Математический анализ

Раздел математики

Странный аттрактор , возникающий из дифференциального уравнения . Дифференциальные уравнения являются важной областью математического анализа со множеством приложений в науке и технике.

Анализ — это раздел математики, занимающийся непрерывными функциями , пределами и связанными с ними теориями, такими как дифференциация , интегрирование , мера , бесконечные последовательности , ряды и аналитические функции . ^{[1] [2]}

Эти теории обычно изучаются в контексте действительных и комплексных чисел и функций . Анализ развился из исчисления , которое включает в себя элементарные концепции и методы анализа. Анализ можно отличить от геометрии ; однако, его можно применить к любому пространству математических объектов , которое имеет определение близости ( топологическое пространство ) или конкретных расстояний между объектами ( метрическое пространство ).

История

Архимед использовал метод исчерпывания для вычисления площади внутри круга, находя площадь правильных многоугольников со все большим количеством сторон. Это был ранний, но неформальный пример предела , одного из самых основных понятий в математическом анализе.

Древний

Математический анализ формально развился в 17 веке во время научной революции ^[3], но многие из его идей можно проследить до более ранних математиков. Ранние результаты анализа неявно присутствовали в ранние дни древнегреческой математики . Например, бесконечная геометрическая сумма подразумевается в парадоксе Зенона о дихотомии ^[4] (Строго говоря, смысл парадокса заключается в отрицании того, что бесконечная сумма существует.) Позже греческие математики, такие как Евдокс и Архимед, более явно, но неформально использовали концепции пределов и сходимости, когда они использовали метод исчерпания для вычисления площади и объема областей и твердых тел. ^[5] Явное использование бесконечно малых появляется в « Методе механических теорем » Архимеда , работе, заново открытой в 20 веке. ^[6] В Азии китайский математик Лю Хуэй использовал метод исчерпывания в 3 веке н. э. для нахождения площади круга. ^[7] Из джайнской литературы следует, что индуисты владели формулами для суммы арифметической и геометрической прогрессии еще в 4 веке до н. э. ^[8] Ачарья Бхадрабаху использует сумму геометрической прогрессии в своей «Кальпасутре» в 433  году до н. э . ^[9]

Средневековый

Цзу Чунчжи разработал метод, который позже будет назван принципом Кавальери, для нахождения объема сферы в V веке. ^[10] В XII веке индийский математик Бхаскара II использовал бесконечно малые величины и использовал то, что сейчас известно как теорема Ролля . ^[11]

В 14 веке Мадхава из Сангамаграмы разработал бесконечные ряды , которые теперь называются рядами Тейлора , для таких функций, как синус , косинус , тангенс и арктангенс . ^[12] Наряду с разработкой рядов Тейлора тригонометрических функций , он также оценил величину погрешностей, возникающих при усечении этих рядов, и дал рациональное приближение некоторых бесконечных рядов. Его последователи в Керальской школе астрономии и математики продолжили развивать его работы вплоть до 16 века.

Современный

Фонды

Современные основы математического анализа были заложены в Европе в XVII веке. ^[3] Это началось, когда Ферма и Декарт разработали аналитическую геометрию , которая является предшественником современного исчисления. Метод равенства Ферма позволил ему определить максимумы и минимумы функций и касательные кривых. ^[13] Публикация Декартом «Геометрии» в 1637 году, в которой была введена декартова система координат , считается основанием математического анализа. Несколько десятилетий спустя Ньютон и Лейбниц независимо друг от друга разработали исчисление бесконечно малых , которое, под влиянием прикладной работы, продолжавшейся в XVIII веке, переросло в такие темы анализа, как вариационное исчисление , обыкновенные и частные дифференциальные уравнения , анализ Фурье и производящие функции . В этот период методы исчисления применялись для приближения дискретных задач к непрерывным.

Модернизация

В 18 веке Эйлер ввел понятие математической функции . ^[14] Действительный анализ начал формироваться как самостоятельный предмет, когда Бернард Больцано ввел современное определение непрерывности в 1816 году, ^[15] но работа Больцано не стала широко известна до 1870-х годов. В 1821 году Коши начал ставить исчисление на прочную логическую основу, отвергнув принцип общности алгебры, широко используемый в более ранних работах, в частности Эйлером. Вместо этого Коши сформулировал исчисление в терминах геометрических идей и бесконечно малых . Таким образом, его определение непрерывности требовало, чтобы бесконечно малое изменение x соответствовало бесконечно малому изменению y . Он также ввел понятие последовательности Коши и начал формальную теорию комплексного анализа . Пуассон , Лиувилль , Фурье и другие изучали уравнения в частных производных и гармонический анализ . Вклад этих математиков и других, таких как Вейерштрасс , развил (ε, δ)-определение предельного подхода, тем самым положив начало современной области математического анализа. Примерно в то же время Риман представил свою теорию интегрирования и добился значительных успехов в комплексном анализе.

К концу 19 века математики начали беспокоиться о том, что они предполагают существование континуума действительных чисел без доказательств. Затем Дедекинд построил действительные числа с помощью сечений Дедекинда , в которых формально определены иррациональные числа, которые служат для заполнения «пробелов» между рациональными числами, тем самым создавая полный набор: континуум действительных чисел, который уже был разработан Саймоном Стевином в терминах десятичных разложений . Примерно в то же время попытки уточнить теоремы интегрирования Римана привели к изучению «размера» множества разрывов действительных функций.

Кроме того, начали исследоваться различные патологические объекты (такие как нигде не непрерывные функции , непрерывные, но нигде не дифференцируемые функции и заполняющие пространство кривые ), обычно известные как «монстры». В этом контексте Жордан разработал свою теорию меры , Кантор разработал то, что сейчас называется наивной теорией множеств , а Бэр доказал теорему Бэра о категориях . В начале 20-го века исчисление было формализовано с помощью аксиоматической теории множеств . Лебег значительно улучшил теорию меры и ввел свою собственную теорию интегрирования, теперь известную как интегрирование Лебега , которая оказалась большим улучшением по сравнению с теорией Римана. Гильберт ввел гильбертовы пространства для решения интегральных уравнений . Идея нормированного векторного пространства витала в воздухе, и в 1920-х годах Банах создал функциональный анализ .

Важные концепции

Метрические пространства

В математике метрическое пространство — это множество , в котором определено понятие расстояния (называемое метрикой ) между элементами множества.

Большая часть анализа происходит в каком-либо метрическом пространстве; наиболее часто используемыми являются действительная прямая , комплексная плоскость , евклидово пространство , другие векторные пространства и целые числа . Примерами анализа без метрики являются теория меры (которая описывает размер, а не расстояние) и функциональный анализ (который изучает топологические векторные пространства, которые не должны иметь никакого чувства расстояния).

Формально метрическое пространство — это упорядоченная пара , где — множество, а — метрика на , т. е. функция ${\displaystyle (M,d)}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle M}$

${\displaystyle d\colon M\times M\rightarrow \mathbb {R} }$

такой, что для любого выполняется следующее: ${\displaystyle x,y,z\in M}$

1. ${\displaystyle d(x,y)\geq 0}$, с равенством тогда и только тогда, когда    ( тождество неразличимых ), ${\displaystyle x=y}$
2. ${\displaystyle d(x,y)=d(y,x)}$    ( симметрия ) и
3. ${\displaystyle d(x,z)\leq d(x,y)+d(y,z)}$    ( неравенство треугольника ).

Взяв третье свойство и предположив , можно показать, что     ( неотрицательно ). ${\displaystyle z=x}$ ${\displaystyle d(x,y)\geq 0}$

Последовательности и ограничения

Последовательность — это упорядоченный список. Как и множество , она содержит элементы (также называемые элементами или терминами ). В отличие от множества, порядок имеет значение, и одни и те же элементы могут появляться несколько раз в разных позициях в последовательности. Точнее, последовательность можно определить как функцию, областью определения которой является счетное полностью упорядоченное множество, например, натуральные числа .

Одним из важнейших свойств последовательности является сходимость . Неформально, последовательность сходится, если она имеет предел . Продолжая неформально, (однократно-бесконечная) последовательность имеет предел, если она приближается к некоторой точке x , называемой пределом, когда n становится очень большим. То есть, для абстрактной последовательности ( a _n ) (где n подразумевается от 1 до бесконечности) расстояние между a _n и x стремится к 0, когда n → ∞, обозначается

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}=x.}$

Основные отрасли

Исчисление

Реальный анализ

Действительный анализ (традиционно «теория функций действительной переменной») — раздел математического анализа, занимающийся действительными числами и действительными функциями действительной переменной. ^{[16] [17]} В частности, он занимается аналитическими свойствами действительных функций и последовательностей , включая сходимость и пределы последовательностей действительных чисел, исчисление действительных чисел, а также непрерывность , гладкость и связанные с ними свойства действительных функций.

Комплексный анализ

Комплексный анализ (традиционно известный как «теория функций комплексного переменного») — раздел математического анализа, который исследует функции комплексных чисел . ^[18] Он полезен во многих разделах математики, включая алгебраическую геометрию , теорию чисел , прикладную математику ; а также в физике , включая гидродинамику , термодинамику , машиностроение , электротехнику и, в частности, квантовую теорию поля .

Комплексный анализ особенно касается аналитических функций комплексных переменных (или, в более общем смысле, мероморфных функций ). Поскольку отдельные действительные и мнимые части любой аналитической функции должны удовлетворять уравнению Лапласа , комплексный анализ широко применим к двумерным задачам в физике .

Функциональный анализ

Функциональный анализ — это раздел математического анализа, ядро ​​которого формируется путем изучения векторных пространств, наделенных некоторой структурой, связанной с пределом (например, скалярным произведением , нормой , топологией и т. д.), и линейных операторов, действующих на эти пространства и уважающих эти структуры в подходящем смысле. ^{[19] [20]} Исторические корни функционального анализа лежат в изучении пространств функций и формулировании свойств преобразований функций, таких как преобразование Фурье , как преобразований, определяющих непрерывные , унитарные и т. д. операторы между функциональными пространствами. Эта точка зрения оказалась особенно полезной для изучения дифференциальных и интегральных уравнений .

Гармонический анализ

Гармонический анализ — это раздел математического анализа, занимающийся представлением функций и сигналов в виде суперпозиции основных волн . Это включает в себя изучение понятий рядов Фурье и преобразований Фурье ( анализ Фурье ), а также их обобщений. Гармонический анализ имеет приложения в таких разнообразных областях, как теория музыки , теория чисел , теория представлений , обработка сигналов , квантовая механика , приливный анализ и нейронаука .

Дифференциальные уравнения

Дифференциальное уравнение — это математическое уравнение для неизвестной функции одной или нескольких переменных , которое связывает значения самой функции и ее производных различных порядков . ^{[21] [22] [23]} Дифференциальные уравнения играют важную роль в инженерии , физике , экономике , биологии и других дисциплинах.

Дифференциальные уравнения возникают во многих областях науки и техники, в частности, когда известно или постулируется детерминированное соотношение, включающее некоторые непрерывно изменяющиеся величины (моделируемые функциями) и скорости их изменения в пространстве или времени (выраженные в виде производных). Это иллюстрируется классической механикой , где движение тела описывается его положением и скоростью при изменении значения времени. Законы Ньютона позволяют (при заданном положении, скорости, ускорении и различных силах, действующих на тело) динамически выражать эти переменные в виде дифференциального уравнения для неизвестного положения тела как функции времени. В некоторых случаях это дифференциальное уравнение (называемое уравнением движения ) может быть решено явно.

Теория меры

Мера на множестве — это систематический способ присвоить число каждому подходящему подмножеству этого множества, интуитивно интерпретируемому как его размер. ^[24] В этом смысле мера — это обобщение понятий длины, площади и объема. Особенно важным примером является мера Лебега на евклидовом пространстве , которая приписывает общепринятую длину , площадь и объем евклидовой геометрии подходящим подмножествам -мерного евклидова пространства . Например, мера Лебега интервала в действительных числах — это его длина в повседневном смысле этого слова, а именно, 1. ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \left[0,1\right]}$

Технически, мера — это функция, которая присваивает неотрицательное действительное число или +∞ (определенным) подмножествам множества . Она должна присваивать 0 пустому множеству и быть ( счетно ) аддитивной: мера «большого» подмножества, которое может быть разложено на конечное (или счетное) число «меньших» непересекающихся подмножеств, является суммой мер «меньших» подмножеств. В общем, если кто-то хочет связать согласованный размер с каждым подмножеством данного множества, удовлетворяя при этом другим аксиомам меры, можно найти только тривиальные примеры, такие как подсчетная мера . Эта проблема была решена путем определения меры только для подмножества всех подмножеств; так называемых измеримых подмножеств, которые требуются для формирования -алгебры . Это означает, что пустое множество, счетные объединения , счетные пересечения и дополнения измеримых подмножеств измеримы. Неизмеримые множества в евклидовом пространстве, на котором мера Лебега не может быть определена последовательно, обязательно сложны в том смысле, что они плохо перемешаны со своим дополнением. Действительно, их существование является нетривиальным следствием аксиомы выбора . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \sigma }$

Численный анализ

Численный анализ — это изучение алгоритмов , которые используют численную аппроксимацию (в отличие от общих символьных манипуляций ) для задач математического анализа (в отличие от дискретной математики ). ^[25]

Современный численный анализ не ищет точных ответов, поскольку точные ответы часто невозможно получить на практике. Вместо этого большая часть численного анализа занимается получением приближенных решений при сохранении разумных границ ошибок.

Численный анализ естественным образом находит применение во всех областях техники и физических наук, но в 21 веке науки о жизни и даже искусство переняли элементы научных вычислений. Обыкновенные дифференциальные уравнения появляются в небесной механике (планеты, звезды и галактики); численная линейная алгебра важна для анализа данных; стохастические дифференциальные уравнения и цепи Маркова необходимы для моделирования живых клеток в медицине и биологии.

Векторный анализ

Векторный анализ , также называемый векторным исчислением , представляет собой раздел математического анализа, занимающийся векторнозначными функциями . ^[26]

Скалярный анализ

Скалярный анализ — это раздел математического анализа, занимающийся значениями, связанными с масштабом, а не с направлением. Такие значения, как температура, являются скалярными, поскольку они описывают величину значения без учета направления, силы или смещения, которые значение может иметь или не иметь.

Тензорный анализ

Другие темы

• Вариационное исчисление имеет дело с экстремальными функционалами , в отличие от обычного исчисления , которое имеет дело с функциями .
• Гармонический анализ занимается представлением функций или сигналов в виде суперпозиции основных волн .
• Геометрический анализ предполагает использование геометрических методов при изучении уравнений в частных производных и применение теории уравнений в частных производных к геометрии.
• Анализ Клиффорда — изучение функций со значениями Клиффорда, которые аннулируются операторами Дирака или подобными операторам, в общем случае называемыми моногенными или аналитическими функциями Клиффорда.
• p -адический анализ , изучение анализа в контексте p -адических чисел , который отличается некоторыми интересными и удивительными способами от своих реальных и комплексных аналогов.
• Нестандартный анализ , который исследует гипердействительные числа и их функции и дает строгую трактовку бесконечно малых и бесконечно больших чисел.
• Вычислительный анализ — изучение того, какие части анализа могут быть выполнены вычислимым образом.
• Стохастическое исчисление – аналитические понятия, разработанные для случайных процессов .
• Анализ множеств – применяет идеи анализа и топологии к функциям множеств.
• Выпуклый анализ , изучение выпуклых множеств и функций.
• Идемпотентный анализ – анализ в контексте идемпотентного полукольца , где отсутствие аддитивного обратного несколько компенсируется идемпотентным правилом A + A = A.
  • Тропический анализ – анализ идемпотентного полукольца, называемого тропическим полукольцом (или макс-плюс алгеброй / мин-плюс алгеброй ).
• Конструктивный анализ , который строится на основе конструктивной , а не классической логики и теории множеств.
• Интуиционистский анализ , который разработан на основе конструктивной логики, подобно конструктивному анализу, но также включает в себя последовательности выбора .
• Паранепротиворечивый анализ , который строится на основе паранепротиворечивой , а не классической логики и теории множеств.
• Гладкий анализ бесконечно малых , который развивается в гладком топосе.

Приложения

Методы анализа также можно найти в других областях, таких как:

Физические науки

Подавляющее большинство классической механики , теории относительности и квантовой механики основано на прикладном анализе и, в частности, на дифференциальных уравнениях . Примерами важных дифференциальных уравнений являются второй закон Ньютона , уравнение Шредингера и уравнения поля Эйнштейна .

Функциональный анализ также является важным фактором в квантовой механике .

Обработка сигнала

При обработке сигналов, таких как аудио , радиоволны , световые волны, сейсмические волны и даже изображения, анализ Фурье может изолировать отдельные компоненты сложной формы волны, концентрируя их для более легкого обнаружения или удаления. Большое семейство методов обработки сигналов состоит из преобразования Фурье сигнала, манипулирования преобразованными Фурье данными простым способом и обратного преобразования. ^[27]

Другие области математики

Методы анализа используются во многих областях математики, в том числе:

• Аналитическая теория чисел
• Аналитическая комбинаторика
• Непрерывная вероятность
• Дифференциальная энтропия в теории информации
• Дифференциальные игры
• Дифференциальная геометрия — приложение исчисления к определенным математическим пространствам, известным как многообразия , которые обладают сложной внутренней структурой, но ведут себя просто локально.
• Дифференцируемые многообразия
• Дифференциальная топология
• Уравнения с частными производными

Знаменитые учебники

• Основы анализа: арифметика целых рациональных, иррациональных и комплексных чисел, Эдмунд Ландау
• Вводный реальный анализ, Андрей Колмогоров , Сергей Фомин ^[28]
• Дифференциальное и интегральное исчисление (3 тома), Григорий Фихтенгольц ^{[29] [30] [31]}
• Основы математического анализа (2 тома), Григорий Фихтенгольц ^{[32] [33]}
• Курс математического анализа (2 тома), Сергей Никольский ^{[34] [35]}
• Математический анализ (2 тома), Владимир Зорич ^{[36] [37]}
• Курс высшей математики (5 томов, 6 частей), Владимир Смирнов ^{[38] [39] [40] [41] [42]}
• Дифференциальное и интегральное исчисление, Николай Пискунов ^[43]
• Курс математического анализа, Александр Хинчин ^[44]
• Математический анализ: Специальный курс, Георгий Шилов ^[45]
• Теория функций действительной переменной (2 тома), Исидор Натансон ^{[46] [47]}
• Задачи по математическому анализу, Борис Демидович ^[48]
• Проблемы и теоремы анализа (2 тома), Джордж Полиа , Габор Сеге ^{[49] [50]}
• Математический анализ: современный подход к передовым вычислениям, Том Апостол ^[51]
• Принципы математического анализа, Уолтер Рудин ^[52]
• Действительный анализ: теория меры, интегрирование и гильбертовы пространства, Элиас Штайн ^[53]
• Комплексный анализ: Введение в теорию аналитических функций одной комплексной переменной, Ларс Альфорс ^[54]
• Комплексный анализ, Элиас Штайн ^[55]
• Функциональный анализ: Введение в дальнейшие темы анализа, Элиас Штайн ^[56]
• Анализ (2 тома), Теренс Тао ^{[57] [58]}
• Анализ (3 тома), Герберт Аманн, Иоахим Эшер ^{[59] [60] [61]}
• Действительный и функциональный анализ, Владимир Богачев, Олег Смолянов ^[62]
• Реальный и функциональный анализ, Серж Ланг ^[63]

Смотрите также

• Математический портал

• Конструктивный анализ
• История исчисления
• Гиперкомплексный анализ
• Множественные проблемы, основанные на правилах
• Многовариантное исчисление
• Паранепротиворечивая логика
• Гладкий бесконечно малый анализ
• Хронология исчисления и математического анализа

Ссылки

1. Эдвин Хьюитт и Карл Штромберг, «Реальный и абстрактный анализ», Springer-Verlag, 1965
2. Стиллвелл, Джон Колин . "анализ | математика". Encyclopaedia Britannica . Архивировано из оригинала 2015-07-26 . Получено 2015-07-31 .
3. Jahnke, Hans Niels (2003). История анализа. История математики. Т. 24. Американское математическое общество . стр. 7. doi :10.1090/hmath/024. ISBN 978-0821826232. Архивировано из оригинала 2016-05-17 . Получено 2015-11-15 .
4. Стиллвелл, Джон Колин (2004). «Бесконечные ряды». Математика и ее история (2-е изд.). Springer Science+Business Media Inc. стр. 170. ISBN 978-0387953366. Бесконечные ряды присутствовали в греческой математике, [...] Нет сомнений, что парадокс Зенона о дихотомии (раздел 4.1), например, касается разложения числа 1 в бесконечный ряд ¹ ⁄ ₂ + ¹ ⁄ ₂ ² + ¹ ⁄ ₂ ³ + ¹ ⁄ ₂ ⁴ + ... и что Архимед нашел площадь параболического сегмента (раздел 4.4) по сути путем суммирования бесконечного ряда 1 + ¹ ⁄ ₄ + ¹ ⁄ ₄ ² + ¹ ⁄ ₄ ³ + ... = ⁴ ⁄ ₃ . Оба эти примера являются частными случаями результата, который мы выражаем как суммирование геометрического ряда
5. Смит, Дэвид Юджин (1958). История математики . Dover Publications . ISBN 978-0486204307.
6. Пинто, Дж. Соуза (2004). Бесконечно малые методы математического анализа. Horwood Publishing. стр. 8. ISBN 978-1898563990. Архивировано из оригинала 2016-06-11 . Получено 2015-11-15 .
7. Дун, Лю; Фань, Дайнянь; Коэн, Роберт Сонне (1966). Сравнение исследований окружностей Архимеда и Лю Хуэя. Китайские исследования по истории и философии науки и техники. Т. 130. Springer. С. 279. ISBN 978-0-7923-3463-7. Архивировано из оригинала 2016-06-17 . Получено 2015-11-15 ., Глава, стр. 279 Архивировано 2016-05-26 в Wayback Machine
8. Сингх, AN (1936). «Об использовании рядов в индийской математике». Osiris . 1 : 606–628. doi :10.1086/368443. JSTOR  301627. S2CID  144760421.
9. KB Basant, Satyananda Panda (2013). «Суммирование сходящихся геометрических рядов и концепция доступной Шуньи» (PDF) . Indian Journal of History of Science . 48 : 291–313.
10. Зилл, Деннис Г.; Райт, Скотт; Райт, Уоррен С. (2009). Исчисление: Ранние трансцендентали (3-е изд.). Jones & Bartlett Learning. стр. xxvii. ISBN 978-0763759957. Архивировано из оригинала 2019-04-21 . Получено 2015-11-15 .
11. Seal, Sir Brajendranath (1915), "Положительные науки древних индусов", Nature , 97 (2426): 177, Bibcode : 1916Natur..97..177., doi : 10.1038/097177a0, hdl : 2027/mdp.39015004845684 , S2CID  3958488
12. Раджагопал, Коннектикут; Рангачари, MS (июнь 1978 г.). «О неиспользованном источнике средневековой керальской математики». Архив истории точных наук . 18 (2): 89–102. дои : 10.1007/BF00348142. S2CID  51861422.
13. Пеллегрино, Дана. "Пьер де Ферма". Архивировано из оригинала 2008-10-12 . Получено 2008-02-24 .
14. Данэм, Уильям (1999). Эйлер: Учитель всех нас . Математическая ассоциация Америки. стр. 17.
15. * Кук, Роджер (1997). "За пределами исчисления". История математики: краткий курс . Wiley-Interscience. стр. 379. ISBN 978-0471180821Реальный анализ начал развиваться как самостоятельный предмет с введением современного определения непрерывности в 1816 году чешским математиком Бернардом Больцано (1781–1848) .
16. Рудин, Уолтер (1976). Принципы математического анализа . Уолтер Рудин, студенческая серия по высшей математике (3-е изд.). McGraw–Hill. ISBN 978-0070542358.
17. Эбботт, Стивен (2001). Понимание анализа . Бакалаврские тексты по математике. Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN 978-0387950600.
18. Альфорс, Ларс Валериан (1979). Комплексный анализ (3-е изд.). Нью-Йорк: McGraw-Hill . ISBN 978-0070006577.
19. Рудин, Уолтер (1991). Функциональный анализ . McGraw-Hill Science . ISBN 978-0070542365.
20. Конвей, Джон Блай (1994). Курс функционального анализа (2-е изд.). Springer-Verlag . ISBN 978-0387972459. Архивировано из оригинала 2020-09-09 . Получено 2016-02-11 .
21. Инс, Эдвард Л. (1956). Обыкновенные дифференциальные уравнения. Dover Publications. ISBN 978-0486603490.
22. Витольд Гуревич , Лекции по обыкновенным дифференциальным уравнениям , Dover Publications, ISBN 0486495108 
23. Эванс, Лоуренс Крейг (1998). Уравнения с частными производными . Провиденс: Американское математическое общество . ISBN 978-0821807729.
24. Тао, Теренс (2011). Введение в теорию меры. Аспирантура по математике. Том 126. Американское математическое общество. doi : 10.1090/gsm/126. ISBN 978-0821869192. Архивировано из оригинала 2019-12-27 . Получено 2018-10-26 .
25. Хильдебранд, Фрэнсис Б. (1974). Введение в численный анализ (2-е изд.). McGraw-Hill. ISBN 978-0070287617.
26. Борисенко, А.И.; Тарапов, И.Е. (1979). Векторный и тензорный анализ с приложениями (Dover Books on Mathematics) . Dover Books on Mathematics.
27. Рабинер, Л.Р.; Голд, Б. (1975). Теория и применение цифровой обработки сигналов . Энглвуд Клиффс, Нью-Джерси: Prentice-Hall . ISBN 978-0139141010.
28. «Вводный реальный анализ». 1970.
29. "Курс дифференциального и интегрального исчисления. Том I". 1969.
30. "Основы математического анализа. Том II". 1960.
31. "Курс дифференциального и интегрального исчисления. Том III". 1960.
32. Основы математического анализа: Международная серия по чистой и прикладной математике, том 1. ASIN 0080134734  .
33. Основы математического анализа: Международная серия монографий по чистой и прикладной математике, т. 73-II . ASIN  1483213153.
34. «Курс математического анализа. Том 1». 1977.
35. «Курс математического анализа. Том 2». 1987.
36. Математический анализ I. ASIN 3662569558  .
37. Математический анализ II . ASIN  3662569663.
38. «Курс высшей математики. Том 3. 1. Линейная алгебра». 1964.
39. «Курс высшей математики. Том 2. Расширенное исчисление». 1964.
40. "Курс высшей математики. Том 3-2. Комплексные переменные. Специальные функции". 1964.
41. «Курс высшей математики. Т. 4. Интегральные и частные дифференциальные уравнения». 1964.
42. «Курс высшей математики. Том 5. Интеграция и функциональный анализ». 1964.
43. «Дифференциальное и интегральное исчисление». 1969.
44. «Курс математического анализа». 1960.
45. Математический анализ: Специальный курс . ASIN  1483169561.
46. "Теория функций действительной переменной (Теория функций вещественной переменной, главы I-IX)". 1955.
47. "Теория функций вещественной переменной =Теория функций вещественной переменной". 1955.
48. «Проблемы математического анализа». 1970.
49. Задачи и теоремы по анализу I: Серия. Интегральное исчисление. Теория функций . ASIN  3540636404.
50. Задачи и теоремы по анализу II: Теория функций. Нули. Многочлены. Определители. Теория чисел. Геометрия . ASIN  3540636862.
51. Математический анализ: современный подход к передовому исчислению, 2-е издание . ASIN  0201002884.
52. Принципы математического анализа . ASIN  0070856133.
53. Действительный анализ: теория меры, интегрирование и гильбертовы пространства . ASIN  0691113866.
54. Комплексный анализ: Введение в теорию аналитических функций одной комплексной переменной . 1979-01-01. ISBN 978-0070006577.
55. Комплексный анализ . ASIN  0691113858.
56. Функциональный анализ: Введение в дополнительные темы анализа . ASIN  0691113874.
57. Анализ I: Третье издание . ASIN  9380250649.
58. Анализ II: Третье издание . ASIN  9380250657.
59. Аманн, Герберт; Эшер, Иоахим (2004). Анализ I . ISBN 978-3764371531.
60. Аманн, Герберт; Эшер, Иоахим (2008-05-16). Анализ II . ISBN 978-3764374723.
61. Аманн, Герберт; Эшер, Иоахим (2009). Анализ III . Springer. ISBN 978-3764374792.
62. Богачев, Владимир И.; Смолянов, Олег Г. (2021). Действительный и функциональный анализ . Springer. ISBN 978-3030382216.
63. Ланг, Серж (2012). Действительный и функциональный анализ . Springer. ISBN 978-1461269380.

Дальнейшее чтение

• Александров, АД ; Колмогоров, АН ; Лаврентьев, МА , ред. (март 1969 г.). Математика: ее содержание, методы и значение . Т. 1–3. Перевод Гулда, С. Х. (2-е изд.). Кембридж, Массачусетс: Издательство MIT / Американское математическое общество .
• Апостол, Том М. (1974). Математический анализ (2-е изд.). Эддисон–Уэсли . ISBN 978-0201002881.
• Бинмор, Кеннет Джордж (1981) [1981]. Основы анализа: простое введение . Cambridge University Press .
• Джонсонбо, Ричард ; Пфаффенбергер, Уильям Элмер (1981). Основы математического анализа . Нью-Йорк: М. Деккер .
• Никольский [Нико́льский], Сергей Михайлович [Сергей Миха́йлович] (2002). «Математический анализ». В Хазевинкеле, Михил (ред.). Энциклопедия математики . Спрингер-Верлаг . ISBN 978-1402006098.
• Фуско, Никола ; Марчеллини, Паоло ; Сбордоне, Карло (1996). Analisi Matematica Due (на итальянском языке). Liguori Editore  [это] . ISBN 978-8820726751.
• Ромбальди, Жан-Этьен (2004). Éléments d'analyse réelle: CAPES et agrégation interne de mathématiques (на французском языке). ЭДП наук . ISBN 978-2868836816.
• Рудин, Уолтер (1976). Принципы математического анализа (3-е изд.). Нью-Йорк: McGraw-Hill . ISBN 978-0070542358.
• Рудин, Уолтер (1987). Действительный и комплексный анализ (3-е изд.). Нью-Йорк: McGraw-Hill . ISBN 978-0070542341.
• Уиттекер, Эдмунд Тейлор ; Уотсон, Джордж Невилл (1927-01-02). Курс современного анализа: Введение в общую теорию бесконечных процессов и аналитических функций; с учетом основных трансцендентных функций (4-е изд.). Кембридж: в University Press . ISBN 0521067944.(vi+608 страниц) (переиздано: 1935, 1940, 1946, 1950, 1952, 1958, 1962, 1963, 1992)
• "Real Analysis – Course Notes" (PDF) . Архивировано (PDF) из оригинала 2007-04-19.

Внешние ссылки

• Самые ранние известные применения некоторых слов из математики: исчисление и анализ
• Базовый анализ: Введение в реальный анализ, автор Иржи Лебл ( Creative Commons BY-NC-SA )
• Математический анализ – Encyclopaedia Britannica
• Исчисление и анализ