Неассоциативная алгебра

Неассоциативная алгебра [ ^1] (или дистрибутивная алгебра ) — это алгебра над полем , в которой не предполагается, что бинарная операция умножения является ассоциативной . То есть, алгебраическая структура A является неассоциативной алгеброй над полем K, если она является векторным пространством над K и снабжена K - билинейным бинарным умножением A × A → A , которое может быть или не быть ассоциативным. Примерами являются алгебры Ли , йордановы алгебры , октонионы и трехмерное евклидово пространство, снабженное операцией перекрестного произведения . Поскольку не предполагается, что умножение является ассоциативным, необходимо использовать скобки для указания порядка умножений. Например, выражения ( ab )( cd ), ( a ( bc )) d и a ( b ( cd )) могут давать разные ответы.

Хотя это использование неассоциативного означает, что ассоциативность не предполагается, это не означает, что ассоциативность запрещена. Другими словами, «неассоциативный» означает «не обязательно ассоциативный», так же как «некоммутативный» означает «не обязательно коммутативный» для некоммутативных колец .

Алгебра унитальна или унитарна, если она имеет единичный элемент e с ex = x = xe для всех x в алгебре. Например, октонионы унитальны, но алгебры Ли никогда не бывают.

Неассоциативную алгебраическую структуру A можно изучать , связывая ее с другими ассоциативными алгебрами, которые являются подалгебрами полной алгебры K - эндоморфизмов A как K -векторного пространства. Две из них — это алгебра деривации и (ассоциативная) обертывающая алгебра , причем последняя в некотором смысле является «наименьшей ассоциативной алгеброй, содержащей A ».

В более общем плане некоторые авторы рассматривают концепцию неассоциативной алгебры над коммутативным кольцом R : R -модуль , снабженный R -билинейным бинарным умножением. ^[2] Если структура удовлетворяет всем аксиомам кольца, кроме ассоциативности (например, любая R -алгебра), то она, естественно, является -алгеброй, поэтому некоторые авторы называют неассоциативные -алгебры неассоциативными кольцами . $\mathbb {Z}$ $\mathbb {Z}$

Алгебры, удовлетворяющие тождествам

Кольцевые структуры с двумя бинарными операциями и без других ограничений представляют собой широкий класс, который слишком обобщён для изучения. По этой причине наиболее известные виды неассоциативных алгебр удовлетворяют тождествам или свойствам, которые несколько упрощают умножение. К ним относятся следующие.

Обычные свойства

Пусть $x$ , $y$ и $z$ обозначают произвольные элементы алгебры $A$ над полем $K.$ Пусть степени положительного (ненулевого) целого числа рекурсивно определяются как $x 1 ≝ x$ и либо $x n +1 ≝ x n x$ ^[3] (правые степени), либо $x n +1 ≝ xx n$ ^[4]^[5] (левые степени) в зависимости от авторов.

Унитальный : существует элемент $e,$ такой что $ex = x = xe$ ; в этом случае мы можем определить $x 0 ≝ e$ .
Ассоциативность : $(xy) z = x (yz)$ .
Коммутативность : $xy = yx$ .
Антикоммутативно : ^[6] $xy = - yx$ .
Тождество Якоби : ^[6]^[7] $(xy) z + (yz) x + (zx) y = 0$ или $x (yz) + y (zx) + z (xy) = 0$ в зависимости от авторов.
Тождество Жордана : ^[8]^[9] $(x 2 y) x = x 2 (yx)$ или $(xy) x 2 = x (yx 2)$ в зависимости от авторов.
Альтернатива : ^[10]^[11]^[12] $(xx) y = x (xy)$ (левая альтернатива) и $(yx) x = y (xx)$ (правая альтернатива).
Гибкий : ^[13]^[14] $(xy) x = x (yx)$ .
n-я степень ассоциативности при n ≥ 2 : x ^n−k x ^k = x ⁿ для всех целых чисел k, таких что 0 < k < n .
- Ассоциативная функция третьей степени: $x 2 x = xx 2$ .
- Четвертая степень ассоциативности: $x 3 x = x 2 x 2 = xx 3$ (сравните с коммутативной четвертой степенью ниже).
Ассоциативность степени : ^[4]^[5]^[15]^[16]^[3] подалгебра, порожденная любым элементом, ассоциативна, т.е. имеет $n-ю$ степень ассоциативности для всех $n \geq 2$ .
n-я степень коммутативна при n ≥ 2 : x ^n−k x ^k = x ^k x ^n−k для всех целых чисел k, таких, что 0 < k < n .
- Третья степень коммутативна: $x 2 x = xx 2$ .
- Коммутативная четвертая степень: $x 3 x = xx 3$ (сравните с ассоциативной четвертой степенью выше).
Коммутативность степеней: подалгебра, порожденная любым элементом, коммутативна, т.е. имеет коммутативную степень $n$ для всех $n \geq 2$ .
Нильпотент индекса $n \geq 2$ : произведение любых $n$ элементов в любой ассоциации обращается в нуль, но не для некоторых $n -1$ элементов: $x 1 x 2 \dots x n = 0$ и существует $n -1$ элемент, такой что $y 1 y 2 \dots y n -1 \neq 0$ для конкретной ассоциации.
Nil индекса $n \geq 2$ : ассоциативная степень и $x n = 0$ , и существует элемент $y$ такой, что $y n -1 \neq 0$ .

Отношения между свойствами

Для $K$ любой характеристики :

Ассоциативный подразумевает альтернативу .
Любые два из трех свойств: левая альтернатива , правая альтернатива и гибкий — подразумевают третье.
- Таким образом, альтернатива подразумевает гибкость .
Альтернатива подразумевает идентичность Джордана . ^[17]^[a]
Коммутативность подразумевает гибкость .
Антикоммутативность подразумевает гибкость .
Альтернатива подразумевает ассоциативную силу . ^[a]
Гибкость подразумевает ассоциативность третьей степени .
Ассоциативность второй степени и коммутативность второй степени всегда истинны.
Ассоциативная и коммутативная степени третьей степени эквивалентны.
Ассоциативность $n-й$ степени подразумевает коммутативность $n-й$ степени .
Нуль индекса 2 подразумевает антикоммутативность .
Нулевой индекс 2 подразумевает тождество Джордана .
Нильпотентность индекса 3 влечет тождество Якоби .
Нильпотентность индекса $n$ влечет нильпотентность индекса $N$ при $2 \leq N \leq n$ .
Унитал и ноль индекса $n$ несовместимы.

Если $K \neq GF(2)$ или $dim(A) \leq 3$ :

Тождество Жордана и коммутативность вместе подразумевают ассоциативность мощности . ^[18]^[19]^[20]^{[ необходима цитата ]}

Если $char(K) \neq 2$ :

Правая альтернатива подразумевает ассоциативную силу . ^[21]^[22]^[23]^[24]
- Аналогично, левая альтернатива подразумевает ассоциативную силу .
Унитал и идентичность Иордании вместе подразумевают гибкость . ^[25]
Джордановская идентичность и гибкость вместе подразумевают ассоциативную силу . ^[26]
Коммутативность и антикоммутативность вместе подразумевают нильпотентность индекса 2 .
Антикоммутативность подразумевает ноль индекса 2 .
Унитальное и антикоммутативное несовместимы.

Если $char(K) \neq 3$ :

Унитальная и тождественная идентичность Якоби несовместимы.

Если $char(K) \notin {2,3,5$ }:

Коммутативность и $x 4 = x 2 x 2$ (одно из двух тождеств, определяющих четвертую степень ассоциативности ) вместе подразумевают степень ассоциативности . ^[27]

Если $символ(К) = 0$ :

Ассоциативность третьей степени и $x 4 = x 2 x 2$ (одно из двух тождеств, определяющих ассоциативность четвертой степени ) вместе подразумевают ассоциативность степени . ^[28]

Если $символ(К) = 2$ :

Коммутативность и антикоммутативность эквивалентны.

Ассоциатор

Ассоциатор на A — это K - мультилинейное отображение , заданное формулой $[\cdot ,\cdot ,\cdot ]:A\times A\times A\to A$

[x, y, z] = (xy) z - x (yz)

Он измеряет степень неассоциативности и может быть использован для удобного выражения некоторых возможных тождеств, которым удовлетворяет A. $A$

Пусть $x$ , $y$ и $z$ обозначают произвольные элементы алгебры.

Ассоциативность: $[x, y, z] = 0$ .
Альтернатива: [ x , x , y ] = 0 (левая альтернатива) и [ y , x , x ] = 0 (правая альтернатива).
- Это означает, что перестановка любых двух членов меняет знак: $[x, y, z] = -[x, z, y] = -[z, y, x] = -[y, x, z]$ ; обратное верно только если $char(K) \neq 2$ .
Гибкий: [ x , y , x ] = 0 .
- Это означает, что перестановка экстремальных членов меняет знак: $[x, y, z] = -[z, y, x]$ ; обратное верно только если $char(K) \neq 2$ .
Тождество Жордана: ^[29] $[x 2, y, x] = 0$ или $[x, y, x 2] = 0$ в зависимости от авторов.
Ассоциативность третьей степени: $[x, x, x] = 0$ .

Ядро — это набор элементов, которые связаны со всеми остальными: ^[30] то есть $n$ в A , такое что

[н, А, А] = [А, н, А] = [А, А, н] = {0}

Ядро является ассоциативным подкольцом кольца A.

Центр

Центр A — это множество элементов, которые коммутируют и ассоциируются со всем в A , то есть пересечение

C(A)=\{n\in A\ |\ nr=rn\,\forall r\in A\,\}

с ядром. Оказывается, для элементов C(A) достаточно, чтобы два из множеств были, чтобы третье также было нулевым множеством. $([n,A,A],[A,n,A],[A,A,n])$ $\{0\}$

Примеры

Евклидово пространство R ³ с умножением, заданным векторным векторным произведением, является примером алгебры, которая является антикоммутативной и неассоциативной. Перекрестное произведение также удовлетворяет тождеству Якоби.
Алгебры Ли — это алгебры, удовлетворяющие антикоммутативности и тождеству Якоби.
Алгебры векторных полей на дифференцируемом многообразии (если K — это R или комплексные числа C ) или алгебраическом многообразии (для общего K );
Йордановы алгебры — это алгебры, которые удовлетворяют коммутативному закону и тождеству Жордана. ^[9]
Каждая ассоциативная алгебра порождает алгебру Ли, используя коммутатор как скобку Ли. Фактически, каждая алгебра Ли может быть либо построена таким образом, либо является подалгеброй алгебры Ли, построенной таким образом.
Каждая ассоциативная алгебра над полем характеристики, отличной от 2, порождает йорданову алгебру, определяя новое умножение x*y = ( xy + yx )/2. В отличие от случая алгебры Ли, не каждая йорданова алгебра может быть построена таким образом. Те, которые могут, называются специальными .
Альтернативные алгебры — это алгебры, удовлетворяющие свойству альтернативы. Наиболее важными примерами альтернативных алгебр являются октонионы ( алгебра над вещественными числами) и обобщения октонионов над другими полями. Все ассоциативные алгебры являются альтернативными. С точностью до изоморфизма единственной конечномерной вещественной альтернативой, алгебрами с делением (см. ниже) являются вещественные числа, комплексы, кватернионы и октонионы.
Ассоциативные по мощности алгебры — это алгебры, удовлетворяющие тождеству ассоциативности по мощности. Примерами являются все ассоциативные алгебры, все альтернативные алгебры, йордановы алгебры над полем, отличным от GF(2) (см. предыдущий раздел), и седенионы .
Гиперболическая кватернионная алгебра над R , которая была экспериментальной алгеброй до принятия пространства Минковского для специальной теории относительности .

Еще классы алгебр:

Градуированные алгебры . Они включают в себя большинство алгебр, представляющих интерес для полилинейной алгебры , таких как тензорная алгебра , симметрическая алгебра и внешняя алгебра над заданным векторным пространством . Градуированные алгебры могут быть обобщены до фильтрованных алгебр .
Алгебры с делением , в которых существуют мультипликативные обратные. Конечномерные альтернативные алгебры с делением над полем действительных чисел были классифицированы. Это действительные числа (размерность 1), комплексные числа (размерность 2), кватернионы (размерность 4) и октонионы (размерность 8). Кватернионы и октонионы не являются коммутативными. Из этих алгебр все ассоциативны, за исключением октонионов.
Квадратичные алгебры , которые требуют, чтобы xx = re + sx для некоторых элементов r и s в основном поле, и e — единица для алгебры. Примеры включают все конечномерные альтернативные алгебры и алгебру действительных матриц 2 на 2. С точностью до изоморфизма единственными альтернативными квадратичными действительными алгебрами без делителей нуля являются действительные числа, комплексы, кватернионы и октонионы.
Алгебры Кэли –Диксона (где K — это R ), которые начинаются с:
- комплексные числа C (коммутативная и ассоциативная алгебра);
- кватернионы H (ассоциативная алгебра) ;
- октонионы O ( альтернативная алгебра );
- седенионы S ;
- тригинтадуонионы T и бесконечная последовательность алгебр Кэли-Диксона ( ассоциативно -степенные алгебры ).
Все гиперкомплексные алгебры являются конечномерными унитальными R -алгебрами, поэтому они включают в себя алгебры Кэли-Диксона и многие другие.
В геометрическом квантовании рассматриваются алгебры Пуассона . Они переносят два умножения, превращая их в коммутативные алгебры и алгебры Ли разными способами.
Генетические алгебры — неассоциативные алгебры, используемые в математической генетике.
Тройные системы

Характеристики

Есть несколько свойств, которые могут быть знакомы из теории колец или из ассоциативных алгебр, которые не всегда верны для неассоциативных алгебр. В отличие от ассоциативного случая, элементы с (двусторонним) мультипликативным обратным также могут быть делителем нуля . Например, все ненулевые элементы седенионов имеют двусторонний обратный, но некоторые из них также являются делителями нуля.

Свободная неассоциативная алгебра

Свободная неассоциативная алгебра на множестве X над полем K определяется как алгебра с базисом, состоящим из всех неассоциативных мономов, конечных формальных произведений элементов X, сохраняющих скобки. Произведение мономов u , v равно просто ( u )( v ). Алгебра унитальна, если взять пустое произведение в качестве монома. ^[31]

Курош доказал , что каждая подалгебра свободной неассоциативной алгебры свободна. ^[32]

Ассоциированные алгебры

Алгебра A над полем K является, в частности, K -векторным пространством, и поэтому можно рассмотреть ассоциативную алгебру End _K ( A ) K -линейного векторного пространства эндоморфизма A. Мы можем связать со структурой алгебры на A две подалгебры End _K ( A ), алгебру деривации и (ассоциативную) обертывающую алгебру .

Алгебра вывода

Вывод на A — это отображение D со свойством

D(x\cdot y)=D(x)\cdot y+x\cdot D(y)\ .

Выводы на A образуют подпространство Der _K ( A ) в End _K ( A ). Коммутатор двух выводов снова является выводом, так что скобка Ли дает Der _K ( A ) структуру алгебры Ли . ^[33]

Обертывающая алгебра

Имеются линейные отображения L и R, прикрепленные к каждому элементу a алгебры A : ^[34]

L(a):x\mapsto ax;\ \ R(a):x\mapsto xa\ .

Ассоциативная обертывающая алгебра или алгебра умножения A — это ассоциативная алгебра, порожденная левыми и правыми линейными отображениями. ^[29]^[35] Центроид A — это централизатор обертывающей алгебры в алгебре эндоморфизмов End _K ( A ). Алгебра является центральной , если ее центроид состоит из K -скалярных кратных единицы. ^[16]

Некоторые из возможных тождеств, которым удовлетворяют неассоциативные алгебры, могут быть удобно выражены в терминах линейных отображений: ^[36]

Коммутативность: каждый L ( a ) равен соответствующему R ( a );
Ассоциативность: любой L коммутирует с любым R ;
Гибкость: каждый L ( a ) коммутирует с соответствующим R ( a );
Жордан: каждый L ( a ) коммутирует с R ( a ² );
Альтернатива: каждый L ( a ) ² = L ( a ² ) и аналогично для правой стороны.

Квадратичное представление Q определяется формулой ^[37]

Q(a):x\mapsto 2a\cdot (a\cdot x)-(a\cdot a)\cdot x\

или эквивалентно,

Q(a)=2L^{2}(a)-L(a^{2})\ .

Статья об универсальных обертывающих алгебрах описывает каноническую конструкцию обертывающих алгебр, а также теоремы типа PBW для них. Для алгебр Ли такие обертывающие алгебры обладают универсальным свойством, которое, вообще говоря, не выполняется для неассоциативных алгебр. Самым известным примером, пожалуй, является алгебра Альберта , исключительная йорданова алгебра , которая не обертывается канонической конструкцией обертывающей алгебры для йордановых алгебр.

Смотрите также

Список алгебр
Коммутативные неассоциативные магмы , которые порождают неассоциативные алгебры

Цитаты

^ Шефер 1995, Глава 1.
^ Шефер 1995, стр. 1.
^ ab Albert 1948a, стр. 553.
^ ab Schafer 1995, стр. 30.
^ ab Schafer 1995, стр. 128.
^ ab Schafer 1995, стр. 3.
↑ Окубо 2005, стр. 12.
^ Шефер 1995, стр. 91.
^ ab Okubo 2005, стр. 13.
^ Шефер 1995, стр. 5.
^ Окубо 2005, стр. 18.
^ Маккриммон 2004, стр. 153.
^ Шефер 1995, стр. 28.
^ Окубо 2005, стр. 16.
^ Окубо 2005, стр. 17.
^ аб Кнус и др. 1998, с. 451.
^ Розенфельд 1997, стр. 91.
↑ Якобсон 1968, стр. 36.
^ Шефер 1995, стр. 92.
↑ Кокорис 1955, стр. 710.
↑ Альберт 1948б, стр. 319.
↑ Михеев 1976, стр. 179.
^ Жевлаков и др. 1982, с. 343.
^ Шефер 1995, стр. 148.
^ Бремнер, Мураками и Шестаков 2013, с. 18.
^ Бремнер, Мураками и Шестаков 2013, стр. 18–19, факт 6.
^ Альберт 1948a, с. 554, лемма 4.
^ Альберт 1948a, с. 554, лемма 3.
^ ab Schafer 1995, стр. 14.
^ Маккриммон 2004, стр. 56.
^ Роуэн 2008, стр. 321.
↑ Курош 1947, стр. 237–262.
^ Шефер 1995, стр. 4.
^ Окубо 2005, стр. 24.
↑ Альберт 2003, стр. 113.
^ Маккриммон 2004, стр. 57.
^ Кёхер 1999, стр. 57.

Примечания

^ ab Это следует из теоремы Артина .

Ссылки

Альберт, А. Адриан (2003) [1939]. Структура алгебр. American Mathematical Society Colloquium Publ. Vol. 24 (Исправленное переиздание пересмотренного издания 1961 г.). Нью-Йорк: American Mathematical Society . ISBN 0-8218-1024-3. Збл 0023.19901.
Альберт, А. Адриан (1948a). «Ассоциативные кольца степеней». Труды Американского математического общества . 64 : 552–593. doi : 10.2307/1990399 . ISSN 0002-9947. JSTOR 1990399. MR 0027750. Zbl 0033.15402.
Альберт, А. Адриан (1948б). «О правых альтернативных алгебрах». Annals of Mathematics . 50 : 318–328. doi :10.2307/1969457. JSTOR 1969457.
Бремнер, Мюррей; Мураками, Лусия; Шестаков, Иван (2013) [2006]. "Глава 86: Неассоциативные алгебры" (PDF) . В Hogben, Leslie (ред.). Справочник по линейной алгебре (2-е изд.). CRC Press . ISBN 978-1-498-78560-0.
Herstein, IN , ред. (2011) [1965]. Некоторые аспекты теории колец: Лекции, прочитанные на летней школе Centro Internazionale Matematico Estivo (CIME), состоявшейся в Варенне (Комо), Италия, 23-31 августа 1965 г. Летние школы CIME. Том 37 (переиздание). Springer-Verlag . ISBN 3-6421-1036-3.
Якобсон, Натан (1968). Структура и представления йордановых алгебр. American Mathematical Society Colloquium Publications, Vol. XXXIX. Провиденс, Род-Айленд: American Mathematical Society . ISBN 978-0-821-84640-7. МР 0251099.
Кнус, Макс-Альберт; Меркурьев, Александр ; Рост, Маркус ; Тиньоль, Жан-Пьер (1998). Книга инволюций. Colloquium Publications. Том 44. С предисловием Дж. Титса. Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество . ISBN 0-8218-0904-0. Збл 0955.16001.
Koecher, Max (1999). Krieg, Aloys; Walcher, Sebastian (ред.). Миннесотские заметки о йордановых алгебрах и их приложениях. Lecture Notes in Mathematics. Vol. 1710. Berlin: Springer-Verlag . ISBN 3-540-66360-6. Збл 1072.17513.
Кокорис, Луис А. (1955). «Ассоциативные по мощности кольца характеристики два». Труды Американского математического общества . 6 (5). Американское математическое общество : 705–710. doi : 10.2307/2032920 .
Курош, АГ (1947). «Неассоциативные алгебры и свободные произведения алгебр». Матем. сборник . 20 (62). МР 0020986. ЗБЛ 0041.16803.
Маккриммон, Кевин (2004). Вкус йордановых алгебр. Universitext. Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag . doi :10.1007/b97489. ISBN 978-0-387-95447-9. МР 2014924. Збл 1044.17001. Ошибки.
Михеев, И. М. (1976). «Правая нильпотентность в правоальтернативных кольцах». Сибирский математический журнал . 17 (1): 178–180. doi :10.1007/BF00969304.
Окубо, Сусуму (2005) [1995]. Введение в октонион и другие неассоциативные алгебры в физике. Серия лекций памяти Монтролла по математической физике. Том 2. Cambridge University Press . doi :10.1017/CBO9780511524479. ISBN 0-521-01792-0. Збл 0841.17001.
Розенфельд, Борис (1997). Геометрия групп Ли. Математика и ее приложения. Том 393. Дордрехт: Kluwer Academic Publishers. ISBN 0-7923-4390-5. Збл 0867.53002.
Роуэн, Луис Халле (2008). Высшая алгебра: некоммутативный взгляд. Высшее образование по математике. Американское математическое общество . ISBN 0-8218-8408-5.
Шефер, Ричард Д. (1995) [1966]. Введение в неассоциативные алгебры. Дувр. ISBN 0-486-68813-5. Збл 0145.25601.
Жевлаков, Константин А.; Слинько, Аркадий М.; Шестаков, Иван П.; Ширшов, Анатолий И. (1982) [1978]. Кольца, которые почти ассоциативны. Перевод Смита, Гарри Ф. ISBN 0-12-779850-1.