Алгоритм Фаддеева–Леверье

Урбен Леверье (1811–1877)
Открыватель Нептуна .

В математике ( линейной алгебре ) алгоритм Фаддеева-Леверье — рекурсивный метод вычисления коэффициентов характеристического многочлена квадратной матрицы A , названный в честь Дмитрия Константиновича Фаддеева и Урбена Леверье . Вычисление этого многочлена даёт собственные значения A в качестве его корней; как матричный многочлен в самой матрице A , он равен нулю по теореме Кэли-Гамильтона . Вычисление характеристического многочлена непосредственно из определения определителя является вычислительно громоздким, поскольку вводит новую символьную величину ; напротив, алгоритм Фаддеева-Леверье работает напрямую с коэффициентами матрицы . ${\displaystyle p_{A}(\lambda )=\det(\lambda I_{n}-A)}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle A}$

Алгоритм был независимо переоткрыт несколько раз в разных формах. Впервые он был опубликован в 1840 году Урбеном Леверье , впоследствии переработан П. Хорстом, Жаном-Мари Сурио , в его нынешнем виде здесь Фаддеевым и Соминским, а затем Дж. С. Фреймом и другими. ^{[1] [2] [3] [4] [5]} (Для исторических моментов см. Householder. ^[6] Элегантный сокращенный путь к доказательству, минуя полиномы Ньютона , был предложен Хоу. ^[7] Основная часть изложения здесь следует Gantmacher, стр. 88. ^[8] )

Алгоритм

Цель состоит в том, чтобы вычислить коэффициенты c _k характеристического полинома матрицы A размером n × n ,

${\displaystyle p_{A}(\lambda )\equiv \det(\lambda I_{n}-A)=\sum _{k=0}^{n}c_{k}\lambda ^{k}~,}$

где, очевидно, c _n = 1 и c ₀ = (−1) ⁿ det A .

Коэффициенты c _n-i определяются индукцией по i , используя вспомогательную последовательность матриц

${\displaystyle {\begin{aligned}M_{0}&\equiv 0&c_{n}&=1\qquad &(k=0)\\M_{k}&\equiv AM_{k-1}+c_{n-k+1}I\qquad \qquad &c_{n-k}&=-{\frac {1}{k}}\mathrm {tr} (AM_{k})\qquad &k=1,\ldots ,n~.\end{aligned}}}$

Таким образом,

${\displaystyle M_{1}=I~,\quad c_{n-1}=-\mathrm {tr} A=-c_{n}\mathrm {tr} A;}$

${\displaystyle M_{2}=A-I\mathrm {tr} A,\quad c_{n-2}=-{\frac {1}{2}}{\Bigl (}\mathrm {tr} A^{2}-(\mathrm {tr} A)^{2}{\Bigr )}=-{\frac {1}{2}}(c_{n}\mathrm {tr} A^{2}+c_{n-1}\mathrm {tr} A);}$

${\displaystyle M_{3}=A^{2}-A\mathrm {tr} A-{\frac {1}{2}}{\Bigl (}\mathrm {tr} A^{2}-(\mathrm {tr} A)^{2}{\Bigr )}I,}$

${\displaystyle c_{n-3}=-{\tfrac {1}{6}}{\Bigl (}(\operatorname {tr} A)^{3}-3\operatorname {tr} (A^{2})(\operatorname {tr} A)+2\operatorname {tr} (A^{3}){\Bigr )}=-{\frac {1}{3}}(c_{n}\mathrm {tr} A^{3}+c_{n-1}\mathrm {tr} A^{2}+c_{n-2}\mathrm {tr} A);}$

и т. д., ^{[9] [10]}   ...;

${\displaystyle M_{m}=\sum _{k=1}^{m}c_{n-m+k}A^{k-1}~,}$

${\displaystyle c_{n-m}=-{\frac {1}{m}}(c_{n}\mathrm {tr} A^{m}+c_{n-1}\mathrm {tr} A^{m-1}+...+c_{n-m+1}\mathrm {tr} A)=-{\frac {1}{m}}\sum _{k=1}^{m}c_{n-m+k}\mathrm {tr} A^{k}~;...}$

Заметьте, что A −1 ⁼ − M _n /c ₀ = (−1) ^{n −1} M _n /det A завершает рекурсию в точке λ . Это можно использовать для получения обратного значения или определителя A.

Вывод

Доказательство опирается на моды сопряженной матрицы , B _k ≡ M _n−k , вспомогательные матрицы, которые встречаются. Эта матрица определяется как

${\displaystyle (\lambda I-A)B=I~p_{A}(\lambda )}$

и, таким образом, пропорционален резольвенте

${\displaystyle B=(\lambda I-A)^{-1}I~p_{A}(\lambda )~.}$

Очевидно, это матричный полином по λ степени n−1 . Таким образом,

${\displaystyle B\equiv \sum _{k=0}^{n-1}\lambda ^{k}~B_{k}=\sum _{k=0}^{n}\lambda ^{k}~M_{n-k},}$

где можно определить безвредное M ₀ ≡0.

Подставляя явные полиномиальные формы в определяющее уравнение для сопряженного уравнения, приведенное выше,

${\displaystyle \sum _{k=0}^{n}\lambda ^{k+1}M_{n-k}-\lambda ^{k}(AM_{n-k}+c_{k}I)=0~.}$

Теперь, в высшем порядке, первый член исчезает при M ₀ =0; тогда как в нижнем порядке (константа по λ , из определяющего уравнения сопряженного элемента выше),

${\displaystyle M_{n}A=B_{0}A=c_{0}~,}$

так что сдвиг фиктивных индексов первого члена дает

${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}\lambda ^{k}{\Big (}M_{1+n-k}-AM_{n-k}+c_{k}I{\Big )}=0~,}$

что таким образом диктует рекурсию

${\displaystyle \therefore \qquad M_{m}=AM_{m-1}+c_{n-m+1}I~,}$

для m = 1,..., n . Обратите внимание, что возрастание индекса равнозначно убыванию по степеням λ , но коэффициенты полинома c еще предстоит определить в терминах M s и A .

Этого проще всего добиться с помощью следующего вспомогательного уравнения (Хоу, 1998):

${\displaystyle \lambda {\frac {\partial p_{A}(\lambda )}{\partial \lambda }}-np=\operatorname {tr} AB~.}$

Это всего лишь след определяющего уравнения для B с помощью формулы Якоби ,

${\displaystyle {\frac {\partial p_{A}(\lambda )}{\partial \lambda }}=p_{A}(\lambda )\sum _{m=0}^{\infty }\lambda ^{-(m+1)}\operatorname {tr} A^{m}=p_{A}(\lambda )~\operatorname {tr} {\frac {I}{\lambda I-A}}\equiv \operatorname {tr} B~.}$

Вставка форм полиномиального режима в это вспомогательное уравнение дает

${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}\lambda ^{k}{\Big (}kc_{k}-nc_{k}-\operatorname {tr} AM_{n-k}{\Big )}=0~,}$

так что

${\displaystyle \sum _{m=1}^{n-1}\lambda ^{n-m}{\Big (}mc_{n-m}+\operatorname {tr} AM_{m}{\Big )}=0~,}$

и наконец

${\displaystyle \therefore \qquad c_{n-m}=-{\frac {1}{m}}\operatorname {tr} AM_{m}~.}$

Это завершает рекурсию предыдущего раздела, разворачивающуюся по убыванию степеней λ .

Далее следует отметить, что в алгоритме, более конкретно,

${\displaystyle M_{m}=AM_{m-1}-{\frac {1}{m-1}}(\operatorname {tr} AM_{m-1})I~,}$

и, в соответствии с теоремой Кэли–Гамильтона ,

${\displaystyle \operatorname {adj} (A)=(-1)^{n-1}M_{n}=(-1)^{n-1}(A^{n-1}+c_{n-1}A^{n-2}+...+c_{2}A+c_{1}I)=(-1)^{n-1}\sum _{k=1}^{n}c_{k}A^{k-1}~.}$

Окончательное решение может быть более удобно выражено в терминах полных экспоненциальных полиномов Белла как

${\displaystyle c_{n-k}={\frac {(-1)^{n-k}}{k!}}{\mathcal {B}}_{k}{\Bigl (}\operatorname {tr} A,-1!~\operatorname {tr} A^{2},2!~\operatorname {tr} A^{3},\ldots ,(-1)^{k-1}(k-1)!~\operatorname {tr} A^{k}{\Bigr )}.}$

Пример

${\displaystyle {\displaystyle A=\left[{\begin{array}{rrr}3&1&5\\3&3&1\\4&6&4\end{array}}\right]}}$

${\displaystyle {\displaystyle {\begin{aligned}M_{0}&=\left[{\begin{array}{rrr}0&0&0\\0&0&0\\0&0&0\end{array}}\right]\quad &&&c_{3}&&&&&=&1\\M_{\mathbf {\color {blue}1} }&=\left[{\begin{array}{rrr}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{array}}\right]&A~M_{1}&=\left[{\begin{array}{rrr}\mathbf {\color {red}3} &1&5\\3&\mathbf {\color {red}3} &1\\4&6&\mathbf {\color {red}4} \end{array}}\right]&c_{2}&&&=-{\frac {1}{\mathbf {\color {blue}1} }}\mathbf {\color {red}10} &&=&-10\\M_{\mathbf {\color {blue}2} }&=\left[{\begin{array}{rrr}-7&1&5\\3&-7&1\\4&6&-6\end{array}}\right]\qquad &A~M_{2}&=\left[{\begin{array}{rrr}\mathbf {\color {red}2} &26&-14\\-8&\mathbf {\color {red}-12} &12\\6&-14&\mathbf {\color {red}2} \end{array}}\right]\qquad &c_{1}&&&=-{\frac {1}{\mathbf {\color {blue}2} }}\mathbf {\color {red}(-8)} &&=&4\\M_{\mathbf {\color {blue}3} }&=\left[{\begin{array}{rrr}6&26&-14\\-8&-8&12\\6&-14&6\end{array}}\right]\qquad &A~M_{3}&=\left[{\begin{array}{rrr}\mathbf {\color {red}40} &0&0\\0&\mathbf {\color {red}40} &0\\0&0&\mathbf {\color {red}40} \end{array}}\right]\qquad &c_{0}&&&=-{\frac {1}{\mathbf {\color {blue}3} }}\mathbf {\color {red}120} &&=&-40\end{aligned}}}}$

Кроме того, , что подтверждает приведенные выше расчеты. ${\displaystyle {\displaystyle M_{4}=A~M_{3}+c_{0}~I=0}}$

Характеристический многочлен матрицы A , таким образом, равен ; определитель A равен ; след равен 10=− c ₂ ; а обратный к A равен ${\displaystyle {\displaystyle p_{A}(\lambda )=\lambda ^{3}-10\lambda ^{2}+4\lambda -40}}$ ${\displaystyle {\displaystyle \det(A)=(-1)^{3}c_{0}=40}}$

${\displaystyle {\displaystyle A^{-1}=-{\frac {1}{c_{0}}}~M_{3}={\frac {1}{40}}\left[{\begin{array}{rrr}6&26&-14\\-8&-8&12\\6&-14&6\end{array}}\right]=\left[{\begin{array}{rrr}0{.}15&0{.}65&-0{.}35\\-0{.}20&-0{.}20&0{.}30\\0{.}15&-0{.}35&0{.}15\end{array}}\right]}}$.

Эквивалентное, но отличное выражение

Компактный определитель матричного решения m × m для приведенной выше формулы Якоби может альтернативно определять коэффициенты c , ^{[11] [12]}

${\displaystyle c_{n-m}={\frac {(-1)^{m}}{m!}}{\begin{vmatrix}\operatorname {tr} A&m-1&0&\cdots &0\\\operatorname {tr} A^{2}&\operatorname {tr} A&m-2&\cdots &0\\\vdots &\vdots &&&\vdots \\\operatorname {tr} A^{m-1}&\operatorname {tr} A^{m-2}&\cdots &\cdots &1\\\operatorname {tr} A^{m}&\operatorname {tr} A^{m-1}&\cdots &\cdots &\operatorname {tr} A\end{vmatrix}}~.}$

Смотрите также

• Характеристический многочлен
• Метод Хорнера
• определитель Фредгольма

Ссылки

1. Урбен Ле Верье : Sur les Variations séculaires des éléments des Orbites pour les sept Planetes Principal , J. de Math. (1) 5 , 230 (1840), Онлайн
2. Пол Хорст: Метод определения коэффициентов характеристического уравнения . Ann. Math. Stat. 6 83-84 (1935), doi :10.1214/aoms/1177732612
3. Жан-Мари Сурио , Метод для спектрального разложения и инверсии матриц , Comptes Rend. 227 , 1010–1011 (1948).
4. Д. К. Фаддеев, И. С. Соминский, Сборник задач по высшей алгебре , (Издательство "Мир", 1972), Москва-Ленинград (1949). Задача 979 .
5. JS Frame: Простая рекурсивная формула для обращения матрицы (аннотация) , Bull. Am. Math. Soc. 55 1045 (1949), doi :10.1090/S0002-9904-1949-09310-2
6. Хаусхолдер, Олстон С. (2006). Теория матриц в численном анализе . Dover Books on Mathematics. ISBN 0486449726.
7. Хоу, СХ (1998). «Заметка для аудитории: простое доказательство алгоритма характеристических полиномов Леверье--Фаддеева» Обзор SIAM 40(3) 706-709, doi :10.1137/S003614459732076X.
8. Гантмахер, Ф. Р. (1960). Теория матриц . Нью-Йорк: Chelsea Publishing. ISBN 0-8218-1376-5.
9. Заде, Лотфи А. и Десоер, Чарльз А. (1963, 2008). Линейная теория систем: подход пространства состояний (Mc Graw-Hill; Dover Civil and Mechanical Engineering) ISBN 9780486466637 , стр. 303–305; 
10. Абдельжауед, Жунаиди и Ломбарди, Анри (2004). Méthodes matricielles — Введение в сложную алгебру , (Mathématiques et Applications, 42) Springer, ISBN 3540202471 . 
11. Браун, Лоуэлл С. (1994). Квантовая теория поля , Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-46946-3 , стр. 54; также см. Curtright, TL, Fairlie, DB и Alshal, H. (2012). "A Galileon Primer", arXiv:1212.6972, раздел 3. 
12. Рид, М.; Саймон, Б. (1978). Методы современной математической физики . Т. 4 Анализ операторов. США: ACADEMIC PRESS, INC. стр. 323–333, 340, 343. ISBN 0-12-585004-2.

Barbaresco F. (2019) Алгоритм экспоненциального отображения Souriau для машинного обучения на матричных группах Ли. В: Nielsen F., Barbaresco F. (ред.) Геометрическая наука информации. GSI 2019. Конспект лекций по информатике, том 11712. Springer, Cham. https://doi.org/10.1007/978-3-030-26980-7_10