Линейная алгебра

Раздел математики

В трехмерном евклидовом пространстве эти три плоскости представляют решения линейных уравнений, а их пересечение представляет множество общих решений: в данном случае, уникальную точку. Синяя линия — общее решение двух из этих уравнений.

Линейная алгебра — раздел математики, изучающий линейные уравнения, такие как:

${\displaystyle a_{1}x_{1}+\cdots +a_{n}x_{n}=b,}$

линейные карты, такие как:

${\displaystyle (x_{1},\ldots ,x_{n})\mapsto a_{1}x_{1}+\cdots +a_{n}x_{n},}$

и их представления в векторных пространствах и через матрицы . ^{[1] [2] [3]}

Линейная алгебра занимает центральное место почти во всех областях математики. Например, линейная алгебра является фундаментальной в современных представлениях геометрии , в том числе для определения основных объектов, таких как линии , плоскости и вращения . Кроме того, функциональный анализ , раздел математического анализа , можно рассматривать как приложение линейной алгебры к функциональным пространствам .

Линейная алгебра также используется в большинстве наук и областей техники , поскольку она позволяет моделировать многие природные явления и эффективно вычислять с помощью таких моделей. Для нелинейных систем , которые не могут быть смоделированы с помощью линейной алгебры, она часто используется для работы с приближениями первого порядка , используя тот факт, что дифференциал многомерной функции в точке является линейным отображением, которое наилучшим образом приближает функцию вблизи этой точки.

История

Процедура (с использованием счетных стержней) для решения одновременных линейных уравнений, которая теперь называется методом исключения Гаусса, появляется в древнекитайском математическом тексте Глава восьмая: Прямоугольные массивы из Девяти глав о математическом искусстве . Ее использование проиллюстрировано в восемнадцати задачах с двумя-пятью уравнениями. ^[4]

Системы линейных уравнений возникли в Европе с введением Рене Декартом в 1637 году координат в геометрию . Фактически, в этой новой геометрии, теперь называемой декартовой геометрией , линии и плоскости представлены линейными уравнениями, а вычисление их пересечений равносильно решению систем линейных уравнений .

Первые систематические методы решения линейных систем использовали определители и были впервые рассмотрены Лейбницем в 1693 году. В 1750 году Габриэль Крамер использовал их для получения явных решений линейных систем, теперь называемых правилом Крамера . Позже Гаусс дополнительно описал метод исключения, который изначально был указан как достижение в геодезии . ^[5]

В 1844 году Герман Грассман опубликовал свою «Теорию расширения», которая включала в себя основополагающие новые темы того, что сегодня называется линейной алгеброй. В 1848 году Джеймс Джозеф Сильвестр ввел термин матрица , что на латыни означает матка .

Линейная алгебра выросла с идеями, отмеченными в комплексной плоскости . Например, два числа w и z в имеют разность w – z , а отрезки wz и 0( w − z ) имеют одинаковую длину и направление. Отрезки равносильны . Четырехмерная система кватернионов была открыта У. Р. Гамильтоном в 1843 году. ^[6] Термин вектор был введен как v = x i + y j + z k , представляющий точку в пространстве. Разность кватернионов p – q также дает отрезок равносильный pq . Другие гиперкомплексные числовые системы также использовали идею линейного пространства с базисом . ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \mathbb {H} }$

Артур Кэли ввел матричное умножение и обратную матрицу в 1856 году, сделав возможной общую линейную группу . Механизм представления групп стал доступен для описания комплексных и гиперкомплексных чисел. Важно то, что Кэли использовал одну букву для обозначения матрицы, таким образом рассматривая матрицу как агрегатный объект. Он также осознал связь между матрицами и детерминантами и написал: «Можно было бы сказать много вещей об этой теории матриц, которые, как мне кажется, должны предшествовать теории детерминантов». ^[5]

Бенджамин Пирс опубликовал свою «Линейную ассоциативную алгебру» (1872), а его сын Чарльз Сандерс Пирс позже расширил эту работу. ^[7]

Телеграф требовал объяснительной системы, а публикация « Трактата об электричестве и магнетизме» в 1873 году ввела полевую теорию сил и потребовала дифференциальную геометрию для выражения. Линейная алгебра является плоской дифференциальной геометрией и служит в касательных пространствах к многообразиям . Электромагнитные симметрии пространства-времени выражаются преобразованиями Лоренца , и большая часть истории линейной алгебры — это история преобразований Лоренца .

Первое современное и более точное определение векторного пространства было введено Пеано в 1888 году; ^[5] к 1900 году появилась теория линейных преобразований конечномерных векторных пространств. Линейная алгебра приняла свою современную форму в первой половине двадцатого века, когда многие идеи и методы предыдущих столетий были обобщены как абстрактная алгебра . Развитие компьютеров привело к расширению исследований эффективных алгоритмов для исключения Гаусса и матричных разложений, и линейная алгебра стала важным инструментом для моделирования и имитаций. ^[5]

Векторные пространства

До 19 века линейная алгебра была представлена ​​через системы линейных уравнений и матриц . В современной математике представление через векторные пространства , как правило, является предпочтительным, поскольку оно более синтетическое , более общее (не ограничено конечномерным случаем) и концептуально более простое, хотя и более абстрактное.

Векторным пространством над полем F (часто полем действительных чисел ) называется множество V , снабженное двумя бинарными операциями . Элементы V называются векторами , а элементы F называются скалярами . Первая операция, сложение векторов , берет любые два вектора v и w и выводит третий вектор v + w . Вторая операция, скалярное умножение , берет любой скаляр a и любой вектор v и выводит новый вектор a v . Аксиомы, которым должны удовлетворять сложение и скалярное умножение, следующие. (В списке ниже u , v и w являются произвольными элементами V , а a и b являются произвольными скалярами в поле F. ) ^[8]

Первые четыре аксиомы означают, что V является абелевой группой относительно сложения.

Элемент конкретного векторного пространства может иметь различную природу; например, это может быть последовательность , функция , многочлен или матрица . Линейная алгебра занимается теми свойствами таких объектов, которые являются общими для всех векторных пространств.

Линейные карты

Линейные отображения — это отображения между векторными пространствами, которые сохраняют структуру векторного пространства. Если даны два векторных пространства V и W над полем F , линейное отображение (также называемое в некоторых контекстах линейным преобразованием или линейным отображением) — это отображение

${\displaystyle T:V\to W}$

который совместим со сложением и скалярным умножением, то есть

${\displaystyle T(\mathbf {u} +\mathbf {v} )=T(\mathbf {u} )+T(\mathbf {v} ),\quad T(a\mathbf {v} )=aT(\mathbf {v} )}$

для любых векторов u , v в V и скаляра a в F.

Это означает, что для любых векторов u , v в V и скаляров a , b в F имеем

${\displaystyle T(a\mathbf {u} +b\mathbf {v} )=T(a\mathbf {u} )+T(b\mathbf {v} )=aT(\mathbf {u} )+bT(\mathbf {v} )}$

Когда V = W — одно и то же векторное пространство, линейное отображение T  : V → V также известно как линейный оператор на V .

Биективное линейное отображение между двумя векторными пространствами (то есть каждый вектор из второго пространства связан ровно с одним вектором в первом) является изоморфизмом . Поскольку изоморфизм сохраняет линейную структуру, два изоморфных векторных пространства являются «по сути одинаковыми» с точки зрения линейной алгебры, в том смысле, что их нельзя различить с помощью свойств векторного пространства. Существенным вопросом в линейной алгебре является проверка того, является ли линейное отображение изоморфизмом или нет, и, если это не изоморфизм, нахождение его диапазона (или образа) и множества элементов, которые отображаются в нулевой вектор, называемого ядром отображения . Все эти вопросы можно решить с помощью исключения Гаусса или некоторого варианта этого алгоритма .

Подпространства, диапазон и базис

Изучение тех подмножеств векторных пространств, которые сами по себе являются векторными пространствами при индуцированных операциях, является фундаментальным, аналогично тому, как это происходит со многими математическими структурами. Эти подмножества называются линейными подпространствами . Точнее, линейное подпространство векторного пространства V над полем F — это подмножество W из V, такое, что u + v и a u находятся в W , для каждого u , v из W , и каждого a из F . (Эти условия достаточны для того, чтобы предположить, что W является векторным пространством.)

Например, если задано линейное отображение T  : V → W , то образ T ( V ) пространства V и прообраз T ⁻¹ ( 0 ) пространства 0 (называемый ядром или нулевым пространством) являются линейными подпространствами W и V соответственно.

Другим важным способом формирования подпространства является рассмотрение линейных комбинаций набора S векторов: набора всех сумм

${\displaystyle a_{1}\mathbf {v} _{1}+a_{2}\mathbf {v} _{2}+\cdots +a_{k}\mathbf {v} _{k},}$

где v ₁ , v ₂ , ..., v _k находятся в S , а a ₁ , a ₂ , ..., a _k находятся в F , образуют линейное подпространство, называемое размахом S . Размах S также является пересечением всех линейных подпространств, содержащих S . Другими словами, это наименьшее (для отношения включения) линейное подпространство, содержащее S .

Набор векторов линейно независим, если ни один из них не попадает в диапазон других. Эквивалентно, набор векторов S линейно независим, если единственный способ выразить нулевой вектор как линейную комбинацию элементов S — это взять ноль для каждого коэффициента a _i .

Набор векторов, охватывающий векторное пространство, называется охватывающим набором или порождающим набором . Если охватывающий набор S линейно зависим ( то есть не является линейно независимым), то некоторый элемент w из S находится в охвате других элементов S , и охват останется прежним, если удалить w из S. Можно продолжать удалять элементы S до тех пор, пока не получим линейно независимый охватывающий набор . Такой линейно независимый набор, охватывающий векторное пространство V , называется базисом V. Важность базисов заключается в том, что они одновременно являются минимальными порождающими наборами и максимальными независимыми наборами. Точнее, если S является линейно независимым набором, а T является охватывающим набором, таким что S ⊆ T , то существует базис B, такой что S ⊆ B ⊆ T.

Любые два базиса векторного пространства V имеют одинаковую мощность , которая называется размерностью V ; это теорема о размерности для векторных пространств . Более того , два векторных пространства над одним и тем же полем F изоморфны тогда и только тогда, когда они имеют одинаковую размерность. ^[9]

Если любой базис V (и, следовательно, каждый базис) имеет конечное число элементов, V является конечномерным векторным пространством . Если U является подпространством V , то dim U ≤ dim V. В случае, когда V конечномерно , равенство размерностей влечет U = V.

Если U ₁ и U ₂ являются подпространствами V , то

${\displaystyle \dim(U_{1}+U_{2})=\dim U_{1}+\dim U_{2}-\dim(U_{1}\cap U_{2}),}$

где U ₁ + U ₂ обозначает диапазон U ₁ ∪ U ₂ . ^[10]

Матрицы

Матрицы позволяют явно манипулировать конечномерными векторными пространствами и линейными отображениями . Таким образом, их теория является неотъемлемой частью линейной алгебры.

Пусть V — конечномерное векторное пространство над полем F , а ( v ₁ , v ₂ , ..., v _m ) — базис V (таким образом, m — размерность V ). По определению базиса отображение

${\displaystyle {\begin{aligned}(a_{1},\ldots ,a_{m})&\mapsto a_{1}\mathbf {v} _{1}+\cdots a_{m}\mathbf {v} _{m}\\F^{m}&\to V\end{aligned}}}$

является биекцией из F ^m , множества последовательностей m элементов F , на V . Это изоморфизм векторных пространств, если F ^m снабжено его стандартной структурой векторного пространства, где сложение векторов и скалярное умножение выполняются покомпонентно.

Этот изоморфизм позволяет представить вектор его прообразом при этом изоморфизме, то есть вектором координат ( a ₁ , ..., a _m ) или матрицей-столбцом

${\displaystyle {\begin{bmatrix}a_{1}\\\vdots \\a_{m}\end{bmatrix}}.}$

Если W — другое конечномерное векторное пространство (возможно, то же самое) с базисом ( w ₁ , ..., w _n ) , линейное отображение f из W в V хорошо определяется его значениями на базисных элементах, то есть ( f ( w ₁ ), ..., f ( w _n )) . Таким образом, f хорошо представляется списком соответствующих матриц-столбцов. То есть, если

${\displaystyle f(w_{j})=a_{1,j}v_{1}+\cdots +a_{m,j}v_{m},}$

для j = 1, ..., n , то f представляется матрицей

${\displaystyle {\begin{bmatrix}a_{1,1}&\cdots &a_{1,n}\\\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m,1}&\cdots &a_{m,n}\end{bmatrix}},}$

с m строками и n столбцами.

Матричное умножение определяется таким образом, что произведение двух матриц является матрицей композиции соответствующих линейных отображений, а произведение матрицы и матрицы-столбца является матрицей-столбцом, представляющей результат применения представленного линейного отображения к представленному вектору. Из этого следует, что теория конечномерных векторных пространств и теория матриц являются двумя разными языками для выражения совершенно одних и тех же понятий.

Две матрицы, которые кодируют одно и то же линейное преобразование в разных базисах, называются подобными . Можно доказать, что две матрицы подобны тогда и только тогда, когда одну можно преобразовать в другую с помощью элементарных операций над строками и столбцами . Для матрицы, представляющей линейное отображение из W в V , операции над строками соответствуют изменению базисов в V , а операции над столбцами соответствуют изменению базисов в W. Каждая матрица подобна единичной матрице, возможно, ограниченной нулевыми строками и нулевыми столбцами. В терминах векторных пространств это означает, что для любого линейного отображения из W в V существуют базисы, такие, что часть базиса W отображается биективно на часть базиса V , и что оставшиеся элементы базиса W , если таковые имеются, отображаются в ноль. Гауссово исключение является основным алгоритмом для нахождения этих элементарных операций и доказательства этих результатов.

Линейные системы

Конечный набор линейных уравнений относительно конечного набора переменных, например, x ₁ , x ₂ , ..., x _n , или x , y , ..., z называется системой линейных уравнений или линейной системой . ^{[11] [12] [13] [14] [15]}

Системы линейных уравнений образуют фундаментальную часть линейной алгебры. Исторически линейная алгебра и теория матриц были разработаны для решения таких систем. В современном представлении линейной алгебры через векторные пространства и матрицы многие проблемы могут быть интерпретированы в терминах линейных систем.

Например, пусть

быть линейной системой.

К такой системе можно отнести ее матрицу

${\displaystyle M=\left[{\begin{array}{rrr}2&1&-1\\-3&-1&2\\-2&1&2\end{array}}\right].}$

и его правый член вектора

${\displaystyle \mathbf {v} ={\begin{bmatrix}8\\-11\\-3\end{bmatrix}}.}$

Пусть T — линейное преобразование, связанное с матрицей M. Решением системы ( S ) является вектор

${\displaystyle \mathbf {X} ={\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}}}$

такой что

${\displaystyle T(\mathbf {X} )=\mathbf {v} ,}$

который является элементом прообраза v по T.

Пусть ( S′ ) — соответствующая однородная система , где правые части уравнений приравнены к нулю:

Решения ( S′ ) являются в точности элементами ядра T или , что эквивалентно , M .

Гауссово исключение состоит из выполнения элементарных строчных операций над расширенной матрицей

${\displaystyle \left[\!{\begin{array}{c|c}M&\mathbf {v} \end{array}}\!\right]=\left[{\begin{array}{rrr|r}2&1&-1&8\\-3&-1&2&-11\\-2&1&2&-3\end{array}}\right]}$

для приведения его к форме сокращенного ряда ступеней . Эти операции со строками не изменяют множество решений системы уравнений. В примере сокращенная форма ступеней — это

${\displaystyle \left[\!{\begin{array}{c|c}M&\mathbf {v} \end{array}}\!\right]=\left[{\begin{array}{rrr|r}1&0&0&2\\0&1&0&3\\0&0&1&-1\end{array}}\right],}$

показывая, что система ( S ) имеет единственное решение

${\displaystyle {\begin{aligned}x&=2\\y&=3\\z&=-1.\end{aligned}}}$

Из этой матричной интерпретации линейных систем следует, что те же методы могут быть применены для решения линейных систем и для многих операций над матрицами и линейными преобразованиями, которые включают вычисление рангов , ядер , обратных матриц .

Эндоморфизмы и квадратные матрицы

Линейный эндоморфизм — это линейное отображение, которое отображает векторное пространство V в себя. Если V имеет базис из n элементов, такой эндоморфизм представляется квадратной матрицей размера n .

Что касается общих линейных отображений, линейные эндоморфизмы и квадратные матрицы обладают некоторыми специфическими свойствами, которые делают их изучение важной частью линейной алгебры, которая используется во многих разделах математики, включая геометрические преобразования , изменения координат , квадратичные формы и многие другие разделы математики.

Определитель

Определитель квадратной матрицы A определяется как ^[16]

${\displaystyle \sum _{\sigma \in S_{n}}(-1)^{\sigma }a_{1\sigma (1)}\cdots a_{n\sigma (n)},}$

где S _n — группа всех перестановок из n элементов, σ — перестановка, а (−1) ^σ — четность перестановки . Матрица обратима тогда и только тогда, когда обратим определитель (т. е. ненулевой, если скаляры принадлежат полю).

Правило Крамера — это замкнутое выражение в терминах определителей решения системы из n линейных уравнений с n неизвестными . Правило Крамера полезно для рассуждений о решении, но, за исключением случаев n = 2 или 3 , оно редко используется для вычисления решения, поскольку метод исключения Гаусса является более быстрым алгоритмом.

Определитель эндоморфизма — это определитель матрицы, представляющей эндоморфизм в терминах некоторого упорядоченного базиса. Это определение имеет смысл, поскольку этот определитель не зависит от выбора базиса.

Собственные значения и собственные векторы

Если f — линейный эндоморфизм векторного пространства V над полем F , то собственный вектор f — это ненулевой вектор v из V , такой что f ( v ) = av для некоторого скаляра a из F. Этот скаляр a является собственным значением f .

Если размерность V конечна и выбран базис, то f и v могут быть представлены, соответственно, квадратной матрицей M и матрицей-столбцом z ; уравнение, определяющее собственные векторы и собственные значения, принимает вид

${\displaystyle Mz=az.}$

Используя единичную матрицу I , все элементы которой равны нулю, за исключением элементов главной диагонали, которые равны единице, это можно переписать

${\displaystyle (M-aI)z=0.}$

Поскольку z должно быть ненулевым, это означает, что M – aI является сингулярной матрицей , и, таким образом, ее определитель det ( M − aI ) равен нулю. Собственные значения, таким образом, являются корнями многочлена

${\displaystyle \det(xI-M).}$

Если V имеет размерность n , то это монический многочлен степени n , называемый характеристическим многочленом матрицы (или эндоморфизма), и имеется не более n собственных значений.

Если существует базис, состоящий только из собственных векторов, матрица f на этом базисе имеет очень простую структуру: это диагональная матрица, такая, что элементы на главной диагонали являются собственными значениями, а другие элементы равны нулю. В этом случае эндоморфизм и матрица называются диагонализируемыми . В более общем смысле, эндоморфизм и матрица также называются диагонализируемыми, если они становятся диагонализируемыми после расширения поля скаляров. В этом расширенном смысле, если характеристический многочлен свободен от квадратов , то матрица диагонализируема.

Симметричная матрица всегда диагонализируема. Существуют недиагонализуемые матрицы, простейшая из которых

${\displaystyle {\begin{bmatrix}0&1\\0&0\end{bmatrix}}}$

(она не может быть диагонализирована, поскольку ее квадрат — это нулевая матрица , а квадрат ненулевой диагональной матрицы никогда не равен нулю).

Когда эндоморфизм не диагонализуем, существуют основания, на которых он имеет простую форму, хотя и не такую ​​простую, как диагональная форма. Нормальная форма Фробениуса не нуждается в расширении поля скаляров и делает характеристический многочлен сразу читаемым на матрице. Нормальная форма Жордана требует расширения поля скаляров для включения всех собственных значений и отличается от диагональной формы только некоторыми элементами, которые находятся чуть выше главной диагонали и равны 1.

Двойственность

Линейная форма — это линейное отображение из векторного пространства V над полем F в поле скаляров F , рассматриваемое как векторное пространство над собой. Оснащенные поточечным сложением и умножением на скаляр, линейные формы образуют векторное пространство, называемое дуальным пространством V , и обычно обозначаемое V* ^[17] или V ′ . ^[18] [ ^19]

Если v ₁ , ..., v _n является базисом V (это подразумевает, что V конечномерно), то можно определить для i = 1, ..., n линейное отображение v _i * такое, что v _i *( v _i ) = 1 и v _i *( v _j ) = 0, если j ≠ i . Эти линейные отображения образуют базис V * , называемый двойственным базисом v ₁ , ..., v _n . (Если V не конечномерно, v _i * можно определить аналогично; они линейно независимы , но не образуют базис.)

Для v в V отображение

${\displaystyle f\to f(\mathbf {v} )}$

является линейной формой на V* . Это определяет каноническое линейное отображение из V в ( V *)* , двойственное к V* , называемое двойным двойственным или бидуальным к V. Это каноническое отображение является изоморфизмом, если V конечномерно , и это позволяет отождествить V с его бидуальным. (В бесконечномерном случае каноническое отображение инъективно, но не сюръективно.)

Таким образом, существует полная симметрия между конечномерным векторным пространством и его дуальным. Это мотивирует частое использование в этом контексте обозначения скобок

${\displaystyle \langle f,\mathbf {x} \rangle }$

для обозначения f ( x ) .

Двойная карта

Позволять

${\displaystyle f:V\to W}$

быть линейным отображением. Для каждой линейной формы h на W , составная функция h ∘ f является линейной формой на V . Это определяет линейное отображение

${\displaystyle f^{*}:W^{*}\to V^{*}}$

между дуальными пространствами, которое называется дуальным или транспонированным f .

Если V и W конечномерны, а M — матрица f в терминах некоторых упорядоченных базисов, то матрица f* по двойственным базисам является транспонированной M ^T матрицы M , полученной путем перестановки строк и столбцов.

Если элементы векторных пространств и их двойственные элементы представлены векторами-столбцами, то эта двойственность может быть выражена в скобочной нотации следующим образом:

${\displaystyle \langle h^{\mathsf {T}},M\mathbf {v} \rangle =\langle h^{\mathsf {T}}M,\mathbf {v} \rangle .}$

Для подчеркивания этой симметрии два члена этого равенства иногда записываются

${\displaystyle \langle h^{\mathsf {T}}\mid M\mid \mathbf {v} \rangle .}$

Внутренне-продуктовые пространства

Помимо этих основных понятий, линейная алгебра также изучает векторные пространства с дополнительной структурой, такой как скалярное произведение . Скалярное произведение является примером билинейной формы , и оно придает векторному пространству геометрическую структуру, позволяя определять длину и углы. Формально, скалярное произведение является отображением

${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle :V\times V\to F}$

который удовлетворяет следующим трем аксиомам для всех векторов u , v , w в V и всех скаляров a в F : ^{[20] [21]}

• Сопряженная симметрия:

  ${\displaystyle \langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle ={\overline {\langle \mathbf {v} ,\mathbf {u} \rangle }}.}$

В , он симметричен. ${\displaystyle \mathbb {R} }$

• Линейность по первому аргументу:

  ${\displaystyle {\begin{aligned}\langle a\mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle &=a\langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle .\\\langle \mathbf {u} +\mathbf {v} ,\mathbf {w} \rangle &=\langle \mathbf {u} ,\mathbf {w} \rangle +\langle \mathbf {v} ,\mathbf {w} \rangle .\end{aligned}}}$

• Положительная определенность :

  ${\displaystyle \langle \mathbf {v} ,\mathbf {v} \rangle \geq 0}$

с равенством только при v = 0 .

Мы можем определить длину вектора v в V как

${\displaystyle \|\mathbf {v} \|^{2}=\langle \mathbf {v} ,\mathbf {v} \rangle ,}$

и мы можем доказать неравенство Коши–Шварца :

${\displaystyle |\langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle |\leq \|\mathbf {u} \|\cdot \|\mathbf {v} \|.}$

В частности, количество

${\displaystyle {\frac {|\langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle |}{\|\mathbf {u} \|\cdot \|\mathbf {v} \|}}\leq 1,}$

и поэтому мы можем назвать эту величину косинусом угла между двумя векторами.

Два вектора ортогональны, если ⟨ u , v ⟩ = 0 . Ортонормированный базис — это базис, в котором все базисные векторы имеют длину 1 и ортогональны друг другу. Для любого конечномерного векторного пространства ортонормированный базис может быть найден с помощью процедуры Грама–Шмидта . С ортонормированными базисами особенно легко иметь дело, поскольку если v = a ₁ v ₁ + ⋯ + a _n v _n , то

${\displaystyle a_{i}=\langle \mathbf {v} ,\mathbf {v} _{i}\rangle .}$

Внутренний продукт облегчает построение многих полезных концепций. Например, для преобразования T мы можем определить его эрмитово сопряженное T* как линейное преобразование, удовлетворяющее

${\displaystyle \langle T\mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle =\langle \mathbf {u} ,T^{*}\mathbf {v} \rangle .}$

Если T удовлетворяет TT* = T*T , мы называем T нормальной . Оказывается, нормальные матрицы — это в точности матрицы, имеющие ортонормированную систему собственных векторов, охватывающих V.

Связь с геометрией

Между линейной алгеброй и геометрией существует тесная связь , которая началась с введения Рене Декартом в 1637 году декартовых координат . В этой новой (на тот момент) геометрии, теперь называемой декартовой геометрией , точки представлены декартовыми координатами , которые являются последовательностями трех действительных чисел (в случае обычного трехмерного пространства ). Основные объекты геометрии, которыми являются прямые и плоскости, представлены линейными уравнениями. Таким образом, вычисление пересечений прямых и плоскостей равносильно решению систем линейных уравнений. Это было одним из главных мотивов развития линейной алгебры.

Большинство геометрических преобразований , таких как переносы , вращения , отражения , жесткие движения , изометрии и проекции , преобразуют линии в линии. Из этого следует, что их можно определить, указать и изучить в терминах линейных отображений. Это также касается гомографий и преобразований Мёбиуса , рассматриваемых как преобразования проективного пространства .

До конца 19 века геометрические пространства определялись аксиомами , связывающими точки, прямые и плоскости ( синтетическая геометрия ). Примерно в это же время стало ясно, что геометрические пространства можно определять и с помощью конструкций, включающих векторные пространства (см., например, Проективное пространство и Аффинное пространство ). Было показано, что эти два подхода по сути эквивалентны. ^[22] В классической геометрии задействованные векторные пространства являются векторными пространствами над действительными числами, но конструкции могут быть расширены до векторных пространств над любым полем, что позволяет рассматривать геометрию над произвольными полями, включая конечные поля .

В настоящее время большинство учебников вводят геометрические пространства из линейной алгебры, а геометрия часто представляется на элементарном уровне как подраздел линейной алгебры.

Использование и применение

Линейная алгебра используется почти во всех областях математики, что делает ее актуальной почти во всех научных областях, использующих математику. Эти приложения можно разделить на несколько широких категорий.

Функциональный анализ

Функциональный анализ изучает функциональные пространства . Это векторные пространства с дополнительной структурой, такие как пространства Гильберта . Таким образом, линейная алгебра является фундаментальной частью функционального анализа и его приложений, которые включают, в частности, квантовую механику ( волновые функции ) и анализ Фурье ( ортогональный базис ).

Научные вычисления

Почти все научные вычисления включают линейную алгебру. Следовательно, алгоритмы линейной алгебры были высоко оптимизированы. BLAS и LAPACK являются наиболее известными реализациями. Для повышения эффективности некоторые из них автоматически настраивают алгоритмы во время выполнения для адаптации их к особенностям компьютера ( размер кэша , количество доступных ядер , ...).

Некоторые процессоры , как правило, графические процессоры (GPU), разработаны с матричной структурой для оптимизации операций линейной алгебры. ^{[ необходима цитата ]}

Геометрия окружающего пространства

Моделирование окружающего пространства основано на геометрии . Науки , связанные с этим пространством, широко используют геометрию. Это касается механики и робототехники для описания динамики твердого тела ; геодезии для описания формы Земли ; перспективности , компьютерного зрения и компьютерной графики для описания взаимосвязи между сценой и ее плоским представлением; и многих других научных областей.

Во всех этих приложениях синтетическая геометрия часто используется для общих описаний и качественного подхода, но для изучения явных ситуаций необходимо производить вычисления с координатами . Это требует интенсивного использования линейной алгебры.

Изучение сложных систем

Большинство физических явлений моделируются уравнениями в частных производных . Для их решения обычно разбивают пространство, в котором ищутся решения, на небольшие взаимодействующие ячейки . Для линейных систем это взаимодействие включает линейные функции . Для нелинейных систем это взаимодействие часто аппроксимируется линейными функциями. ^[b] Это называется линейной моделью или приближением первого порядка. Линейные модели часто используются для сложных нелинейных систем реального мира, поскольку это делает параметризацию более управляемой. ^[23] В обоих случаях обычно задействованы очень большие матрицы. Прогнозирование погоды (или, точнее, параметризация для моделирования атмосферы ) является типичным примером приложения реального мира, где вся атмосфера Земли разделена на ячейки, скажем, 100 км ширины и 100 км высоты.

Механика жидкости, гидродинамика и тепловые энергетические системы

^{[24] [25] [26]}

Линейная алгебра, раздел математики, занимающийся векторными пространствами и линейными отображениями между этими пространствами, играет важную роль в различных инженерных дисциплинах, включая механику жидкости , гидродинамику и тепловые энергетические системы. Ее применение в этих областях многогранно и незаменимо для решения сложных задач.

В механике жидкости линейная алгебра является неотъемлемой частью понимания и решения проблем, связанных с поведением жидкостей. Она помогает в моделировании и имитации потока жидкости, предоставляя необходимые инструменты для анализа проблем динамики жидкости . Например, линейные алгебраические методы используются для решения систем дифференциальных уравнений , описывающих движение жидкости. Эти уравнения, часто сложные и нелинейные , могут быть линеаризованы с использованием методов линейной алгебры, что позволяет получать более простые решения и анализы.

В области гидродинамики линейная алгебра находит свое применение в вычислительной гидродинамике (CFD), отрасли, которая использует численный анализ и структуры данных для решения и анализа задач, связанных с потоками жидкости. CFD в значительной степени опирается на линейную алгебру для вычисления потока жидкости и теплопередачи в различных приложениях. Например, уравнения Навье-Стокса , фундаментальные в гидродинамике , часто решаются с использованием методов, полученных из линейной алгебры. Это включает использование матриц и векторов для представления и управления полями потока жидкости.

Кроме того, линейная алгебра играет решающую роль в тепловых энергетических системах, особенно в анализе энергосистем . Она используется для моделирования и оптимизации генерации, передачи и распределения электроэнергии. Линейные алгебраические концепции, такие как матричные операции и задачи на собственные значения, используются для повышения эффективности, надежности и экономических показателей энергосистем . Применение линейной алгебры в этом контексте имеет жизненно важное значение для проектирования и эксплуатации современных энергосистем , включая возобновляемые источники энергии и интеллектуальные сети .

В целом, применение линейной алгебры в механике жидкости , гидродинамике и системах тепловой энергии является примером глубокой взаимосвязи между математикой и инженерией . Она предоставляет инженерам необходимые инструменты для моделирования, анализа и решения сложных проблем в этих областях, что приводит к прогрессу в технологии и промышленности.

Расширения и обобщения

В этом разделе представлено несколько связанных тем, которые обычно не встречаются в начальных учебниках по линейной алгебре, но обычно рассматриваются в высшей математике как части линейной алгебры.

Теория модулей

Существование мультипликативных обратных в полях не входит в аксиомы, определяющие векторное пространство. Таким образом, можно заменить поле скаляров кольцом R , и это даст структуру, называемую модулем над R , или R -модулем.

Понятия линейной независимости, охвата, базиса и линейных отображений (также называемых гомоморфизмами модулей ) определяются для модулей точно так же, как и для векторных пространств, с той существенной разницей, что если R не является полем, то существуют модули, не имеющие никакого базиса. Модули, имеющие базис, являются свободными модулями , а те, которые охватываются конечным множеством, являются конечно порожденными модулями . Гомоморфизмы модулей между конечно порожденными свободными модулями могут быть представлены матрицами. Теория матриц над кольцом похожа на теорию матриц над полем, за исключением того, что определители существуют только если кольцо коммутативно , и что квадратная матрица над коммутативным кольцом обратима, только если ее определитель имеет мультипликативную обратную в кольце.

Векторные пространства полностью характеризуются своей размерностью (с точностью до изоморфизма). В общем случае для модулей не существует столь полной классификации, даже если ограничиться конечно порождёнными модулями. Однако каждый модуль является коядром гомоморфизма свободных модулей.

Модули над целыми числами можно отождествить с абелевыми группами , поскольку умножение на целое число можно отождествить с повторным сложением. Большая часть теории абелевых групп может быть распространена на модули над областью главных идеалов . В частности, над областью главных идеалов каждый подмодуль свободного модуля свободен, и фундаментальная теорема о конечно порожденных абелевых группах может быть непосредственно распространена на конечно порожденные модули над главным кольцом.

Существует множество колец, для которых существуют алгоритмы решения линейных уравнений и систем линейных уравнений. Однако эти алгоритмы, как правило, имеют вычислительную сложность , намного превышающую аналогичные алгоритмы над полем. Подробнее см. Линейное уравнение над кольцом .

Полилинейная алгебра и тензоры

В полилинейной алгебре рассматриваются многомерные линейные преобразования, то есть отображения, линейные по каждой из нескольких различных переменных. Эта линия исследования естественным образом приводит к идее дуального пространства , векторного пространства V*, состоящего из линейных отображений f  : V → F , где F — поле скаляров. Полилинейные отображения T  : V ⁿ → F можно описать с помощью тензорных произведений элементов V* .

Если в дополнение к векторному сложению и скалярному умножению имеется билинейное векторное произведение V × V → V , то векторное пространство называется алгеброй ; например, ассоциативные алгебры — это алгебры с ассоциированным векторным произведением (как алгебра квадратных матриц или алгебра многочленов).

Топологические векторные пространства

Векторные пространства, не являющиеся конечномерными, часто требуют дополнительной структуры для того, чтобы быть трактуемыми. Нормированное векторное пространство — это векторное пространство вместе с функцией, называемой нормой , которая измеряет «размер» элементов. Норма индуцирует метрику , которая измеряет расстояние между элементами, и индуцирует топологию , которая позволяет определить непрерывные отображения. Метрика также позволяет определить пределы и полноту — нормированное векторное пространство, которое является полным, известно как банахово пространство . Полное метрическое пространство вместе с дополнительной структурой внутреннего произведения (сопряженной симметричной полуторалинейной формы ) известно как гильбертово пространство , которое в некотором смысле является особенно хорошо себя ведущим банаховым пространством. Функциональный анализ применяет методы линейной алгебры наряду с методами математического анализа для изучения различных функциональных пространств; центральными объектами изучения в функциональном анализе являются пространства L p , которые являются банаховыми пространствами, и особенно пространство L ² квадратично интегрируемых функций, которое является единственным гильбертовым пространством среди них. Функциональный анализ имеет особое значение для квантовой механики, теории уравнений с частными производными, цифровой обработки сигналов и электротехники. Он также обеспечивает основу и теоретическую структуру, лежащую в основе преобразования Фурье и связанных с ним методов.

Смотрите также

• Фундаментальная матрица (компьютерное зрение)
• Геометрическая алгебра
• Линейное программирование
• Линейная регрессия , метод статистической оценки
• Численная линейная алгебра
• Очерк линейной алгебры
• Матрица преобразования

Пояснительные записки

1. Эта аксиома не утверждает ассоциативность операции, поскольку речь идет о двух операциях: скалярном умножении b v и полевом умножении: ab .
2. Это может привести к тому, что некоторые физически интересные решения будут опущены.

Цитаты

1. Баннерджи, Судипто; Рой, Аниндья (2014). Линейная алгебра и матричный анализ для статистики . Тексты по статистической науке (1-е изд.). Chapman and Hall/CRC. ISBN 978-1420095388.
2. Стрэнг, Гилберт (19 июля 2005 г.). Линейная алгебра и ее приложения (4-е изд.). Брукс Коул. ISBN 978-0-03-010567-8.
3. Weisstein, Eric. "Linear Algebra". MathWorld . Wolfram . Получено 16 апреля 2012 г. .
4. Харт, Роджер (2010). Китайские корни линейной алгебры. JHU Press . ISBN 9780801899584.
5. Витулли, Мари . "Краткая история линейной алгебры и теории матриц". Кафедра математики . Университет Орегона. Архивировано из оригинала 2012-09-10 . Получено 2014-07-08 .
6. Koecher, M., Remmert, R. (1991). Кватернионы Гамильтона. В: Числа. Graduate Texts in Mathematics, т. 123. Springer, Нью-Йорк, штат Нью-Йорк. https://doi.org/10.1007/978-1-4612-1005-4_10
7. Бенджамин Пирс (1872) Линейная ассоциативная алгебра , литография, новое издание с исправлениями, примечаниями и добавленной статьей Пирса 1875 года, а также примечаниями его сына Чарльза Сандерса Пирса , опубликовано в American Journal of Mathematics v. 4, 1881, Университет Джонса Хопкинса, стр. 221–226, Google Eprint и в качестве отрывка, D. Van Nostrand, 1882, Google Eprint.
8. Роман (2005, гл. 1, стр. 27)
9. Акслер (2015) стр. 82, §3.59
10. Акслер (2015) стр. 23, §1.45
11. Антон (1987, стр. 2)
12. Борегар и Фрели (1973, стр. 65)
13. Бремя и ярмарки (1993, стр. 324)
14. Голуб и Ван Лоан (1996, стр. 87)
15. Харпер (1976, стр. 57)
16. Кацнельсон и Кацнельсон (2008), стр. 76–77, § 4.4.1–4.4.6.
17. Кацнельсон и Кацнельсон (2008), с. 37 §2.1.3
18. Халмош (1974) стр. 20, §13
19. Акслер (2015) стр. 101, §3.94
20. PK Jain, Khalil Ahmad (1995). "5.1 Определения и основные свойства пространств внутреннего произведения и гильбертовых пространств". Функциональный анализ (2-е изд.). New Age International. стр. 203. ISBN 81-224-0801-X.
21. Эдуард Пруговецкий (1981). «Определение 2.1». Квантовая механика в гильбертовом пространстве (2-е изд.). Academic Press. стр. 18 и далее . ISBN 0-12-566060-X.
22. Эмиль Артин (1957) Геометрическая алгебра Interscience Publishers
23. Савов, Иван (2017). Никакого бредового руководства по линейной алгебре . Компания Миниссылка. стр. 150–155. ISBN 9780992001025.
24. «MIT OpenCourseWare. Специальные темы по математике с приложениями: линейная алгебра и вариационное исчисление — машиностроение».
25. "Инженерный колледж FAMU-FSU. Программа бакалавриата ME".
26. «Университет Колорадо в Денвере. Энергетика и энергосистемы».

Общие и цитируемые источники

• Антон, Говард (1987), Элементарная линейная алгебра (5-е изд.), Нью-Йорк: Wiley , ISBN 0-471-84819-0
• Акслер, Шелдон (18 декабря 2014 г.), Линейная алгебра, выполненная правильно , Undergraduate Texts in Mathematics (3-е изд.), Springer Publishing (опубликовано в 2015 г.), ISBN 978-3-319-11079-0, МР  3308468
• Борегард, Рэймонд А.; Фрейли, Джон Б. (1973), Первый курс линейной алгебры: с дополнительным введением в группы, кольца и поля , Бостон: Houghton Mifflin Company , ISBN 0-395-14017-X
• Берден, Ричард Л.; Фейрес, Дж. Дуглас (1993), Численный анализ (5-е изд.), Бостон: Prindle, Weber and Schmidt, ISBN 0-534-93219-3
• Голуб, Джин Х.; Ван Лоан, Чарльз Ф. (1996), Матричные вычисления , Исследования Джонса Хопкинса по математическим наукам (3-е изд.), Балтимор: Издательство Университета Джонса Хопкинса , ISBN 978-0-8018-5414-9
• Халмош, Пол Ричард (1974), Конечномерные векторные пространства, Бакалаврские тексты по математике (1958, 2-е изд.), Springer Publishing , ISBN 0-387-90093-4, OCLC  1251216
• Харпер, Чарли (1976), Введение в математическую физику , Нью-Джерси: Prentice-Hall , ISBN 0-13-487538-9
• Кацнельсон, Ицхак ; Кацнельсон, Йонатан Р. (2008), A (краткое) Введение в линейную алгебру , Американское математическое общество , ISBN 978-0-8218-4419-9
• Роман, Стивен (22 марта 2005 г.), Продвинутая линейная алгебра , Graduate Texts in Mathematics (2-е изд.), Springer, ISBN 978-0-387-24766-3

Дальнейшее чтение

История

• Фернли-Сандер, Десмонд, «Герман Грассман и создание линейной алгебры», American Mathematical Monthly 86 (1979), стр. 809–817.
• Грассманн, Герман (1844), Die lineale Ausdehnungslehre ein neuer Zweig der Mathematik: dargestellt und durch Anwendungen auf die übrigen Zweige der Mathematik, wie auch auf die Statik, Mechanik, die Lehre vom Magnetismus und die Krystallonomie erläutert , О. Виганд

Вводные учебники

• Антон, Говард (2005), Элементарная линейная алгебра (версия приложений) (9-е изд.), Wiley International
• Баннерджи, Судипто; Рой, Аниндья (2014), Линейная алгебра и матричный анализ для статистики , Тексты по статистической науке (1-е изд.), Chapman and Hall/CRC, ISBN 978-1420095388
• Бретшер, Отто (2004), Линейная алгебра с приложениями (3-е изд.), Prentice Hall, ISBN 978-0-13-145334-0
• Фарин, Джеральд; Хансфорд, Дайан (2004), Практическая линейная алгебра: набор инструментов геометрии , AK Peters, ISBN 978-1-56881-234-2
• Хефферон, Джим (2020). Линейная алгебра (4-е изд.). Энн-Арбор, Мичиган : Orthogonal Publishing. ISBN 978-1-944325-11-4. OCLC  1178900366. OL  30872051M.
• Колман, Бернард; Хилл, Дэвид Р. (2007), Элементарная линейная алгебра с приложениями (9-е изд.), Prentice Hall, ISBN 978-0-13-229654-0
• Лэй, Дэвид С. (2005), Линейная алгебра и ее приложения (3-е изд.), Эддисон Уэсли, ISBN 978-0-321-28713-7
• Леон, Стивен Дж. (2006), Линейная алгебра с приложениями (7-е изд.), Pearson Prentice Hall, ISBN 978-0-13-185785-8
• Murty, Katta G. (2014) Computational and Algorithmic Linear Algebra and n-Dimensional Geometry , World Scientific Publishing, ISBN 978-981-4366-62-5 . Глава 1: Системы одновременных линейных уравнений 
• Нобл, Б. и Дэниел, Дж. У. (2-е изд. 1977 г.) [1] , Pearson Higher Education, ISBN 978-0130413437 . 
• Пул, Дэвид (2010), Линейная алгебра: Современное введение (3-е изд.), Cengage – Brooks/Cole, ISBN 978-0-538-73545-2
• Рикардо, Генри (2010), Современное введение в линейную алгебру (1-е изд.), CRC Press, ISBN 978-1-4398-0040-9
• Садун, Лоренцо (2008), Прикладная линейная алгебра: принцип развязки (2-е изд.), AMS, ISBN 978-0-8218-4441-0
• Стрэнг, Гилберт (2016), Введение в линейную алгебру (5-е изд.), Wellesley-Cambridge Press, ISBN 978-09802327-7-6
• Руководство по линейной алгебре в манге (2012), авторы: Шин Такахаси , Ироха Иноуэ и Trend-Pro Co., Ltd., ISBN 978-1-59327-413-9 

Продвинутые учебники

• Бхатия, Раджендра (15 ноября 1996 г.), Матричный анализ , Graduate Texts in Mathematics , Springer, ISBN 978-0-387-94846-1
• Деммел, Джеймс У. (1 августа 1997 г.), Прикладная численная линейная алгебра , SIAM, ISBN 978-0-89871-389-3
• Дайм, Гарри (2007), Линейная алгебра в действии , AMS, ISBN 978-0-8218-3813-6
• Гантмахер, Феликс Р. (2005), Приложения теории матриц , Dover Publications, ISBN 978-0-486-44554-0
• Гантмахер, Феликс Р. (1990), Матричная теория, том 1 (2-е изд.), Американское математическое общество, ISBN 978-0-8218-1376-8
• Гантмахер, Феликс Р. (2000), Матричная теория, том 2 (2-е изд.), Американское математическое общество, ISBN 978-0-8218-2664-5
• Гельфанд, Израиль М. (1989), Лекции по линейной алгебре , Dover Publications, ISBN 978-0-486-66082-0
• Глазман, И. М.; Любич, Ю. И. (2006), Конечномерный линейный анализ , Dover Publications, ISBN 978-0-486-45332-3
• Голан, Джонатан С. (январь 2007 г.), Линейная алгебра, которую должен знать начинающий аспирант (2-е изд.), Springer, ISBN 978-1-4020-5494-5
• Голан, Джонатан С. (август 1995 г.), Основы линейной алгебры , Kluwer, ISBN 0-7923-3614-3
• Greub, Werner H. (16 октября 1981 г.), Линейная алгебра , Graduate Texts in Mathematics (4-е изд.), Springer, ISBN 978-0-8018-5414-9
• Хоффман, Кеннет; Кунце, Рэй (1971), Линейная алгебра (2-е изд.), Энглвуд Клиффс, Нью-Джерси: Prentice-Hall, Inc., MR  0276251
• Халмош, Пол Р. (20 августа 1993 г.), Конечномерные векторные пространства , Бакалаврские тексты по математике , Springer, ISBN 978-0-387-90093-3
• Фридберг, Стивен Х.; Инсел, Арнольд Дж.; Спенс, Лоуренс Э. (7 сентября 2018 г.), Линейная алгебра (5-е изд.), Pearson, ISBN 978-0-13-486024-4
• Хорн, Роджер А.; Джонсон , Чарльз Р. (23 февраля 1990 г.), Матричный анализ , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-38632-6
• Хорн, Роджер А.; Джонсон, Чарльз Р. (24 июня 1994 г.), Темы анализа матриц , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-46713-1
• Ланг, Серж (9 марта 2004 г.), Линейная алгебра , Бакалаврские тексты по математике (3-е изд.), Springer, ISBN 978-0-387-96412-6
• Маркус, Марвин ; Минк, Хенрик (2010), Обзор теории матриц и матричных неравенств , Dover Publications, ISBN 978-0-486-67102-4
• Мейер, Карл Д. (15 февраля 2001 г.), Матричный анализ и прикладная линейная алгебра, Общество промышленной и прикладной математики (SIAM), ISBN 978-0-89871-454-8, архивировано из оригинала 31 октября 2009 г.
• Мирский, Л. (1990), Введение в линейную алгебру , Dover Publications, ISBN 978-0-486-66434-7
• Шафаревич, ИР ; Ремизов, А. О (2012), Линейная алгебра и геометрия, Springer , ISBN 978-3-642-30993-9
• Шилов, Георгий Э. (1 июня 1977 г.), Линейная алгебра , Dover Publications, ISBN 978-0-486-63518-7
• Шорс, Томас С. (6 декабря 2006 г.), Прикладная линейная алгебра и матричный анализ , бакалаврские тексты по математике, Springer, ISBN 978-0-387-33194-2
• Смит, Ларри (28 мая 1998 г.), Линейная алгебра , Бакалаврские тексты по математике, Springer, ISBN 978-0-387-98455-1
• Трефетен, Ллойд Н .; Бау, Дэвид (1997), Численная линейная алгебра , SIAM, ISBN 978-0-898-71361-9

Учебные пособия и планы

• Ледюк, Стивен А. (1 мая 1996 г.), Линейная алгебра (Cliffs Quick Review) , Cliffs Notes, ISBN 978-0-8220-5331-6
• Липшуц, Сеймур; Липсон, Марк (6 декабря 2000 г.), Очерк линейной алгебры Шаума (3-е изд.), McGraw-Hill, ISBN 978-0-07-136200-9
• Липшуц, Сеймур (1 января 1989 г.), 3000 решенных задач по линейной алгебре , McGraw–Hill, ISBN 978-0-07-038023-3
• Макмахон, Дэвид (28 октября 2005 г.), Линейная алгебра, демистифицированная , McGraw–Hill Professional, ISBN 978-0-07-146579-3
• Чжан, Фучжэнь (7 апреля 2009 г.), Линейная алгебра: сложные задачи для студентов , Издательство Университета Джонса Хопкинса, ISBN 978-0-8018-9125-0

Внешние ссылки

Интернет-ресурсы

• Видеолекции по линейной алгебре Массачусетского технологического института, серия из 34 записанных лекций профессора Гилберта Стрэнга (весна 2010 г.)
• Международное общество линейной алгебры
• «Линейная алгебра», Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
• Линейная алгебра на MathWorld
• Термины матричной и линейной алгебры о самых ранних известных применениях некоторых слов математики
• Самые ранние применения символов для матриц и векторов на Самые ранние применения различных математических символов
• Сущность линейной алгебры, видеопрезентация от 3Blue1Brown об основах линейной алгебры с акцентом на взаимосвязи между геометрической, матричной и абстрактной точками зрения

Онлайн книги

• Бизер, Роберт А. (2009) [2004]. Первый курс линейной алгебры. Гейнсвилл, Флорида : University Press of Florida . ISBN 9781616100049.
• Коннелл, Эдвин Х. (2004) [1999]. Элементы абстрактной и линейной алгебры. Университет Майами , Корал-Гейблс, Флорида : Самоиздание.
• Хефферон, Джим (2020). Линейная алгебра (4-е изд.). Энн-Арбор, Мичиган : Orthogonal Publishing. ISBN 978-1-944325-11-4. OCLC  1178900366. OL  30872051M.
• Маргалит, Дэн ; Рабинофф, Джозеф (2019). Интерактивная линейная алгебра. Технологический институт Джорджии , Атланта, Джорджия : Самоиздание.
• Мэтьюз, Кит Р. (2013) [1991]. Элементарная линейная алгебра. Университет Квинсленда , Брисбен, Австралия : Самоиздание.
• Микаелян, Ваагн Х. (2020) [2017]. Линейная алгебра: теория и алгоритмы. Ереван, Армения : Самостоятельно опубликовано – через ResearchGate .
• Шарипов, Руслан, Курс линейной алгебры и многомерной геометрии
• Трейл, Сергей , Линейная алгебра сделана неправильно