Анализ белого шума

В теории вероятностей , разделе математики , анализ белого шума , также известный как исчисление Хиды, представляет собой основу для бесконечномерного и стохастического исчисления , основанного на гауссовском вероятностном пространстве белого шума , который можно сравнить с исчислением Маллявена, основанным на винеровском процессе. . ^[1] Он был инициирован Такеюки Хида в его конспектах лекций по математике в Карлтоне в 1975 году. ^[2]

Термин «белый шум» впервые был использован для сигналов с плоским спектром.

Измерение белого шума

Вероятностная мера белого шума в пространстве умеренных распределений имеет характеристическую функцию ^[3] ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle S'(\mathbb {R} )}$

${\displaystyle C(f)=\int _{S'(\mathbb {R} )}\exp \left(i\left\langle \omega ,f\right\rangle \right)\,d\mu (\omega )=\exp \left(-{\frac {1}{2}}\int _{\mathbb {R} }f^{2}(t)\,dt\right),\quad f\in S(\mathbb {R} ).}$

Броуновское движение в анализе белого шума

Версия броуновского движения Винера получается с помощью двойного спаривания ${\displaystyle B(t)}$

${\displaystyle B(t)=\langle \omega ,1\!\!1_{[0,t)}\rangle ,}$

где – индикаторная функция интервала . Неофициально ${\displaystyle 1\!\!1_{[0,t)}}$ ${\displaystyle [0,t)}$

${\displaystyle B(t)=\int _{0}^{t}\omega (t)\,dt}$

и в обобщенном смысле

${\displaystyle \omega (t)={\frac {dB(t)}{dt}}.}$

Гильбертово пространство

Основой анализа белого шума является гильбертово пространство.

${\displaystyle (L^{2}):=L^{2}\left(S'(\mathbb {R} ),\mu \right),}$

обобщение гильбертовых пространств на бесконечную размерность. ${\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} ^{n},e^{-{\frac {1}{2}}x^{2}}d^{n}x)}$

Полиномы Вика

Ортонормированный базис в этом гильбертовом пространстве, обобщающий базис полиномов Эрмита, задается так называемыми «фитильными» или « нормально упорядоченными » полиномами с и ${\displaystyle \left\langle {:\omega ^{n}:},f_{n}\right\rangle }$ ${\displaystyle {:\omega ^{n}:}\in S'(\mathbb {R} ^{n})}$ ${\displaystyle f_{n}\in S(\mathbb {R} ^{n})}$

с нормализацией

${\displaystyle \int _{S'(\mathbb {R} )}\left\langle :\omega ^{n}:,f_{n}\right\rangle ^{2}\,d\mu (\omega )=n!\int f_{n}^{2}(x_{1},\ldots ,x_{n})\,d^{n}x,}$

влекущий за собой изоморфизм Ито-Сигала-Винера гильбертова пространства белого шума с пространством Фока : ${\displaystyle (L^{2})}$

${\displaystyle L^{2}\left(S'(\mathbb {R} ),\mu \right)\simeq \bigoplus \limits _{n=0}^{\infty }\operatorname {Sym} L^{2}(\mathbb {R} ^{n},n!\,d^{n}x).}$

«Расширение хаоса»

${\displaystyle \varphi (\omega )=\sum _{n}\left\langle :\omega ^{n}:,f_{n}\right\rangle }$

в терминах полиномов Вика соответствуют разложению по кратным интегралам Винера . Броуновские мартингалы характеризуются ядерными функциями, зависящими только от «обрезания»: ${\displaystyle M_{t}(\omega )}$ ${\displaystyle f_{n}}$ ${\displaystyle t}$

${\displaystyle f_{n}(x_{1},\ldots ,x_{n};t)={\begin{cases}f_{n}(x_{1},\ldots ,x_{n})&{\text{if }}ix_{i}\leq t,\\0&{\text{otherwise}}.\end{cases}}}$

Гельфанд тройки

Соответствующие ограничения функции ядра должны быть гладкими и быстро убывающими в и приводят к пространствам тестовых функций белого шума и, в силу двойственности , к пространствам обобщенных функций белого шума с ${\displaystyle \varphi _{n}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle \Psi }$

${\displaystyle \left\langle \!\left\langle \Psi ,\varphi \right\rangle \!\right\rangle :=\sum _{n}n!\left\langle \psi _{n},\varphi _{n}\right\rangle }$

обобщая скалярное произведение в . Примерами являются тройка Хида, где ${\displaystyle (L^{2})}$

${\displaystyle \varphi \in (S)\subset (L^{2})\subset (S)^{\ast }\ni \Psi }$

или более общие тройки Кондратьева. ^[4]

T- и S-преобразование

Использование функций проверки белого шума

${\displaystyle \varphi _{f}(\omega ):=\exp \left(i\left\langle \omega ,f\right\rangle \right)\in (S),\quad f\in S(\mathbb {R} )}$

вводится «Т-преобразование» распределений белого шума, устанавливая ${\displaystyle \Psi }$

${\displaystyle T\Psi (f):=\left\langle \!\left\langle \Psi ,\varphi _{f}\right\rangle \!\right\rangle .}$

Аналогично, используя

${\displaystyle \phi _{f}(\omega ):=\exp \left(-{\frac {1}{2}}\int f^{2}(t)\,dt\right)\exp \left(-\left\langle \omega ,f\right\rangle \right)\in (S)}$

определяют «S-преобразование» распределений белого шума по формуле ${\displaystyle \Psi }$

${\displaystyle S\Psi (f):=\left\langle \!\left\langle \Psi ,\phi _{f}\right\rangle \!\right\rangle ,\quad f\in S(\mathbb {R} ).}$

Стоит отметить, что для обобщенных функций с ядрами , как в, ^{[ необходимы пояснения ]} S-преобразование - это просто ${\displaystyle \Psi }$ ${\displaystyle \psi _{n}}$

${\displaystyle S\Psi (f)=\sum n!\left\langle \psi _{n},f^{\otimes n}\right\rangle .}$

В зависимости от выбора тройки Гельфанда тестовые функции и распределения белого шума характеризуются соответствующими свойствами роста и аналитичности их S- или T-преобразований. ^{[3] [4]}

Теорема о характеризации

Функция является T-преобразованием (единственного) распределения Хиды тогда и только тогда, когда для всех функция аналитична во всей комплексной плоскости и имеет экспоненциальный рост второго порядка, т. е. где – некоторая непрерывная квадратичная форма на . ^{[3] [5] [6]} ${\displaystyle G(f)}$ ${\displaystyle \Psi }$ ${\displaystyle f_{1},f_{2}\in S(R),}$ ${\displaystyle z\mapsto G(zf_{1}+f_{2})}$ $${\displaystyle \left\vert G(\ f)\right\vert <ae^{bK(f,f)},}$$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle S'(\mathbb {R} )\times S'(\mathbb {R} )}$

То же самое верно и для S-преобразований, и аналогичные теоремы о характеризации верны и для более общих распределений Кондратьева . ^[4]

Исчисление

Для тестовых функций существуют частичные производные по направлению: ${\displaystyle \varphi \in (S)}$

${\displaystyle \partial _{\eta }\varphi (\omega ):=\lim _{\varepsilon \rightarrow 0}{\frac {\varphi (\omega +\varepsilon \eta )-F(\omega )}{\varepsilon }}}$

где может варьироваться с помощью любой обобщенной функции . В частности, для распределения Дирака определяется «производная Хиды», обозначающая ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle \eta }$ ${\displaystyle \eta =\delta _{t}}$

${\displaystyle \partial _{t}\varphi (\omega ):=\lim _{\varepsilon \rightarrow 0}{\frac {\varphi (\omega +\varepsilon \delta _{t})-F(\omega )}{\varepsilon }}.}$

Гауссово интегрирование по частям дает двойственный оператор в пространстве распределения.

$${\displaystyle \partial _{t}^{\ast }=-\partial _{t}+\omega (t)}$$

Бесконечномерный градиент

${\displaystyle \nabla :(S)\rightarrow L^{2}(R,dt)\otimes (S)}$

дан кем-то

${\displaystyle \nabla F(t,\omega )=\partial _{t}F(\omega ).}$

Лапласиан (« оператор Лапласа – Бельтрами ») с ${\displaystyle \triangle }$

${\displaystyle -\triangle =\int dt\;\partial _{t}^{\ast }\partial _{t}\geq 0}$

играет важную роль в бесконечномерном анализе и является образом числового оператора пространства Фока .

Стохастические интегралы

Стохастический интеграл, интеграл Хицуды–Скорохода , можно определить для подходящих семейств распределений белого шума как интеграл Петтиса. ${\displaystyle \Psi (t)}$

${\displaystyle \int \partial _{t}^{\ast }\Psi (t)\,dt\in (S)^{\ast },}$

обобщение интеграла Ито за пределы адаптированных подынтегральных выражений.

Приложения

В общих чертах, есть две особенности анализа белого шума, которые широко используются в приложениях. ^{[7] [8] [9] [10] [11]}

Во-первых, белый шум — это обобщенный случайный процесс с независимыми значениями в каждый момент времени. ^[12] Следовательно, он играет роль обобщенной системы независимых координат в том смысле, что в различных контекстах было полезно выразить более общие процессы, происходящие, например, в инженерии или математических финансах, в терминах белого шума. ^{[13] [9] [10]}

Во-вторых, приведенная выше характеризационная теорема позволяет идентифицировать различные эвристические выражения как обобщенные функции белого шума. Это особенно эффективно, если приписывать четко определенный математический смысл так называемым « функциональным интегралам ». В частности , интегралам Фейнмана было придано строгое значение для больших классов квантовых динамических моделей.

Некоммутативные расширения теории получили название квантового белого шума, и, наконец, вращательная инвариантность характеристической функции белого шума обеспечивает основу для представлений бесконечномерных групп вращения.

Рекомендации

1. Хуан, Чжи-юань; Ян, Цзя-Ань (2000). Введение в бесконечномерный стохастический анализ . Дордрехт: Springer Нидерланды. ISBN 9789401141086. ОСЛК  851373497.
2. Хида, Такеюки (1976). «Анализ броуновских функционалов». Стохастические системы: моделирование, идентификация и оптимизация, I. Исследования по математическому программированию. Том. 5. Шпрингер, Берлин, Гейдельберг. стр. 53–59. дои : 10.1007/bfb0120763. ISBN 978-3-642-00783-5.
3. Хида, Такеюки; Куо, Хуэй-Сюн; Поттхофф, Юрген; Стрейт, Людвиг (1993). Белый шум . дои : 10.1007/978-94-017-3680-0. ISBN 978-90-481-4260-6.
4. Кондратьев, Ю.Г.; Стрейт, Л. (1993). «Пространства распределений белого шума: конструкции, описания, приложения. I». Доклады по математической физике . 33 (3): 341–366. Бибкод : 1993РпМП...33..341К. дои : 10.1016/0034-4877(93)90003-w.
5. Куо, Х.-Х.; Поттофф, Дж.; Стрейт, Л. (1991). «Характеристика тестовых функционалов белого шума». Нагойский математический журнал . 121 : 185–194. дои : 10.1017/S0027763000003469 . ISSN  0027-7630.
6. Кондратьев, Ю.Г.; Лейкерт, П.; Поттофф, Дж.; Стрейт, Л.; Вестеркамп, В. (1996). «Обобщенные функционалы в гауссовских пространствах: новый взгляд на теорему о характеризации». Журнал функционального анализа . 141 (2): 301–318. arXiv : математика/0303054 . дои : 10.1006/jfan.1996.0130. S2CID  58889052.
7. Аккарди, Луиджи; Чен, Луи Сяо Юнь; Ойя, Масанори; Хида, Такеюки; Си, Си (июнь 2017 г.). Аккарди, Луиджи (ред.). Анализ белого шума и квантовая информация . Сингапур: Мировое научное издательство. ISBN 9789813225459. ОСЛК  1007244903.
8. Бернидо, Кристофер С.; Карпио-Бернидо, М. Виктория (2015). Методы и приложения анализа белого шума в междисциплинарных науках . Нью-Джерси: World Scientific. ISBN 9789814569118. ОСЛК  884440293.
9. Холден, Хельге; Оксендал, Бернт; Убё, Ян; Тушэн Чжан (2010). Стохастические уравнения в частных производных: моделирование, функциональный подход с белым шумом (2-е изд.). Нью-Йорк: Спрингер. ISBN 978-0-387-89488-1. ОСЛК  663094108.
10. Хида, Такеюки; Штрайт, Людвиг, ред. (2017). Давайте воспользуемся белым шумом . Нью-Джерси: World Scientific. ISBN 9789813220935. ОСЛК  971020065.
11. Хида, Такеюки, изд. (2005). Стохастический анализ: классический и квантовый . дои : 10.1142/5962. ISBN 978-981-256-526-6.
12. Гельфанд, Израиль Моисеевич; Виленкин, Наум Аковлевич; Файнштейн, Амиэль (1964). Обобщенные функции . Том. 4. Применение гармонического анализа. Нью-Йорк: Академическая пресса. ISBN 978-0-12-279504-6. ОСЛК  490085153.
13. Бьяджини, Франческа ; Оксендал, Бернт; Сулем, Аньес ; Валлнер, Наоми (8 января 2004 г.). «Введение в теорию белого шума и исчисление Маллявена для дробного броуновского движения». Труды Лондонского королевского общества A: Математические, физические и технические науки . 460 (2041): 347–372. Бибкод : 2004RSPSA.460..347B. дои : 10.1098/rspa.2003.1246. hdl : 10852/10633 . ISSN  1364-5021. S2CID  120225816.