В математике суперкоммутативная (ассоциативная) алгебра — это супералгебра (т.е. Z 2 -градуированная алгебра ), такая, что для любых двух однородных элементов x , y имеем [1]
где | x | обозначает степень элемента и равен 0 или 1 (в Z 2 ) в зависимости от того, является ли степень четной или нечетной соответственно.
Эквивалентно, это супералгебра, где суперкоммутатор
всегда обращается в ноль. Алгебраические структуры, которые суперкоммутируют в указанном выше смысле, иногда называют косо-коммутативными ассоциативными алгебрами, чтобы подчеркнуть антикоммутативность, или, чтобы подчеркнуть градуировку, градуированно-коммутативными или, если понимать суперкоммутативность, просто коммутативными .
Любая коммутативная алгебра является суперкоммутативной алгеброй, если задана тривиальная градуировка (т. е. все элементы четные). Алгебры Грассмана (также известные как внешние алгебры ) являются наиболее распространенными примерами нетривиальных суперкоммутативных алгебр. Суперцентр любой супералгебры — это множество элементов, которые суперкоммутируют со всеми элементами, и является суперкоммутативной алгеброй.
Четная подалгебра суперкоммутативной алгебры всегда является коммутативной алгеброй . То есть, четные элементы всегда коммутируют. Нечетные элементы, с другой стороны, всегда антикоммутируют. То есть,
для нечетных x и y . В частности, квадрат любого нечетного элемента x обращается в нуль, когда 2 обратим:
Таким образом, коммутативная супералгебра (с двумя обратимыми и ненулевой степенью один компонент) всегда содержит нильпотентные элементы.
Z - градуированная антикоммутативная алгебра со свойством x 2 = 0 для каждого элемента x нечетной степени (независимо от того, обратим ли 2), называется знакопеременной алгеброй . [2]
![{\displaystyle [x,y]=xy-(-1)^{|x||y|}yx}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fc0484e6a70a7eb05b7adebe88fbd8af1a7e0b08)
