle \otimes }$

${\displaystyle x\oplus y=\max\{x,y\},}$

${\displaystyle x\otimes y=x+y.}$

Единица элемента идентификационного элемента для равна , а единица элемента идентификационного элемента для равна 0. ${\displaystyle \oplus }$ ${\displaystyle -\infty }$ ${\displaystyle \otimes }$

Два полукольца изоморфны относительно отрицания , и обычно одно из них выбирается и называется просто тропическим полукольцом . Соглашения различаются между авторами и подполями: некоторые используют минимальное соглашение, некоторые — максимальное . ${\displaystyle x\mapsto -x}$

Тропическое сложение идемпотентно , поэтому примером идемпотентного полукольца является тропическое полукольцо .

Тропическое полукольцо еще называюттропическая алгебра ,^[2], хотя ее не следует путать сассоциативной алгебройнад тропическим полукольцом.

Тропическое возведение в степень определяется обычным способом как повторяющееся тропическое произведение.

Значимые поля

Операции тропического полукольца моделируют поведение оценок при сложении и умножении в значимом поле . Поле с действительным значением — это поле, снабженное функцией ${\displaystyle K}$

${\displaystyle v:K\to \mathbb {R} \cup \{\infty \}}$

который удовлетворяет следующим свойствам для всех в : ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle K}$

${\displaystyle v(a)=\infty }$если и только если ${\displaystyle a=0,}$

${\displaystyle v(ab)=v(a)+v(b)=v(a)\otimes v(b),}$

${\displaystyle v(a+b)\geq \min\{v(a),v(b)\}=v(a)\oplus v(b),}$с равенством, если ${\displaystyle v(a)\neq v(b).}$

Следовательно, нормирование v является почти гомоморфизмом полукольца из K в тропическое полукольцо, за исключением того, что свойство гомоморфизма может нарушиться, когда два элемента с одинаковым нормированием складываются вместе.

Некоторые общие поля значений:

• ${\displaystyle \mathbb {Q} }$или с тривиальной оценкой для всех , ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle v(a)=0}$ ${\displaystyle a\neq 0}$
• ${\displaystyle \mathbb {Q} }$или его расширения с p-адической оценкой , для и взаимно просты с , ${\displaystyle v(p^{n}a/b)=n}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle p}$
• поле формальных рядов Лорана (целые степени), или поле рядов Пюизо , или поле рядов Хана , при этом оценка возвращает наименьший показатель, появляющийся в ряду. ${\displaystyle K((t))}$ ${\displaystyle K\{\{t\}\}}$ ${\displaystyle t}$

Рекомендации

1. Пин, Жан-Эрик (1998). "Тропические полукольца" (PDF) . В Гунавардене, Дж. (ред.). Идемпотентность . Публикации Института Ньютона. Том. 11. Издательство Кембриджского университета . стр. 50–69. дои : 10.1017/CBO9780511662508.004. ISBN 9780511662508.
2. Литвинов, Григорий Лазаревич; Сергеев, Сергей Николаевич (2009). Тропическая и идемпотентная математика: Международный семинар Tropical-07, Тропическая и идемпотентная математика (PDF) . Американское математическое общество. п. 8. ISBN 9780821847824. Проверено 15 сентября 2014 г.

• Литвинов, Г.Л. (2005). «Деквантование Маслова, идемпотентная и тропическая математика: Краткое введение». arXiv : math/0507014v1 .