Методы декомпозиции домена

Методы декомпозиции домена

В математике , численном анализе и численных частных дифференциальных уравнениях методы декомпозиции домена решают граничную задачу , разбивая ее на более мелкие граничные задачи в подобластях и итерируя для координации решения между соседними подобластями. Грубая задача с одним или несколькими неизвестными на подобласть используется для дальнейшей глобальной координации решения между подобластями. Задачи в подобластях независимы, что делает методы декомпозиции домена подходящими для параллельных вычислений . Методы декомпозиции домена обычно используются в качестве предобуславливателей для итерационных методов пространства Крылова , таких как метод сопряженных градиентов , GMRES и LOBPCG .

В методах декомпозиции перекрывающихся доменов поддомены перекрываются больше, чем на интерфейс. Методы декомпозиции перекрывающихся доменов включают метод чередования Шварца и аддитивный метод Шварца . Многие методы декомпозиции доменов могут быть записаны и проанализированы как частный случай абстрактного аддитивного метода Шварца .

В неперекрывающихся методах поддомены пересекаются только на своем интерфейсе. В первичных методах, таких как Balancing domain decomp и BDDC , непрерывность решения через интерфейс поддомена обеспечивается путем представления значения решения на всех соседних поддоменах тем же неизвестным. В двойственных методах, таких как FETI , непрерывность решения через интерфейс поддомена обеспечивается множителями Лагранжа . Метод FETI-DP является гибридом двойственного и первичного метода.

Методы декомпозиции неперекрывающихся доменов также называются методами итеративного субструктурирования .

Методы Mortar — это методы дискретизации для дифференциальных уравнений с частными производными, которые используют раздельную дискретизацию на неперекрывающихся подобластях. Сетки на подобластях не совпадают на интерфейсе, и равенство решения обеспечивается множителями Лагранжа, разумно выбранными для сохранения точности решения. В инженерной практике метода конечных элементов непрерывность решений между несовпадающими подобластями реализуется с помощью многоточечных ограничений.

Конечно-элементное моделирование моделей среднего размера требует решения линейных систем с миллионами неизвестных. Несколько часов на временной шаг — это среднее последовательное время выполнения, поэтому параллельные вычисления являются необходимостью. Методы декомпозиции доменов воплощают большой потенциал для распараллеливания методов конечных элементов и служат основой для распределенных параллельных вычислений.

Пример 1: 1D линейный BVP

${\displaystyle u''(x)-u(x)=0}$
${\displaystyle u(0)=0,u(1)=1}$
Точное решение: Разделим область на две подобласти, одну из и другую из . В левой подобласти определим интерполирующую функцию , а в правой определим . На интерфейсе между этими двумя подобластями должны быть наложены следующие условия интерфейса: Пусть интерполирующие функции определены как: Где — n-я кардинальная функция полиномов Чебышева первого рода с входным аргументом y. Если N=4, то по этой схеме получается следующее приближение: Это было получено с помощью следующего кода MATLAB.
${\displaystyle u(x)={\frac {e^{x}-e^{-x}}{e^{1}-e^{-1}}}}$
${\displaystyle \left[0,{\frac {1}{2}}\right]}$ ${\displaystyle \left[{\frac {1}{2}},1\right]}$ ${\displaystyle v_{1}(x)}$ ${\displaystyle v_{2}(x)}$
${\displaystyle v_{1}\left({\frac {1}{2}}\right)=v_{2}\left({\frac {1}{2}}\right)}$
${\displaystyle v_{1}'\left({\frac {1}{2}}\right)=v_{2}'\left({\frac {1}{2}}\right)}$

${\displaystyle v_{1}(x)=\sum _{n=0}^{N}u_{n}T_{n}(y_{1}(x))}$
${\displaystyle v_{2}(x)=\sum _{n=0}^{N}u_{n+N}T_{n}(y_{2}(x))}$
${\displaystyle y_{1}(x)=4x-1}$
${\displaystyle y_{2}(x)=4x-3}$
${\displaystyle T_{n}(y)}$

${\displaystyle u_{1}=0.06236}$
${\displaystyle u_{2}=0.21495}$
${\displaystyle u_{3}=0.37428}$
${\displaystyle u_{4}=0.44341}$
${\displaystyle u_{5}=0.51492}$
${\displaystyle u_{6}=0.69972}$
${\displaystyle u_{7}=0.90645}$

очистить все N = 4 ; a1 = 0 ; b1 = 1 / 2 ;         [ T D1 D2 E1 E2 x xsub ] = cheb ( N , a1 , b1 ); % матрицы разностей на [0,1/2] такие же, %как и на [1/2 1]. I = eye ( N + 1 ); H = D2 - I ; H1 = [[ 1 нули ( 1 , N )]; H ( 2 : конец - 1 ,:); [ нули ( 1 , N ) 1 ]]; H1 = [ H1 [ нули ( N , N + 1 ); - [ 1 нули ( 1 , N )]]]; H2 = [ D1 ( 1 ,:); H ( 2 : конец - 1 ,:); [ нули ( 1 , N ) 1 ]]; H2 = [[ - D1 ( N + 1 ,:); нули ( N , N + 1 )] H2 ]; К = [ Н1 ; Н2 ]; F = [ нули ( 2 * N + 1 , 1 ); 1 ]; ты знак равно К \ F ; xx = - cos ( pi * ( 0 : N ) '/ N ); х1 = 1/4 * ( хх + 1 ) ;​ х2 = 1/4 * ( хх + 3 ) ;​ Икс = [ х1 ; х2 ]; уэкс = (                                                     ехр ( х ) - ехр ( - х )) ./ ( ехр ( 1 ) - ехр ( - 1 ));

Смотрите также

• Метод многосеточного моделирования

Внешние ссылки

• Официальная страница методов декомпозиции домена
• "Страница "Разложение домена - Численное моделирование". Архивировано из оригинала 2021-01-26.