В алгебре простая алгебра Ли — это алгебра Ли , которая не является абелевой и не содержит ненулевых собственных идеалов . Классификация действительных простых алгебр Ли является одним из главных достижений Вильгельма Киллинга и Эли Картана .
Прямая сумма простых алгебр Ли называется полупростой алгеброй Ли .
Простая группа Ли — это связная группа Ли, алгебра Ли которой проста.
Конечномерная простая комплексная алгебра Ли изоморфна одной из следующих: , , ( классические алгебры Ли ) или одной из пяти исключительных алгебр Ли . [1]
Для каждой конечномерной комплексной полупростой алгебры Ли существует соответствующая диаграмма (называемая диаграммой Дынкина ), где узлы обозначают простые корни, узлы соединены (или не соединены) несколькими линиями в зависимости от углов между простыми корнями, а стрелки указывают, являются ли корни длиннее или короче. [2] Диаграмма Дынкина связна тогда и только тогда, когда является простой. Все возможные связные диаграммы Дынкина следующие: [3]
где n — число узлов (простых корней). Соответствие диаграмм и комплексных простых алгебр Ли следующее: [2]
Если — конечномерная действительная простая алгебра Ли, то ее комплексификация либо (1) проста, либо (2) является произведением простой комплексной алгебры Ли и ее сопряженной . Например, комплексификация рассматриваемой как действительная алгебра Ли имеет вид . Таким образом, действительная простая алгебра Ли может быть классифицирована с помощью классификации комплексных простых алгебр Ли и некоторой дополнительной информации. Это можно сделать с помощью диаграмм Сатаке , которые обобщают диаграммы Дынкина . См. также Таблицу групп Ли#Реальные алгебры Ли для получения частичного списка действительных простых алгебр Ли.