альтернатива Фредхольма

В математике альтернатива Фредгольма , названная в честь Ивара Фредгольма , является одной из теорем Фредгольма и является результатом в теории Фредгольма . Она может быть выражена несколькими способами, как теорема линейной алгебры , теорема интегральных уравнений или как теорема об операторах Фредгольма . Часть результата утверждает, что ненулевое комплексное число в спектре компактного оператора является собственным значением.

Линейная алгебра

Если V является n -мерным векторным пространством и является линейным преобразованием , то выполняется только одно из следующих условий: ${\displaystyle T:V\to V}$

1. Для каждого вектора v в V существует вектор u в V такой, что . Другими словами: T сюръективен (а значит, и биективен, поскольку V конечномерен). ${\displaystyle T(u)=v}$
2. ${\displaystyle \dim(\ker(T))>0.}$

Более элементарная формулировка в терминах матриц выглядит следующим образом. Если задана матрица A размером m × n и вектор-столбец b размером m × 1 , то должно выполняться только одно из следующих условий:

1. Либо: A x = b имеет решение x
2. Или: A ^T y = 0 имеет решение y с y ^T b ≠ 0.

Другими словами, A x = b имеет решение тогда и только тогда, когда для любого y такого, что A ^T y = 0, следует, что y ^T b = 0 . ${\displaystyle (\mathbf {b} \in \operatorname {Im} (A))}$ ${\displaystyle (i.e.,\mathbf {b} \in \ker(A^{T})^{\bot })}$

Интегральные уравнения

Пусть будет интегральным ядром , и рассмотрим однородное уравнение , интегральное уравнение Фредгольма , ${\displaystyle K(x,y)}$

${\displaystyle \lambda \varphi (x)-\int _{a}^{b}K(x,y)\varphi (y)\,dy=0}$

и неоднородное уравнение

${\displaystyle \lambda \varphi (x)-\int _{a}^{b}K(x,y)\varphi (y)\,dy=f(x).}$

Альтернатива Фредгольма — это утверждение, что для каждого ненулевого фиксированного комплексного числа либо первое уравнение имеет нетривиальное решение, либо второе уравнение имеет решение для всех . ${\displaystyle \lambda \in \mathbb {C} ,}$ ${\displaystyle f(x)}$

Достаточным условием для того, чтобы это утверждение было истинным, является квадратичная интегрируемость на прямоугольнике (где a и/или b могут быть минус или плюс бесконечность). Интегральный оператор, определяемый таким K, называется интегральным оператором Гильберта–Шмидта . ${\displaystyle K(x,y)}$ ${\displaystyle [a,b]\times [a,b]}$

Функциональный анализ

Результаты об операторах Фредгольма обобщают эти результаты на полные нормированные векторные пространства бесконечных размерностей, то есть на банаховы пространства .

Интегральное уравнение можно переформулировать в терминах операторной нотации следующим образом. Запишем (несколько неформально) для обозначения с дельта- функцией Дирака , рассматриваемой как распределение , или обобщенная функция , от двух переменных. Затем с помощью свертки , индуцирует линейный оператор, действующий на банаховом пространстве функций, заданных с заданными $${\displaystyle T=\lambda -K}$$ $${\displaystyle T(x,y)=\lambda \;\delta (x-y)-K(x,y)}$$ ${\displaystyle \delta (x-y)}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \varphi (x)}$ $${\displaystyle V\to V}$$ $${\displaystyle \varphi \mapsto \psi }$$ ${\displaystyle \psi }$ $${\displaystyle \psi (x)=\int _{a}^{b}T(x,y)\varphi (y)\,dy=\lambda \;\varphi (x)-\int _{a}^{b}K(x,y)\varphi (y)\,dy.}$$

На этом языке альтернатива Фредгольма для интегральных уравнений рассматривается как аналог альтернативы Фредгольма для конечномерной линейной алгебры.

Оператор, заданный сверткой с ядром, как указано выше, известен как интегральный оператор Гильберта–Шмидта . Такие операторы всегда компактны . В более общем случае альтернатива Фредгольма верна, когда — любой компактный оператор. Альтернативу Фредгольма можно переформулировать в следующем виде: ненулевое значение либо является собственным значением , либо лежит в области определения резольвенты ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle L^{2}}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle K,}$ $${\displaystyle R(\lambda ;K)=(K-\lambda \operatorname {Id} )^{-1}.}$$

Эллиптические уравнения в частных производных

Альтернатива Фредгольма может быть применена к решению линейных эллиптических краевых задач . Основной результат таков: если уравнение и соответствующие банаховы пространства были заданы правильно, то либо

(1) Однородное уравнение имеет нетривиальное решение, или

(2) Неоднородное уравнение может быть решено однозначно для каждого выбора данных.

Аргументация выглядит следующим образом. Типичный простой для понимания эллиптический оператор L будет представлять собой лапласиан плюс некоторые члены более низкого порядка. В сочетании с подходящими граничными условиями и выраженный в подходящем банаховом пространстве X (которое кодирует как граничные условия, так и желаемую регулярность решения), L становится неограниченным оператором из X в себя, и мы пытаемся решить

${\displaystyle Lu=f,\qquad u\in \operatorname {dom} (L)\subseteq X,}$

где f ∈ X — некоторая функция, служащая данными, для которых мы хотим получить решение. Альтернатива Фредгольма вместе с теорией эллиптических уравнений позволит нам организовать решения этого уравнения.

Конкретным примером может служить эллиптическая краевая задача типа

${\displaystyle (*)\qquad Lu:=-\Delta u+h(x)u=f\qquad {\text{in }}\Omega ,}$

дополненный граничным условием

${\displaystyle (**)\qquad u=0\qquad {\text{on }}\partial \Omega ,}$

где Ω ⊆ R ⁿ — ограниченное открытое множество с гладкой границей, а h ( x ) — фиксированная коэффициентная функция (потенциал в случае оператора Шредингера). Функция f ∈ X — переменные данные, для которых мы хотим решить уравнение. Здесь можно взять X как пространство L ² (Ω) всех квадратично интегрируемых функций на Ω, а dom( L ) — тогда пространство Соболева W ^2,2 (Ω) ∩ W^1,2
₀(Ω), что равносильно множеству всех квадратично интегрируемых функций на Ω, слабые первые и вторые производные которых существуют и квадратично интегрируемы, и которые удовлетворяют нулевому граничному условию на ∂Ω.

Если X выбран правильно (как в этом примере), то при μ ₀ >> 0 оператор L  +  μ ₀ положителен , и тогда, используя эллиптические оценки, можно доказать, что L  +  μ ₀  : dom( L ) →  X является биекцией, а его обратный оператор — это компактный, всюду определенный оператор K из X в X , с образом, равным dom( L ). Мы фиксируем один такой μ ₀ , но его значение не важно, поскольку это всего лишь инструмент.

Тогда мы можем преобразовать альтернативу Фредгольма, изложенную выше для компактных операторов, в утверждение о разрешимости краевой задачи (*)–(**). Альтернатива Фредгольма, как указано выше, утверждает:

• Для каждого λ ∈ R либо λ является собственным значением K , либо оператор K  −  λ является биективным из X в себя.

Давайте рассмотрим две альтернативы, которые они используют для краевой задачи. Предположим, что λ ≠ 0. Тогда либо

(A) λ является собственным значением K ⇔ существует решение h ∈ dom( L ) уравнения ( L  +  μ ₀ ) h = λ ⁻¹ h ⇔ – μ ₀ + λ ⁻¹ является собственным значением L .

(B) Оператор K  −  λ  :  X  →  X является биекцией ⇔ ( K  −  λ ) ( L  +  µ ₀ ) = Id −  λ ( L  +  µ ₀ ) : dom( L ) → X является биекцией ⇔ L  +  µ ₀  −  λ ⁻¹  : dom( L ) → X является биекцией.

Заменяя - μ ₀ + λ ⁻¹ на λ и рассматривая случай λ = − μ ₀ отдельно, получаем следующую альтернативу Фредгольма для эллиптической краевой задачи:

• Для каждого λ ∈ R либо однородное уравнение ( L  −  λ ) u = 0 имеет нетривиальное решение, либо неоднородное уравнение ( L  −  λ ) u = f имеет единственное решение u ∈ dom( L ) для каждого заданного данного f ∈ X .

Последняя функция u решает граничную задачу (*)–(**), введенную выше. Это дихотомия, которая была заявлена ​​в (1)–(2) выше. По спектральной теореме для компактных операторов также получается, что множество λ, для которого разрешимость не разрешима, является дискретным подмножеством R (собственные значения L ). Собственные функции, связанные с собственными значениями, можно рассматривать как «резонансы», которые блокируют разрешимость уравнения.

Смотрите также

• Спектральная теория компактных операторов
• Лемма Фаркаса

Ссылки

• Фредхольм, Э.И. (1903). «Sur une classe d'equations fonctionnelles». Акта математика . 27 : 365–390. дои : 10.1007/bf02421317 .
• А. Г. Рамм, «Простое доказательство альтернативы Фредгольма и характеристика операторов Фредгольма», American Mathematical Monthly , 108 (2001) стр. 855.
• Хведелидзе, Б.В. (2001) [1994], "Теоремы Фредгольма", Энциклопедия математики , Издательство EMS
• «Альтернатива Фредгольма», Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]