Композиционная алгебра

В математике композиционная алгебра $A$ над полем $K$ — это не обязательно ассоциативная алгебра над $K$ вместе с невырожденной квадратичной формой $N$ , которая удовлетворяет условию

N(ху)=N(х)N(у)

для всех $x$ и $y$ в $A.$

Композиционная алгебра включает инволюцию, называемую сопряжением : Квадратичная форма называется нормой алгебры. $x\mapsto x^{*}.$ $N(x)=xx^{*}$

Композиционная алгебра ( A , ∗, N ) является либо алгеброй с делением , либо расщепленной алгеброй , в зависимости от существования ненулевого v в A, такого что N ( v ) = 0, называемого нулевым вектором . ^[1] Когда x не является нулевым вектором, мультипликативным обратным к x является . Когда существует ненулевой нулевой вектор, N является изотропной квадратичной формой , и «алгебра расщепляется». ${\textstyle {\frac {x^{*}}{N(x)}}}$

Теорема о структуре

Каждая унитальная композиционная алгебра над полем $K$ может быть получена повторным применением конструкции Кэли–Диксона , начиная с $K$ (если характеристика K отлична от $2$ ) или 2-мерной композиционной подалгебры (если $char($ $K$ $) = 2$ ). Возможные размерности композиционной алгебры равны $1$ , $2$ , $4$ и $8$ . ^[2] $[$ ^3]^[4]

Одномерные композиционные алгебры существуют только тогда, когда $char(K) \neq 2$ .
Композиционные алгебры размерности 1 и 2 коммутативны и ассоциативны.
Композиционные алгебры размерности 2 являются либо квадратичными расширениями поля K $,$ либо изоморфны $K \oplus K$ .
Композиционные алгебры размерности 4 называются кватернионными алгебрами . Они ассоциативны, но не коммутативны.
Композиционные алгебры размерности 8 называются алгебрами октонионов . Они не являются ни ассоциативными, ни коммутативными.

Для единообразия терминологии алгебры размерности 1 называются унарионами , а алгебры размерности 2 — бинарионами . ^[5]

Каждая композиционная алгебра является альтернативной алгеброй . ^[3]

Используя удвоенную форму ( _ : _ ): A × A → K тогда след a задается как ( a :1), а сопряжение как a * = ( a :1)e – a , где e – базисный элемент для 1. Серия упражнений доказывает, что композиционная алгебра всегда является альтернативной алгеброй. ^[6] $(a:b)=n(a+b)-n(a)-n(b),$

Примеры и использование

Если взять поле $K, состоящее из$ комплексных чисел $C$ и квадратичной формы $z 2$ , то четыре композиционные алгебры над $C$ — это $само$ $C$ , бикомплексные числа , бикватернионы (изоморфные кольцу комплексных матриц 2 × 2 $M(2,$ $C$ $)$ ) и биоктонионы $C$ $\otimes$ $O$ , которые также называются комплексными октонионами.

Матричное кольцо $M(2, C)$ долгое время было объектом интереса, сначала как бикватернионы Гамильтона ( 1853 ), позднее в форме изоморфной матрицы и особенно как алгебра Паули .

Функция возведения в квадрат $N (x) = x 2$ на поле действительных чисел образует изначальную композиционную алгебру. Когда поле $K$ берется как действительные числа $R$ , то существует всего шесть других действительных композиционных алгебр. ^[3]^{: 166} В двух, четырех и восьми измерениях существуют как алгебра с делением , так и расщепленная алгебра :

бинарионы: комплексные числа с квадратичной формой

x 2 + y 2

и расщепленные комплексные числа с квадратичной формой

x 2 - y 2

кватернионы и сплит-кватернионы ,

октонионы и сплит-октонионы .

Каждая композиционная алгебра имеет связанную билинейную форму B( x,y ), построенную с нормой N и тождеством поляризации :

B(x,y)\ =\ [N(x+y)-N(x)-N(y)]/2.

^[7]

История

Состав сумм квадратов был отмечен несколькими ранними авторами. Диофант знал о тождестве, включающем сумму двух квадратов, теперь называемом тождеством Брахмагупты-Фибоначчи , которое также сформулировано как свойство евклидовых норм комплексных чисел при умножении. Леонард Эйлер обсуждал тождество четырех квадратов в 1748 году, и это привело У. Р. Гамильтона к построению его четырехмерной алгебры кватернионов . ^[5]^{: 62} В 1848 году были описаны тессарины , давшие первый свет бикомплексным числам.

Около 1818 года датский ученый Фердинанд Деген вывел тождество Дегена с восемью квадратами , которое позднее было связано с нормами элементов алгебры октонионов :

Исторически первая неассоциативная алгебра, числа Кэли ... возникла в контексте теоретико-числовой проблемы квадратичных форм, допускающих композицию... этот теоретико-числовой вопрос можно преобразовать в вопрос, касающийся определенных алгебраических систем, композиционных алгебр... ^[5]^{: 61}

В 1919 году Леонард Диксон продвинул изучение проблемы Гурвица , сделав обзор усилий, предпринятых к тому времени, и продемонстрировав метод удвоения кватернионов для получения чисел Кэли . Он ввел новую мнимую единицу $e$ , а для кватернионов $q$ и $Q$ записал число Кэли $q + Q e$ . Обозначая сопряженный кватернион через $q'$ , произведение двух чисел Кэли равно ^[8]

(q+Qe)(r+Re)=(qr-R'Q)+(Rq+Qr')e.

Сопряжённое число Кэли — это $q' - Q e$ , а квадратичная форма — это $qq' + QQ'$ , полученная путём умножения числа на его сопряжённое число. Метод удвоения стал называться конструкцией Кэли–Диксона .

В 1923 году случай действительных алгебр с положительно определенными формами был ограничен теоремой Гурвица (композиционные алгебры) .

В 1931 году Макс Цорн ввел гамму (γ) в правило умножения в конструкции Диксона для генерации расщепленных октонионов . ^[9] Адриан Альберт также использовал гамму в 1942 году, когда показал, что удвоение Диксона может быть применено к любому полю с функцией возведения в квадрат для построения бинарных, кватернионных и октонионных алгебр с их квадратичными формами. ^[10] Натан Якобсон описал автоморфизмы композиционных алгебр в 1958 году. ^[2]

Классические композиционные алгебры над $R$ и $C$ являются унитальными алгебрами . Композиционные алгебры без мультипликативного тождества были найдены Х. П. Петерссоном ( алгебры Петерссона ) и Сусуму Окубо ( алгебры Окубо ) и другими. ^[11]^{: 463–81}

Смотрите также

Ссылки

В Wikibooks есть книга по теме: Ассоциативная композиционная алгебра

^ Спрингер, штат Калифорния ; Ф.Д. Вельдкамп (2000). Октонионы, жордановые алгебры и исключительные группы . Спрингер-Верлаг . п. 18. ISBN 3-540-66337-1.
^ Аб Джейкобсон, Натан (1958). «Композиционные алгебры и их автоморфизмы». Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo . 7 :55–80. дои : 10.1007/bf02854388. Збл 0083.02702.
^ abc Гай Рус (2008) «Исключительные симметричные области», §1: Алгебры Кэли, в Симметрии в комплексном анализе Брюса Гиллигана и Гая Руса, том 468 Contemporary Mathematics , Американское математическое общество , ISBN 978-0-8218-4459-5
^ Шефер, Ричард Д. (1995) [1966]. Введение в неассоциативные алгебры. Dover Publications . стр. 72–75. ISBN 0-486-68813-5. Збл 0145.25601.
^ abc Кевин Маккриммон (2004) Вкус йордановой алгебры , Universitext, Springer ISBN 0-387-95447-3 MR 2014924
^ Ассоциативная композиция алгебры/Трансцендентальная парадигма#Категориальное обращение в Wikibooks
^ Артур А. Сэгл и Ральф Э. Вальде (1973) Введение в группы Ли и алгебры Ли , страницы 194−200, Academic Press
^ Диксон, Л. Э. (1919), «О кватернионах и их обобщении, а также об истории теоремы о восьми квадратах», Annals of Mathematics , вторая серия, 20 (3), Annals of Mathematics: 155–171, doi : 10.2307/1967865, ISSN 0003-486X, JSTOR 1967865
^ Макс Цорн (1931) «Alternativekörper und Squaretische Systeme», Abhandlungen aus dem Mathematischen Seminar der Universität Hamburg 9 (3/4): 395–402
^ Альберт, Адриан (1942). «Квадратичные формы, допускающие композицию». Annals of Mathematics . 43 (1): 161–177. doi :10.2307/1968887. JSTOR 1968887. Zbl 0060.04003.
^ Макс-Альберт Кнус, Александр Меркурьев , Маркус Рост , Жан-Пьер Тиньоль (1998) «Композиция и триальность», глава 8 в «Книге инволюций» , стр. 451–511, Colloquium Publications v 44, Американское математическое общество ISBN 0-8218-0904-0

Дальнейшее чтение

Faraut, Jacques; Korányi, Adam (1994). Анализ симметричных конусов . Oxford Mathematical Monographs. The Clarendon Press, Oxford University Press, Нью-Йорк. С. 81–86. ISBN 0-19-853477-9. МР 1446489.
Лам, Цит-Юэн (2005). Введение в квадратичные формы над полями . Аспирантура по математике . Том 67. Американское математическое общество. ISBN 0-8218-1095-2. Збл 1068.11023.
Харви, Ф. Риз (1990). Спиноры и калибровки . Перспективы в математике. Том 9. Сан-Диего: Academic Press . ISBN 0-12-329650-1. Збл 0694.53002.