В кристаллографии кубическая кристаллическая структура алмаза представляет собой повторяющуюся структуру из 8 атомов, которую некоторые материалы могут принимать по мере затвердевания. Хотя первым известным примером был алмаз , другие элементы в группе 14 также принимают эту структуру, включая α-олово , полупроводники кремний и германий , а также сплавы кремния и германия в любой пропорции. Существуют также кристаллы, такие как высокотемпературная форма кристобалита , которые имеют аналогичную структуру, с одним типом атомов (например, кремний в кристобалите) в положениях атомов углерода в алмазе, но с другим типом атомов (например, кремний в кристобалите). кислород) на полпути между ними (см. Категорию: Минералы в пространственной группе 227 ).
Хотя эту структуру часто называют ромбовидной решеткой , она не является решеткой в техническом смысле этого слова, используемом в математике.
Кубическая структура Даймонда находится в пространственной группе Fd 3 m (пространственная группа 227), которая следует за гранецентрированной кубической решеткой Браве . Решетка описывает шаблон повторения; для кубических кристаллов алмаза эта решетка «украшена» мотивом двух тетраэдрически связанных атомов в каждой примитивной ячейке , разделенных 1/4ширины элементарной ячейки в каждом измерении. [1] Алмазную решетку можно рассматривать как пару пересекающихся гранецентрированных кубических решеток, каждая из которых разделена1/4ширины элементарной ячейки в каждом измерении. Многие сложные полупроводники, такие как арсенид галлия , β- карбид кремния и антимонид индия, имеют аналогичную структуру цинковой обманки , где каждый атом имеет ближайших соседей непохожего элемента. Пространственная группа Цинкобленда — F 4 3m, но многие ее структурные свойства очень похожи на структуру алмаза. [2]
Фактор упаковки атомов кубической структуры алмаза (доля пространства, которая была бы заполнена сферами, центрированными по вершинам структуры и имеющими как можно больший размер без перекрытия) [3] существенно меньше (что указывает на менее плотную структуру). ), чем факторы упаковки для гранецентрированных и объемноцентрированных кубических решеток . [4] Структуры цинковой обманки имеют более высокие коэффициенты упаковки, чем 0,34, в зависимости от относительных размеров двух составляющих их атомов.
Расстояния до первого, второго, третьего, четвертого и пятого ближайших соседей в единицах постоянной кубической решетки соответственно .
Математически точкам кубической структуры алмаза можно присвоить координаты как подмножество трехмерной целочисленной решетки, используя кубическую элементарную ячейку размером четыре единицы в поперечнике. При этих координатах точки конструкции имеют координаты ( x , y , z ) , удовлетворяющие уравнениям [5]
Есть восемь точек ( по модулю 4), которые удовлетворяют этим условиям:
Все остальные точки структуры могут быть получены добавлением кратных четырем координатам x, y, z этих восьми точек. Соседние точки в этой структуре находятся на расстоянии друг от друга в целочисленной решетке; ребра ромбовидной структуры лежат вдоль диагоналей тел кубов целочисленной сетки. Эту структуру можно масштабировать до кубической элементарной ячейки, имеющей некоторое количество единиц в поперечнике, путем умножения всех координат на а/4.
Альтернативно, каждая точка кубической структуры алмаза может быть задана четырехмерными целочисленными координатами, сумма которых равна нулю или единице. Две точки являются соседними в структуре ромба тогда и только тогда, когда их четырехмерные координаты отличаются на единицу по одной координате. Общая разница в значениях координат между любыми двумя точками (их четырехмерное Манхэттенское расстояние ) дает количество ребер на кратчайшем пути между ними в ромбовидной структуре. Четыре ближайших соседа каждой точки могут быть получены в этой системе координат путем добавления по одному к каждой из четырех координат или путем вычитания одного из каждой из четырех координат, соответственно, если сумма координат равна нулю или единице. Эти четырехмерные координаты могут быть преобразованы в трехмерные координаты по формуле [5] [6]
Еще одна координация ромбовидной кубики предполагает удаление некоторых ребер из трехмерного сеточного графа. В этой координатизации, которая имеет искаженную геометрию по сравнению со стандартной ромбовидной кубической структурой, но имеет ту же топологическую структуру, вершины ромбовидной кубической структуры представлены всеми возможными точками трехмерной сетки, а края ромбовидной кубической структуры представлены подмножеством Края 3D-сетки. [7]
Алмазную кубику иногда называют «алмазной решеткой», но с математической точки зрения это не решетка : не существует трансляционной симметрии , которая переводит точку (0,0,0) в точку (3,3,3), например. . Однако это по-прежнему очень симметричная структура: любая инцидентная пара вершины и ребра может быть преобразована в любую другую инцидентную пару путем конгруэнции евклидова пространства . Более того, кристалл алмаза как сетка в пространстве обладает сильным изотропным свойством. [8] А именно, для любых двух вершин x, y кристаллической сети и для любого порядка ребер, смежных с x , и любого порядка ребер, смежных с y , существует сохраняющее сеть сравнение, переводящее x в y и каждое x -edge к аналогично упорядоченному y -краю. Другим (гипотетическим) кристаллом, обладающим этим свойством, является граф Лавеса (также называемый кристаллом К 4 , (10,3)-а, или алмазным двойником). [9]
Прочность на сжатие и твердость алмаза и различных других материалов, таких как нитрид бора [ 10] (который имеет близкородственную структуру цинковой обманки ), объясняется кубической структурой алмаза.
Аналогичным образом, ферменные системы, имеющие ромбовидную кубическую геометрию, обладают высокой способностью выдерживать сжатие за счет минимизации длины отдельных стоек без раскосов . [11] Алмазно-кубическая геометрия также рассматривалась с целью обеспечения структурной жесткости [12] [13], хотя структуры, состоящие из скелетных треугольников , такие как октетная ферма , оказались более эффективными для этой цели.